2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三4月线上线下教学检测数学(理)试题

2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三4月线上线下教学检测数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若复数12a i i +-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22．已知集合{}|216x A x =∈≤N ，{}2|430B x x x =-+>，则AB =（ ） A ．{}4B ．{}0,4C ．[)(]0,13,4D ．()(],13,4-∞3．随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．直线l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，且与C 交于A ，B 两点，AB 4=，若AB 的中点到y 轴的距离为1，则p 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出S 的值为88，则判断框中应该填入（ ）A ．6?i ≥B ．8?i ≥C ．10?i ≥D ．12?i ≥6．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，//m α，n β⊥，则下列正确的是（ ） A ．若//αβ，则m n ⊥B ．若//αβ，则//m βC ．若αβ⊥，则//n αD ．若αβ⊥，则m n ⊥8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020S =（ ）A ．201921-B ．202021-C ．2019122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2020122⎛⎫- ⎪⎝⎭ 9．函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()01f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ）A ．(2)(1)f f -<B ．(2)(1)f f -=C ．(2)(1)f f -> D ．|(2)||(1)|f f -> 10．在三棱锥A BCD -中，AB BC ⊥，AB BC =，CD DA =，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，以下三个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③AD 与BC 一定不垂直，其中正确结论的序号是（ ）A ．②B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 12．定义{},,max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩.若函数{}2()max 2,4f x x x =-+-，数列{}n a 满足()1n n a f a +=（*n ∈N ），若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是（ ）A ．{}2,1-B ．(][),32,-∞-+∞C ．(]{},32,1-∞-- D ．(][){},32,2,1-∞-+∞- 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若286a a +=，则9S =______.14．将2名教师，6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案总数为______.15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=______. 16．函数1()ln||1x f x a x x +=--有两个零点，则a 的取值范围是______.三、解答题17．在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+.（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1n n +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，11BC B C O =，AO ⊥平面11BB C C .（1）求证：1AB B C ⊥；（2）若160B BC ∠=︒，直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为30，求二面角111A B C B --的余弦值.19．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．20．已知点A ，B 分别在x 轴，y 轴上运动，||3AB =，点P 在线段AB 上，且||2||BP PA =.（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）直线l 与Γ交于M ，N 两点，(0,1)Q -，若直线QM ，QN 的斜率之和为2，直线l 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21．已知函数()e 2e (2)x x f x a a x -=++-（a ∈R ，e 是自然对数的底数）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()(2)cos f x a x ≥+，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--+恒成立.参考答案1．D【解析】【分析】 利用复数除法运算化简12a i i +-，根据其为纯虚数，实部为零、虚部不为零，求得a 的值. 【详解】 依题意，12a i i +-()()()()()1222112125a i i a a i i i ++-++==-+为纯虚数，故20210a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =. 故选：D【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.2．B【解析】【分析】解指数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由42216x ≤=得4x ≤，由于N x ∈，所以{}0,1,2,3,4A =.由()()243310x x x x -+=-->，解得1x <或3x >，所以()(),13,B =-∞+∞.所以A B ={}0,4.故选：B【点睛】 本小题主要考查指数不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3．C【解析】【分析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值.【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.4．B【解析】【分析】根据抛物线中，过焦点的弦长公式列方程，由此求得p 的值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,由于AB 的中点到y 轴的距离为1，所以122x x +=.根据抛物线中过焦点的弦长公式12AB x x p =++得124x x p ++=，即24,2p p +==.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线中过焦点的弦长公式，属于基础题.5．C【解析】【分析】运行程序，根据输出的S 的值为88，判断出正确选项.【详解】运行程序，0,1,0,0a b S i ====，1S =，1,2,2a b i ===，判断否，4S =，3,5,4a b i ===，判断否，12,8,13,6S a b i ====，判断否，33,21,34,8S a b i ====，判断否，88,55,89,10S a b i ====，判断是，输出88S =.故应填10?i ≥故选：C【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果填写条件，属于基础题.6．D【解析】【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||323a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ， 故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．7．A【解析】【分析】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.【详解】对于A 选项，当//αβ时，画出图象如下图所示，由图可知，m n ⊥，故A 选项正确.对于B 选项，当//αβ时，可能m β⊂，如下图所示，所以B 选项错误.对于CD 选项，当αβ⊥时，可能n ⊂α，//m n 如下图所示，所以CD 选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题. 8．B【解析】【分析】根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得2020S . 【详解】依题意21n n S a =-，当1n =时，1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-得1121n n S a --=-，两式相减并化简得12n n a a -=. 故数列{}n a 是首项为1，公比为1的等比数列，所以12n n a .所以202020202020122112S -==--.故选：B 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】 根据()01f x x '>+以及(1)=-y f x 为偶函数判断出函数()f x 的单调性和对称性，由此判断出()2f -和()1f 的大小关系.