(整理)基本初等函数求导公式

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12个基本初等函数的导数公式

这里将列举12个基本初等函数的导数以及它们的推导过程，初等函数的导数可由之推算。
函数
原函数
导函数
常函数
（即常数）
（为常数）
幂函数
指数函数
对数函数
（且，）
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
口诀
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次，对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以ln数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式

导数计算公式(最新整理)

导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝；1x(5)y ＝f (x )＝.x 问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵＝＝＝0，∴y ′＝＝0.Δy Δx f (x ＋Δx )－f (x )Δxc －c Δx lim Δx →0ΔyΔx 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)′＝－，(5)()′＝.(1x )1x 2x 12x函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)()′＝(x)′＝xx 1212＝，∴(x α)′＝αx α－1.112－12x基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝xα(α∈Q*)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f(x)＝axf′(x)＝axln af(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a f(x)＝ln xf′(x)＝1x二、导数运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝.1x问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋，H (x )＝x －的导数．1x 1x 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋－＝Δx ＋，1x ＋Δx (x ＋1x )－Δx x (x ＋Δx )∴＝1－，∴Q ′(x )＝＝＝1－.Δy Δx 1x (x ＋Δx )lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]1x 2同理H ′(x )＝1＋.1x2问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差．导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )3.′＝(g (x )≠0)[f (x )g (x )]f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2题型一利用导数公式直接求导[例1]　求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)；x y 21log =(4)y ＝；(5).4x 312cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y [解]　(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝；1x ln 10(3)y ′＝＝－；(4)y ′＝()′＝；(5)∵y ＝21x ln 121x ln 24x 3344x (sin x 2＋cos x 2)－1＝sin 2＋2sin cos ＋cos 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .x 2x 2x 2x2练习求下列函数的导数：(1)y ＝x ；(2)y ＝x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg ；(5)y ＝2cos 2－1.(1e )(110)3x x 2解：(1)y ′＝′＝x ln ＝－＝－e －x ；(2)y ′＝′＝[(1e)x ](1e )1e 1ex [(110)x](110)x ln＝＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′110－ln 1010x ＝0；(4)∵y ＝3lg ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝；(5)∵y ＝2cos 2－1＝cos 3x 1x ln 10x2x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二利用导数的运算法则求函数的导数[例2]　求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin cos ；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝.x 2x 2ex ＋1e x －1[解]　(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －sin x ，∴y ′＝x ′－(sin x )′＝1－cos x .121212(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋.1x ln 3(4)y ′＝＝＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2.－2e x (e x －1)2练习求下列函数的导数：(1)y ＝；(2)y ＝x sin x ＋；(3)y ＝＋；(4)y ＝lg x －.cos xxx 1＋x 1－x 1－x 1＋x1x 2解：(1)y ′＝′＝＝＝－(cos x x )(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2－x ·sin x －cos xx 2.x sin x ＋cos xx 2(2)y ′＝(x sin x )′＋()′＝sin x ＋x cos x ＋.x 12x (3)∵y ＝＋＝＝－2，∴y ′＝′＝(1＋x )21－x (1－x )21－x 2＋2x1－x 41－x (41－x －2)＝.－4(1－x )′(1－x )24(1－x )2(4)y ′＝′＝(lg x )′－′＝＋.(lg x －1x 2)(1x 2)1x ln 102x 3题型三导数几何意义的应用[例3]　(1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．[解析]　(1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x －10＝2，解得x 0＝20±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0　(2)(2,1)练习若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.答案：11.切线方程的求法[典例]　已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解]　由已知得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3－6＋3a ＝3a －3，且f (1)＝1－3＋3a －3a ＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)，即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程．解：所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x －2，且y 0＝f (x 0)＝x －2x 0.2030所以切线方程为y －y 0＝(3x －2)(x －x 0)，20即y －(x －2x 0)＝(3x －2)(x －x 0)．3020因为切线过点(1，－1)，故－1－(x －2x 0)＝(3x －2)·(1－x 0)3020即2x －3x ＋1＝0，3020解得x 0＝1或x 0＝－，12故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程．解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝3x －3，20故切线方程为y －y 0＝3(x －1)(x －x 0)．20又点A (0,16)在切线上，所以16－(x －3x 0)＝3(x －1)(0－x 0)，3020化简得x ＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，30故切线方程为9x －y ＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②′＝cos ；(sinπ3)π3③若y ＝，则y ′＝－； ④′＝.1x 21x (－1x )12x x 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin ＝，而′＝0，所π332(32)以②错误；′＝＝＝－2x－3，所以③错误；(1x 2)0－(x 2)′x 4－2x x 4′＝－＝＝x ＝，(－1x )0－(x )′x 12xx 1232－12x x所以④正确．答案：B 2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：14．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－65．求下列函数的导数：(1)y ＝x；(x 2＋1x ＋1x 3)(2)y ＝；1＋cos x x 2(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x＝x 3＋1＋，∴y ′＝3x 2－.(x 2＋1x ＋1x 3)1x 22x 3(2)y ′＝＝.(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4－x sin x －2cos x －2x 3(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。

