析取范式

由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大 项由下表给出
极小项 公式 成真 赋值 名称 公式
极大项 成假 赋值 名称
∧¬r ¬p ∧ ¬q ∧¬ ¬p ∧ ¬q ∧ r ¬p ∧ q ∧ ¬r ¬p ∧ q ∧ r p ∧ ¬q ∧¬ ∧¬r p ∧ ¬q ∧ r p ∧ q ∧ ¬r p∧q∧r
例如，析取范式： 例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, ∧ ） , ┐p∧ p∨┐q∨r. ┐q∨ 合取范式:(p∨ ∨ ∧ 合取范式 ∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. ∨ ∧ ∧ ∨ ∨ 定理： 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 ） 每个简单合取式都是矛盾式。 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 ） 析取式都是重言式。 析取式都是重言式。
极小项
极大项
公式 ¬p∧¬ ∧¬q ∧¬ ¬p∧q ∧ p∧¬ ∧¬q ∧¬ p∧q ∧
成真赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 m0 m1 m2 m3
公式 p∨q ∨ p∨¬ ∨¬q ∨¬ ¬p∨q ∨ ∨¬q ¬p∨¬ ∨¬
成假赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 M0 M1 M2 M3
例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式 的析取范式与合取范式。 (1)合取范式 合取范式： 解: (1)合取范式： (p→q)↔r ⇔ (┐p∨q)↔ r (┐p∨ ((┐p∨ r)∧(r→(┐p∨ ⇔ ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨ ⇔ (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨ ⇔ ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨ ⇔ (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
定理 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和 主合取范式，且是唯一的。 主合取范式，且是唯一的。 用等值演算法求公式的主范式的步骤： 用等值演算法求公式的主范式的步骤： 先求析取范式（合取范式） （1）先求析取范式（合取范式） 将不是极小项（极大项）的简单合取式（ （2）将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单 析取式）化成与之等值的若干个极小项之析取（ 析取式）化成与之等值的若干个极小项之析取（极 大项之合取），利用的等值式为同一律（零律）、 ），利用的等值式为同一律 大项之合取），利用的等值式为同一律（零律）、 排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. ）、分配律 排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. 极小项（极大项）用名称m 表示， （3）极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并 按角标从小到大顺序排序. 按角标从小到大顺序排序.
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
p∨q∨r p ∨ q ∨ ¬r p ∨ ¬q ∨ r p ∨ ¬q ∨¬r ∨¬ ¬p ∨ q ∨ r ¬p ∨ q ∨ ¬r ¬p ∨ ¬q ∨ r ∨¬r ¬p ∨ ¬q ∨¬
定理 (范式存在定理)任一命题公式都存在着 范式存在定理) 与之等值的析取范式与合取范式。 与之等值的析取范式与合取范式。 求范式的步骤： 求范式的步骤： 1．消去联结词→、↔； 消去联结词→ 2．消去否定号┐； 消去否定号┐ 3．利用分配律。 利用分配律。 命题公式的析取范式与合取范式都不是唯一 的。
一、析取范式与合取范式
定义1 命题变项及其否定统称作文字。 定义1： 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。 例如，文字：p, ┐q, r, q. 例如，文字： 简单析取式: p∨ p∨┐p∨ ┐p∨ 简单析取式: p, q, p∨q, p∨┐p∨r, ┐p∨q∨┐r. 简单合取式: ┐p∧ ┐p∧ p∧ 简单合取式: p, ┐r, ┐p∧r, ┐p∧q∧r, p∧q∧┐q.