【详解】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于()01f x x '>+，所以当1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】通过线面垂直的性质，证得①正确.通过线面平行的判定定理，证得②正确.当BC BD ⊥时，可推出BC AD ⊥，由此判断③错误. 【详解】对于①，设E 是AC 的中点，连接,BE DE ，由于AB BC =，CD DA =，所以,AC BE AC DE ⊥⊥，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC BD ⊥，故①正确.对于②，由于M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确.对于③，当BC BD ⊥时，由于BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥，故③错误.综上所述，正确的为①②. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、线线垂直的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 11．D 【解析】试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，，所以过2F 作平行于渐近线的直线的方程为， 因为12PF PF ⊥，所以直线的方程为，联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上，所以，即，因为，所以，整理得，因为，所以.故选D.考点：双曲线的性质. 12．C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式，根据{}n a 是等差数列，取得1a 的取值范围. 【详解】由于定义{},,max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，而函数{}2()max 2,4f x x x =-+-，由224y x y x ⎧=-+⎨=-⎩解得37x y =-⎧⎨=-⎩或22x y =⎧⎨=-⎩，画出22,4y x y x =-+=-的图像如下图所示，由图可知()24,32,324,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩.由于数列{}n a 满足()1n n a f a +=（*n ∈N ），且{}n a 是等差数列.当13a ≤-时，()21147a f a a ==-≤-，()322411a f a a ==-≤-，……，推辞类推，数列 {}n a 是首项为1a ，公差为4-的等差数列，符合题意.当132a -<<时，21722a -<-+<，要使{}n a 是公差为4-的等差数列，则需2211124a a a a -=-+-=-，解得13a =-或12a =不符合.由22x x -+=，解得2x =-或1x =.则当12a =-时，2n a =-为常数列；当11a =时，1n a =为常数列.此时{}n a 为等差数列.当12a ≥时，由于2142a a =-≥-，故{}n a 不能构成公差为4-的等差数列，也不是常数列，不符合题意.综上所述，1a 的取值范围是(]{},32,1-∞--故选：C 【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查等差数列的知识的运用，属于中档题. 13．27 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，求得9S 的值. 【详解】由于数列{}n a 是等差数列，则19289699927222a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 14．40 【解析】先安排一个老师到甲地，然后安排三个学生到甲地，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数. 【详解】先安排一个老师到甲地方法数有122C =种，再安排三个学生到甲地方法数有3620C =种，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数为22040⨯=种. 故答案为：40 【点睛】本小题主要考查分步乘法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题. 15．12π【解析】 【分析】根据()f x 的对称中心、对称轴和最小正周期的范围列方程和不等式，由此求得ϕ的值. 【详解】由于函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）图象的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，一条对称轴为58x π=，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2sin 0858222k πωϕππωϕπππω⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+=+⎨⎪⎪>⎪⎩12858201k k πωϕπππωϕπω⎧-+=⎪⎪⎪⇒+=+⎨⎪<<⎪⎪⎩，第二个式子减去第一个式子并化简得()214233k k ω=-+，由于01ω<<，所以取12k k =，23ω=，代回第一个式子得1128312k k ππϕππ=+⨯=+，由于||2ϕπ<，故取10k =，12πϕ=. 故答案为：12π本小题主要考查根据三角函数的对称中心、对称轴、周期求参数，属于中档题. 16．(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】 由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x+=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11ln ln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a >.同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．（1）[1,1]-（2）存在，通项公式为54n b n =- 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质，将21a a d =+代入221212a a a a +=+，化简整理即可求出结果；（2）根据1d =-求出1a ，再假设存在等差数列{}n b ，结合题意求出n b ，再由裂项相消法求出数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，即可求出结果.【详解】 解:（1）221212a a a a +=+，()221112a a d a d ∴++=+，整理得，()22112210a d a d d +-+-=则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-. （2）1d =-，2112420a a ∴-+=，即11a =，则2n a n =-.假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-.此时2211111n n a b n n n n ==-+++，2221122111n n a b a b a b ++⋅⋅⋅++++ 1111112231n n =-+-+⋅⋅⋅+-=+ 1111n n n -=++， 故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与性质，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.18．（1）证明见解析（2）7- 【解析】 【分析】（1）首先由AO ⊥平面11BB C C 证得1AO B C ⊥，根据四边形11BB C C 是菱形证得11BC B C ⊥，由此证得1B C ⊥平面1ABC ，进而证得1B C AB ⊥.（2）首先根据“直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为30”得到30ABO ∠=︒.以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面111B C A 的法向量和平面11B C B 的法向量，计算出二面角111A B C B --的余弦值.【详解】（1）证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥， 因为1BC BB =，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥， 因为1AO BC O ⋂=，所以1B C ⊥平面1ABC ，所以1B C AB ⊥.（2）因为11A B 与平面11BB C C 所成的角为30，11//A B AB ， 所以AB 与平面11BB C C 所成的角为30， 因为AO ⊥平面11BB C C ，所以AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠， 所以30ABO ∠=︒，令2BC =，则12B C =，BO =，1OA =，以O 为坐标原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O，)B，1(0,1,0)B ，(0,0,1)A，()1C ，因为111OA OA AA OA BB =+=+()()()0,0,1=+=，所以()1A ，平面11B C B 的一个法向量为(0,0,1)OA =，设平面111B C A 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11111100n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令1x =，则y =-z =(1,3,n =-，所以21cos ,n OA n OA n OA⋅==⋅， 所以二面角111A B C B --的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想.19．