基本初等函数导数公式

基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。

不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。

拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。

高一数学基本初等函数的导数公式

1 4 t 4
例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
3 1 1 ∴y′＝ 4＋4cosx ′＝－ sinx. 4
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则，会给运算带来不便，甚至导致错误．在求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，也可少出差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
补充练习:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
2 x1 2( x2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
练习：求下列函数的导数：

导数的计算(三)1

2
y ' (2ax b) eax
bx
y'
ln x x 1 ln 2 x
作业：P18 A 组 T4(4)(5)(6) T6
1 练习 3.⑴求过曲线 y=cosx 上点 P( , ) 的切线的直线方程. 3 2 3
解： f ( x ) cos x, f ( x ) sin x, f ( ) sin . 3 3 2 1 3 ， ∴曲线在点 P ( , ) 处的切线斜率为 3 2 2 1 3 3 0. ∴所求的直线方程为 y ( x ), 即 3 x 2 y 1 3 2 2 3
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) ' [ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' f ( x) f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' [ ]' g ( x) [ g ( x)]2
导数的计算(三)
一、基本初等函数的求导公式
常数的导数 (C ) 0 (C 为常数) 幂函数 ( x n ) nx n1 ( n 为有理数) 三角函数 (sin x ) cos x , (cos x ) －sin x 指数函数 (a x ) a x ln a (a 0，a 1) 特殊地 (e x ) e x 1 1 (a 0, a 1) 且对数函数 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 2 4 y sin (1 ) （1）（2） y (1 sin x) x （3） y cos ln( x 1)

基本初等函数求导公式

基本初等函数求导公式(1) (C )=0 (2) (x )= x -1 (3)(sin x ) = cos x (4) (cos x ) = - sin x (5)(tan x ) = sec 2 x (6) (cot x ) = - csc 2 x (7) (sec x ) = sec x tan x (8) (csc x ) = -csc x cot x(9) (a x )=a x ln a(10) (e x )=e x (log a x ) = 1(ln x ) = 1 (11) x ln a(12) x ，(arcsin x ) = 1(arccos x ) = - 1 (13) 1 - x(14) 1 - x(arctan x ) = 1 (arccot x ) = - 1(15) 1 + x(16) 1 + x 函数的和、差、积、商的求导法则设u = u (x )， v = v (x )都可导，则反函数求导法则若函数x =(y )在某区间I y 内可导、单调且(y ) 0 ，则它的反函数y = f (x )在对应区间 I x 内也可导，且dy 11 dx = dx( y ) 或 dy复合函数求导法则1) (u v ) = u v2) (Cu ) = Cu (C 是常数) 3) (uv ) = u v + uv4)设 y = f (u )，而u =(x )且 f (u )及(x )都可导，则复合函数 y = f [(x )]的导数为２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： (sh x) = ch x (ch x ) = sh x (th x )= ch 2x(arsh x ) = 1 1 + x 2(arch x ) = 1 x 2 -1 (arth x ) = 1 1-x 2 dy dx。

一般常用求导公式

四、基本求导法则与导数公式1.基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的堂握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：⑷(cosx)f = -sinx ⑹(cot x)f = -CSC 2 X(1) (u ± v\ = u f ±v f(2)(C“)，= Cd (C 是常数〉(3)(uvY = uv + uvfiCv-uv2(4)V"反函数求导法则若函数*=卩。