因为：┐┐A 因为：┐┐A⇔A ┐(A∧B)⇔┐A∨ ┐(A∧B)⇔┐A∨┐B ┐(A∨B)⇔┐A∧ ┐(A∨B)⇔┐A∧┐B 在析取范式中不出现如下形式的公式： （3）在析取范式中不出现如下形式的公式： A∧(B∨C) (B∨ 在合取范式中不出现如下形式的公式： 在合取范式中不出现如下形式的公式： A∨(B∧C) (B∧ 因为： (B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧ 因为：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨
研究范式的目的在于，将给定公式化成与之 研究范式的目的在于， 等值的析取范式或合取范式。 等值的析取范式或合取范式。 范式的特点： 范式的特点： 范式中不出现联结词→ 求范式时可消去： 范式中不出现联结词→、↔，求范式时可消去： A→B ┐A∨B ┐A∨ A↔B (┐A∨B)∧(A∨┐B) (┐A∨B)∧(A∨ 范式中不出现如下形式的公式： （2）范式中不出现如下形式的公式： ┐┐A, ┐(A∧B), ┐(A∨B) ┐┐A, ┐(A∧ ┐(A∨
0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
由上表可见: 由上表可见: (1)n个命题变项可组成2n个不同的极小项和2n个不 (1)n个命题变项可组成2 个不同的极小项和2 同的极大项。 同的极大项。 (2)每个极小项都有且仅有一个成真赋值，其成真赋 (2)每个极小项都有且仅有一个成真赋值 每个极小项都有且仅有一个成真赋值， 值对应的二进制数转化为十进制数为i 值对应的二进制数转化为十进制数为i，记该极小项 为mi. (3)每个极大项都有且仅有一个成假赋值，其成假赋 (3)每个极大项都有且仅有一个成假赋值 每个极大项都有且仅有一个成假赋值， 值对应的二进制数转化为十进制数为i 值对应的二进制数转化为十进制数为i，记该极大项 为Mi。
例 求公式 (p→q)↔r的主析(合)取范式。 (p→q)↔r的主析 的主析( 取范式。 (1)主析取范式 解: (1)主析取范式 由例 2.7 知，(p→q)↔r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧ ⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧ ∵ (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧r (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧ ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ⇔ m1∨m3 (q∧r) ⇔ (┐p∨p)∧q∧r (q∧ (┐p∨p)∧ (┐p∧ r)∨(p∧ ⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m3∨m7 ┐q∧ （p∧┐q∧ ┐ r) ⇔ m4 ∴ (p→q)↔r ⇔m1∨m3∨m4∨m7
11求主析取范式求主析取范式析取范式析取范式mm66mm77rrppppqqqqrrppqqrrppqqrmm11mm33mm55mm77代入并排序得代入并排序得mm11mm33mm55mm66mm77主析取范式主析取范式22求求aa的主合取范式的主合取范式合取范式合取范式pprrppqmm00mm22pqqrrppqqr代入并排序得代入并排序得00mm22mm44主合取范式主合取范式例例2929求求pq的主析取范式和主合取范式的主析取范式和主合取范式主合取范式主合取范式主析取范式主析取范式mm00mm11mm33由表中看出由表中看出pqpq有三个成真赋值其主析取范式有三个成真赋值其主析取范式有三个极小项极小项的下标分别为三个成真赋值有三个极小项极小项的下标分别为三个成真赋值的十进制数
定理 设mi和Mi是p1,…,pn 组成的极小项和极大 项，则 ┐mi⇔Mi, ┐ Mi ⇔ mi
2．主析(合)取范式 ．主析 合 取范式 主析取范式：全部由极小项组成的析取范式。 主析取范式：全部由极小项组成的析取范式。 主合取范式：全部由极大项组成的合取范式。 主合取范式：全部由极大项组成的合取范式。 如：（p∧q）∨(p∧┐q)⇔m2∨m3 ∧ ） ∧ ⇔ (p∨q)∧(┐p∨q)∧(p∨┐q)⇔M0∧M2∧M1 ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ⇔
定理5.1 定理5.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同
时含某个命题变项及它的否定。 时含某个命题变项及它的否定。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某 个命题变项及它的否定。 个命题变项及它的否定。 定义2 定义2 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为 析取范式。 析取范式。 （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式 析取范式与合取范式统称为范式。 （3）析取范式与合取范式统称为范式。