（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】 【分析】 【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+；若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．20．（1）2214x y +=（2）直线l 恒过定点(1,1) 【解析】【分析】（1）设(),P x y ，由此得出,A B 两点的坐标，根据||3AB =列方程，化简后求得P 点的轨迹方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线方程和轨迹Γ的方程，写出判别式和韦达定理，根据直线QM ，QN 的斜率之和为2列方程，求得,m k 的关系式，由此判断直线l 过点()1,1.当直线l 斜率不存在时，同样利用直线QM ，QN 的斜率之和为2列方程，由此求得直线l 的方程，此时直线l 也过点()1,1，由此判断出直线l 恒过定点()1,1.【详解】（1）设(,)P x y ，因为点P 在线段AB 上，且||2||BP PA =，所以3,02x A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,3)B y ， 因为||3AB =，所以223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 所以点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()222(8)441440km k m ∆=-+->，即22410k m -+>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+， 因为直线QM ，QN 的斜率之和为2，所以1212112y y x x +++=， 所以()1212(1)22m x x k x x +++=，即2(1)2221m km k m +⨯-=-，所以1m k =-， 当1m k =-时，满足22410k m -+>，即>0∆，符合题意，此时l ：1y kx k =+-恒过定点(1,1)，当l 的斜率不存在时，12x x =，12y y =-，因为直线QM ，QN 的斜率之和为2，所以122212222111122y y y y x x x x x ++-+++=+==， 所以21x =，此时l ：1x =，恒过定点(1,1)，综上，直线l 恒过定点(1,1).【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化思想.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）2a ≥【解析】【分析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况，分类讨论()f x 的单调区间.（2）首先判断0a >.解法一：构造函数()()(2)cos g x f x a x =-+，求得()g x 的导函数()'g x ，对a 分成2a ≥，02a <<两种情况进行分类讨论，结合()0g x ≥求得a 的取值范围.解法二：当2a ≥时，根据()f x 的单调性证得()(0)2(2)cos f x f a a x ≥=+≥+.当02a <<时，同解法一，证得此时不满足()(2)cos f x a x ≥+.【详解】（1）()e 2e (2)x x f x a a -'=-+-2e (2)e 2e x x x a a +--=()()e 2e 1e x x x a -+=， 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0f x '<得2ln x a <，所以()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 由()0f x '>得2ln x a >，所以()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）解法一： 当2x π=时，22e 2e (2)022f a a ππππ-⎛⎫=++-≥ ⎪⎝⎭，即222e 02e a ππππ⎛⎫+≥-> ⎪⎝⎭， 所以0a >，令()()(2)cos g x f x a x =-+e 2e (2)(2)cos x x a a x a x -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin x xg x a a a x -'=-+-++2e 2(2)(2)sin e x x a a a x -=+-++ 若2a ≥，则当[]0,x π∈时，()0g x '≥，所以()g x 在[]0,π上单调递增；当(,)x π∈+∞时，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+2e 2e 44404a a ππ>--≥-->， 所以当[)0,x ∈+∞时，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g ≥=.若02a <<，则(0)2(2)0g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)e 2e 4x x x x a a a a --≥-+--+=--，由e 2e 40x x a ---=得2ln 0x a+=>，所以ln 0g ⎛'≥ ⎝⎭，所以020,ln x a ⎛∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意.综上，a 的取值范围为2a ≥.解法二： 当2x π=时，22e 2e (2)022f a a ππππ-⎛⎫=++-≥ ⎪⎝⎭，即222e 02e a ππππ⎛⎫+≥-> ⎪⎝⎭， 所以0a >，若2a ≥，由（1）知：()f x 在2ln,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为2a ≥，所以2ln 0a≤，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增， 所以当[)0,x ∈+∞时，()(0)2(2)cos f x f a a x ≥=+≥+.若02a <<，令()()(2)cos g x f x a x =-+e 2e (2)(2)cos x x a a x a x -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin x xg x a a a x -'=-+-++2e 2(2)(2)sin e x x a a a x -=+-++ 所以(0)2(2)0g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x-'=-+-++e 2e (2)(2)e 2e 4x x x x a a a a --≥-+--+=--，由240x x ae e ---=得ln 0x =>，所以2ln 0g a ⎛⎫'≥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以020,ln x a ⎛∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()(0)0g x g <=，不合题意.综上，a 的取值范围为2a ≥.【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.22．（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值.【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数） ∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=. ∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-.∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α=∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23．（1）()(),04,-∞+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）将不等式62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，12sin |1|1x a a ≥---+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】（1）∵62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩，∴4a > 当13a <<时，不等式化为(3)(1)413a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解 当1a ≤时，不等式化为(3)(1)41a a a -+->⎧⎨≤⎩，∴0a < 综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞（2）要证x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--+恒成立 即证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a -++≥又11|1|111a a a a -++≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1|1|12a a -++≥成立，∴原题得证 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.。