)在某区间Iy 内可导、单调且0(刃丰°,则它的反函数y =/(兀)(1)(c )z = o (3) (sinx)r = cosx⑸ (tan xY = sec 2 x ⑺(secx)f = secxtanx(9) (a A y = a 1 hi a(11)(log" Mxln afnrc<\in rV —"(13)Vl-x 2(15) (arctan x)z - 1,1 + 2⑻(cscx)z = -cscxcotx(10) (e v )z = e v(lnx)r =—(12) •(arccosx)'=- 1 (14)Jl -x(arc cot x)f =- 1 (16)1 + jr基本初等函数求导公式函数的和.差.积、商的求导法则设心)，V = v(A )都可导，则在对应区间r 内也可导，且复合函数求导法则设y = /（"）,而ii =曲且/（"）及0（”）都可导.则复合函数y =/"（・Q ］的导数为dy _ dy chidx du dx 或 y f = /'(”)・0(x)上述农中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记.2・双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前而的求导公式和求导法则求出.广⑴=dy _ 1 dx dx4。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'

1 x
B.(log

常用求导与定积分公式

一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(−='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos −='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot −=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc −='(9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x −='(14)211)(arccos x x −−='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=−+函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '−'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠− （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a−=+−+⎰ （18）sin xarc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln ||x C =+（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式的推导过程1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。

这可以通过导数的定义来证明。

假设常数函数为f(x) = C，其中C是一个常数。

导数的定义为f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，将f(x) = C代入该式，可得f'(x) = lim(h->0) [C - C]/h = 0。

2.幂函数的导数：幂函数的导数可以使用幂函数的定义和导数的定义来推导。

假设幂函数为f(x) = x^n，其中n是一个正整数。

根据导数的定义，可以计算出f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。

将f(x) = x^n代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^n -x^n]/h。

可以采用二项式定理展开分子表达式：(x+h)^n = C(n, 0)x^n + C(n, 1)x^(n-1)h + C(n, 2)x^(n-2)h^2 + ... + C(n, n-1) xh^(n-1) + h^n其中C(n,k)表示从n中选取k个元素的组合数。

因此，分子展开为[(x+h)^n-x^n]/h=C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)h+...+C(n,n-1)h^(n-1)+h^n可以观察到，在这个表达式中，只有第一项不含h，其他项都有h的幂次方。

因此，当h趋近于0时，这些含有h的幂次方都会趋近于0，只剩下第一项C(n, 1)x^(n-1)，即f'(x) = C(n, 1)x^(n-1) = nx^(n-1)。

3.指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数的导数可以通过化简导数的定义来推导。

假设指数函数为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1、对于任意实数x和x+h，有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。

将f(x) = a^x代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [a^(x+h)-a^x]/h。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

= (2 x ) ln x (2 x )(ln x )
= 2 ln x 2.
(3) 求函数y = (2 x 3)(3 x - 2)的导数.
2
解：y = ( 2 x 2 3)( 3 x - 2) ( 2 x 2 3)( 3 x - 2)
= 4 x ( 3 x - 2) ( 2 x 2 3) 3
x 2 x 解： (2) y = - sin (1 - 2cos ) 2 4 x x 1 = sin cos = sin x , 2 2 2
y' = ( 1 sinx )' = 1 cos x . 2 2
x3 2. 求 y = 2 在点x = 3处的导数. x 3 2 2 ( x 3)' ( x 3) - ( x 3) ( x 3)' 解： y ' = 2 2 ( x 3)
n
* '
n -1
式，除部分上 ' x x = = 5. 若f ( x ) a ，则 f ( x ) a ln a；一节已经证明 ' x x 过，其他的只 = = 6. 若f ( x ) e ，则 f ( x ) e ；需要熟记，会 1 ' 7. 若 f ( x ) = log a x，则 f ( x ) = ；用即可.
1 ( x 2 3) - ( x 3) 2 x - x 2 - 6 x 3 = = 2 2 2 2 ( x 3) ( x 3)
当x = 3时,
1 -3 - 6 3 3 =- . f (3) = 2 2 6 (3 3)
2
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切线的方程. 解： f ( x) = ( x 3 3 x - 8) = 3 x 2 3

常用的求导和定积分公式(完美版)