（合取范式） 合取范式）
①
②
③ （主合取范式） 主合取范式）
例 2.9 求p→q 的主析取范式和主合取范式 解: (1) 主合取范式 p→q ⇔ ┐p∨q ┐p∨ ⇔ M2 (2) 主析取范式 p→q ⇔ (┐p∨q ) (┐p∨ ⇔(┐p∧(┐q∨q ))∨((┐p∨p)∧q) (┐p∧(┐q∨ ))∨((┐p∨p)∧ (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧ ⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧ (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) ⇔ m0∨m1∨m3
例 求公式 (p→¬q)→r的主析取范式与主合取范式. (p→¬ → 的主析取范式与主合取范式. →¬q) （1）求主析取范式 (p→¬q)→r⇔ (p∧q)∨r (p→¬ → →¬q) (p∧q)∨ 析取范式） （析取范式） ① (p∧q)⇔ (p∧q)∧(¬r∨r) (p∧q)⇔ (p∧q)∧ (p∧ ∧¬r)∨(p∧ ⇔ (p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r) ⇔ m6∨m7 ② r⇔ (¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r p)∧ q)∧ ∧¬q r)∨ r)∨(p∧¬ r)∨(p∧ ∧¬q ⇔ (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m1∨m3∨m5∨m7 ③ 代入①并排序， ②, ③代入①并排序，得 主析取范式） (p→¬q)→r ⇔ m1∨m3∨m5∨ m6∨m7 (主析取范式） (p→¬ → →¬q)
二、主析取范式与主合取范式 1．极小（大）项 ．极小（ 极小项（极大项） 定义 极小项（极大项）：含n个命题变项的简单合 个命题变项的简单合 取式（简单析取式）， ），每个命题变项和它的否定式 取式（简单析取式），每个命题变项和它的否定式 不同时出现，且二者之一必出现且仅出现一次。 不同时出现，且二者之一必出现且仅出现一次。且 第i个命题变项或者它的否定式出现在从左起算起的 个命题变项或者它的否定式出现在从左起算起的 第i位上（若无下标就按字典顺序排列）称这样的简 位上（若无下标就按字典顺序排列） 位上 单合取式（简单析取式） 极小项或者极大项。 单合取式（简单析取式）为极小项或者极大项。 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项由下表给 两个命题变项形成的极小项与极大项由下表给 出
由表中看出，p→q有三个成真赋值 有三个成真赋值， 由表中看出，p→q有三个成真赋值，其主析取范式 有三个极小项， 有三个极小项，极小项的下标分别为三个成真赋值 的十进制数；p→q有一个成假赋值 有一个成假赋值， 的十进制数；p→q有一个成假赋值，其主合取范式 有一个极大项， 有一个极大项，极大项的下标为成假赋值的十进制 由此，我们不难得到以下结论： 数。由此，我们不难得到以下结论：含n个命题变 项的公式， 项的公式，其主析取范式所含极小项的个数与其主 合取范式所含极大项的个数之和为2 合取范式所含极大项的个数之和为2n，并且极小项 的下标分别为成真赋值的十进制数， 的下标分别为成真赋值的十进制数，极大项的下标 分别为成假赋值的十进制数。可见， 分别为成假赋值的十进制数。可见，已求出公式的 一个主范式后，可立即得到公式的另一个主范式。 一个主范式后，可立即得到公式的另一个主范式。
（2）求A的主合取范式 (p→¬q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) (p→¬ → →¬q) (p∨r)∧(q∨ p∨r⇔ p∨(q∧¬q)∨r (q∧¬ ∨ ∧¬q) (p∨ r)∧(p∨¬ ∨¬q ⇔ (p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r) ⇔ M0∧M2 q∨r ⇔ (p∧¬p)∨q∨r (p∧¬ ∨ ∧¬p) (p∨ r)∧ ⇔ (p∨q∨r)∧(¬p∨q∨r) ⇔ M0∧M4 代入①并排序， ②,③代入①并排序，得 (p→¬q)→r ⇔ M0∧M2∧M4 (p→¬ → →¬q)
第五节 析取范式与合 取范式
含n个命题变项的公式的两种规范 表示方法
了解简单析取式、简单合取式、析取范式、 了解简单析取式、简单合取式、析取范式、 合取范式的概念 深刻理解极小项、极大项的定义，名称、 深刻理解极小项、极大项的定义，名称、 下角标与成真( 下角标与成真(假)赋值的关系 熟练掌握求主析取(主合取)范式的方法。 熟练掌握求主析取(主合取)范式的方法。 会用主析取范式求公式的成真赋值、 会用主析取范式求公式的成真赋值、成假 赋值、判断公式的类型、 赋值、判断公式的类型、判断两个公式是 否等值。 否等值。