2019-2020学年新人教A版必修一 集合的含义与表示 教案

集合的含义与表示
课程目标
知识提要
集合的含义与表示
集合的含义与表示主要包括对集合概念（尤其是对空集）的辨析、判断元素与集合的关系以及常见数集的记法．
集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．
集合通常用英语大写字母，，，来表示，它们的元素通常用英语小写字母，，，来表示．
集合中元素的性质
集合中元素的性质包括：
∙集合中元素的确定性
给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合中，或者不在给定集合中，二者必居其一．
∙集合中元素的互异性
给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重复出现的．
∙集合中元素的无序性
集合中的元素不考虑顺序，只要构成两个集合的对象是一样的，就称这两个集合是相同的．
元素和集合的关系
给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了．若是集合的
元素就说属于（belong to）集合，记作；若不是集合中的元素，就说不属于（not belong to）集合，记作．
集合的表示法
集合的表示法包括：
∙列举法
把集合的元素一一列举出来，并用 "{ }" 括起来表示集合的方法叫做列举法．
∙描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．如：所有奇数的集合表示为
．
常见的数集及其记法
常见的数集及其记法有：
∙全体非负整数组成的集合称为自然数集，记作；
∙全体正整数组成的集合称为正整数集，记作或；
∙全体整数组成的集合称为整数集，记作；
∙全体有理数组成的集合称为有理数集，记作；
∙全体实数组成的集合称为实数集，记作．
集合的分类
含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们通常用
来表示有限集合中元素的个数．
空集的概念
∙空集
不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为．
精选例题
集合的含义与表示
1. 已知集合中的元素是，，，则集合中的元素个数是．
【答案】
【分析】集合中的元素为，，，其中是一个实数对，所以共个．
2. 当满足时，集合表示集合．
【答案】
【分析】由得，
故表示集合时，必须且只需，解得．
3. 有下列个结论：①；②；③；④．其中不正确结论的序号是．
【答案】③
【分析】根据元素与集合的关系，知①正确；②中集合中的元素是空集，故②正确；由于空集是不含有任何元素的集合，故③不正确，④正确．
4. 设集合，若，则的值是．
【答案】
5. 已知关于的不等式的解集为，若且时，则实数
的取值范围是
【答案】或
【分析】由已知条件知
6. 已知集合，集合．用列举法表示集合．【解】．
7. 若，则中元素应满足什么条件？
【解】因为，集合的元素具有互异性，
所以且且，
所以所应满足的条件是且且．
8. 数集满足条件：，若，则．
(1)若，则中至少含有哪些元素？
【解】由，得，所以；
由，得，所以；
由，得，所以．
所以中至少含有元素．
(2)能否为单元素集合（只含有一个元素的集合）？若能，求出集合；若不能，说明理由．
【解】设为单元素集合，则，即，该方程无实数解．
所以不能是单元素集合．
9. 已知集合．
(1)若是空集，求的取值范围；
【解】若，方程无解，
则且，
解得．
(2)若中至多只有一个元素，求的取值范围．
【解】若中至多只有一个元素，
则方程满足，
且，或，
解得或．
10. 用适当方法表示下列集合：
(1)方程的解集；
【解】由算术平方根及绝对值的意义，可知
解得
因此该方程的解集为．
(2)由二次函数图象上所有点组成的集合．
【解】首先此集合应是点集，是二次函数图象上的所有点，
故用描述法可表示为．
集合的概念
1. ，若表示集合中元素的个数，则
，．
【答案】；
【分析】当时，，
所以，即，
所以．由于不能整除，，
所以当时，符合条件的的值共有个，
所以．
2. 集合相等：只有构成两个集合的元素是的，才说这两个集合是相等的．
【答案】一样
3. 在"①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解"中，能够表示成集合的是．
【答案】②③
4. 当、满足时，集合；
当、满足时，集合．
【答案】，，，
【分析】的方程可化为，
由知，；
由知，，．
5. 设表示不超过的最大整数，集合
中的元素个数为个．
【答案】
【分析】设．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以在时，，由上知可以取，若，则只取个值，故集合中共有个不同元素．
6. 若集合中仅有一个元素，求、的值．
【解】由题意，得解得
7. 年奥运会中国代表团中，参加过上届奥运会的运动员组成一个集合；
【解】正确．因为满足集合中元素的确定性与互异性．
8. 由，，组成的集合与由，，组成的集合是同一个集合．
【解】正确．集合中的元素相同．
9. 已知集合．
(1)若是空集，求的取值范围；
【解】是空集，
方程无实数根，
，且，解得．
即的取值范围为．
(2)若中只有一个元素，求的值；
【解】中只有一个元素，
方程只有一个实数根．
若，方程为，解得，此时；
若，则，即，解得．
或．
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
【解】中至多有一个元素包含中只有一个元素和是空集两种情况，
由（1）（2）可知的取值范围为或．
10. 已知关于的方程（），当、、满足什么条件时，解集分别为空集、含一个元素的集合、含两个元素的集合？
【解】当时，方程的解集为空集；
当时，方程的解集含一个元素；
当时，方程的解集含两个元素．
集合中元素的性质
1. 已知集合，若，则的值是．
【答案】
2. 由下列对象组成的集体属于集合的是（填序号）．