.基本初等函数求导公式(1)(C) =0 (2) (x")-'八 ⑶(sin x) = cosx (4)(cosx) - -sinx (5)(tan x) = sec 2 x (6)(cot x) - - csc 2 x ⑺(secx) = secx tan x (8) (cscx) - - cscx cot x (9)(a x f-a x ln a(10)(e x V-e x函数的和、差、积、商的求导法则= u (x ),v=v (x)都可导，则(u _v) J u —V( 2) (Cu)J C u ( C 是常数)F(uv) =uv uvu 「uv — uv⑷ l v .丿 v 2反函数求导法则若函数x 二(y)在某区间I y 内可导、单调且''(y) =0，则它的反函数y 二f (x) 在对应区间Ix 内也可导，且(11)(log a x)1 xln a(12)(In x)二丄x(arcsin x)(13)(arccosx)(14)1 - x2 (arcta n x)(15)1 x(arccot x) =1(16)1 x 2设u (1)(3)复合函数求导法则设y = f （U ），而u = （X ）且f （u ）及:（x ）都可导，则复合函数 y二f［「（X ）］的导数为、基本积分表 (1) .kdx = kx ・c( k 是常数)⑵C, (u —1) 亠11(3) dx = l n | x | C ■ x dx(4)2 二 arl tan x C 、1 +x 2(6) cosxdx=sin x C(7) sin xdx - -cosx Cf （X ）二矽丄 dx 一 dxdydy dy_dudx du dx 或 y\f (u)L (x)(5)=arcs in x C厂dx = ta n x C cos xdx = - cot x C sin xsecx tan xdx 二 secx C cscxcotxdx - -cscx C e x dx = e x Cxa x dx— C , (a 0,且 a =1) In ashxdx 二 chx C chxdx 二 shx C1. 1 x x _ —^dx arc ta n Ca x a a亠 dx 二丄 ln|4| C x 2 -a 2 2a x aJ/ 二2dxnn(x7a2+x 2)+C a x--^=ln |x /-『丨 C ■- x -atan xdx 二- In | cosx| Ccotxdx = In | sinx| C secxdx 二In |secx tanx| C(8) (9)(10) (11)(⑵(13) (14) (15) (16) (17) (18)(19)(20)(21) (22) (23)(24) cscxdx= In | cscx-cotx| C注：1从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证2、以上公式把x换成u仍成立，u是以x为自变量的函数。

常用导数

这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】3.指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】4.对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】5.三角函数(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx(2)余弦函数y=（cosx）y'=-sinx(3)正切函数y=(tanx）y'=1/(cosx)^2(4)余切函数y=（cotx）y'=-1/(sinx)^26.反三角函数(1)反正弦函数y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2(2)反余弦函数y=（arccosx）y'=-1/√1-x^2(3)反正切函数y=（arctanx）y'=1/(1+x^2)(4)反余切函数y=（arccotx）y'=-1/(1+x^2)口诀为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式推导在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^22. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'.3. 复合函数的导数：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

基本初等函数求导公式

基本初等函数求导公式基本初等函数是指常见的基本函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。

这些函数在数学和科学中有广泛的应用，求导是计算函数斜率和变化率的重要方法。

在这篇文章中，我们将介绍基本初等函数的求导公式。

一、多项式函数的求导公式多项式函数是指以整数指数的变量的多项式，形如：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0多项式函数的求导公式可以通过求导的定义来推导，也可以通过规律总结出来。

根据求导的定义，对于多项式函数 f(x) = anxn + an-1xn-1+ ... + a1x + a0 ，其导函数 f'(x) 的形式为：f'(x) = nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + ... + a1其中，n 是多项式的最高次幂，ai 是与 xi 的系数。

例如，对于f(x) = 3x3 + 2x2 - 5x + 1 ，它的导函数为 f'(x) = 9x2 + 4x - 5二、指数函数的求导公式指数函数是以指数为变量的函数，形如：f(x) = exf'(x) = ex这个公式的意义在于指数函数的导数等于它本身。

三、对数函数的求导公式对数函数是以指数为变量的反函数，形如：f(x) = loga(x)对数函数的求导公式是：f'(x) = 1 / (xln(a))其中，a 是对数的底数，ln(a) 是以 e 为底的 a 的对数。

例如，对于 f(x) = log2(x) ，它的导函数为 f'(x) = 1 / (xln(2))。

四、三角函数的求导公式三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的求导公式如下：1.正弦函数的求导公式：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)2.余弦函数的求导公式：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)3.正切函数的求导公式：f(x) = tan(x)f'(x) = sec^2(x)其中，sec^2(x) 是 sec(x)（正切函数的倒数）的平方。