①不超过的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
【答案】
3. 已知集合含有三个元素，，，则的值为
【答案】，且
【分析】根据元素的互异性知，且，
所以，且．
4. 已知，则实数的值为．
【答案】或
【分析】当时，与相同，与集合元素的互异性矛盾；
当时，，符合题意；
当时，（舍去）或，
经检验，时符合题意，
所以的值为或．
5. 已知集合，且，则实数的取值所组成的集合是．
【答案】
【分析】若，则符合题意；
若，则，此时，不是三元集，舍去；若，则，舍去．
6. 设为实数集，且满足条件：若，则．
求证：
(1)若，则中必还有另外两个元素；
【解】若，则．
又，所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以中另外两个元素为．
(2)集合不可能是单元素集．
【解】若为单元素集，则，
即，方程无解．
所以，不可能为单元素集．
7. 已知集合，
(1)若，求的取值范围；
【答案】．
【解】因为，所以方程无实根．
当时，，解得；
当时，不符合题意．
所以．
(2)若中只有一个元素，求的值；
【答案】或时，中只有一个元素．
【解】中只有一个元素等价于方程只有一解或有两相同实根．
若，则，解得，此时．
若，则．
所以或时，中只有一个元素．
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】当或时，中至多有一个元素．
【解】中至多有一个元素等价于方程至多有一解或有两相同实根．所以
或
解得
或
所以当或时，中至多有一个元素．
8. 设，集合中含有三个元素，分别为，，．
(1)求元素满足的条件；
【解】由集合元素的特性，需满足即解得
且
且
所以，且，且．
(2)若，求实数．
【解】若，则，符合集合的定义；若，即，
因为，故方程无解，所以．
9. 已知集合．若中元素至多只有一个，求实数的取值范围．
【解】（i）时，原方程为，符合题意；
（ii）时，方程为一元二次方程，依题意．综上，实数的取值范围是或．
10. 已知关于的不等式的解集为．
(1)当时，求集合；
【解】当时，不等式化成，
解得，且．
故且．
(2)当且时，求实数的取值范围．
【解】由，得，
即，
所以．
当时，．
所以当时，．
所以．
元素和集合的关系
1. 已知集合，若集合是单元素集，则实数的取值范围
为．
【答案】
【分析】因为，所以，所以或，因为集合是单元素集，所以关于的方程没有实数根，所以
，解得，即实数的取值范围为．
2. 已知集合，若，则．
【答案】
3. 已知时，集合中有且只有三个整数，则实数的取值范围是．
【答案】
【分析】由，则，所以必在集合中．若区间端点均为整数，则，集合中有三个整数，所以符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度应满足，解得，此时，集合中有三个整数，所以符合题意．综上的取值范围是．
4. 元素与集合的关系
【答案】是集合，不是集合
5. 集合，则它的元素是．
【答案】
6. 已知集合，集合，且满足：
，，与恰有一个成立．对于定义
，
．
若，，求的值及的最大值．
【解】因为，
所以，，，
故．
因为，
所以，
所以．
所以当时，
取得最大值．
7. 设集合，解方程，．
【解】，，则
由，则
由，，故，．
，值代入，满足方程．
故满足要求的原方程的解为．
8. 已知数集满足条件：若，则．
(1)设，试把由此确定的的其他元素全部求出来，并指出这时中共有多少个元素；【解】若，则，则，
则，则，
以后循环，于是共个元素．
(2)自己设计一个数属于，再把由此确定的的其他元素全部求出来；
【解】取，仿上得．
(3)比较（1）与（2）的结论，你有什么发现？试写出你的发现，并大胆尝试如何给出证明．
【解】比较（1）与（2）的结论，猜想集合中只含个元素，且两两互为负倒数，猜
想证明如下：
由，则．
由，则有，
则，则．
以后重复以上过程，故中只含有个元素，即．
9. 已知集合是元素为正整数的非空集合，同时满足"若，则 "．
(1)如果集合是单元素集，求集合；
【解】若，则，如果集合是单元素集，则．
所以，所以．而集合的元素为正整数，
所以，即．
(2)集合最多含有多少个元素？求出这个集合．
【解】设，则．
因为集合的元素为正整数，所以，
所以只可能取，，，，．
若，则；若，则．
而由（1）知，如果集合是单元素集，则集合，
故集合最多含有个元素，这个集合是．
10. 已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的取值范围；
【解】因为方程只有一个解，
若，则；
若，则，解得，此时．
所以或时，中只有一个元素．
(2)若中至少有一个元素，求的取值范围．
【解】①中只有一个元素时，或．
②中有两个元素时，
解得且．
综上知中至少有一个元素，的取值范围为．
集合的表示法
1. 集合可用描述法表示为．
【答案】
2. 方程的解集可表示为；方程组的解集可表示为．
【答案】
3. 集合用列举法可表示为．
【答案】
4. 用列举法表示不等式组的整数解的集合：．【答案】
5. 已知，，则．【答案】
6. 用列举法表示下列集合：
(1) ；
【解】．
(2) ；
【解】．
(3) ．
【解】．
7. 用适当的方法表示下列集合
(1)方程的解集；
【解】因为方程的解为和，
所以解集为；
(2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合；
【解】且；
(3)不等式的解的集合；
【解】；
(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合．
【解】．
8. 用列举法表示下列集合：
；
．
【解】．
．
9. 用另一种方法表示下列集合：
(1)；
【解】且．
(2)已知，，写出集合；
【解】．
(3)．
【解】．
10. 已知全集，集合，
，
(1)用列举法表示集合与；
【解】，，所以用列举法表示集合与为：，．
(2)求及．
【解】由（1）可得：，，
又因为，所以．
常见的数集及其记法
1. 已知集合，则
【答案】
2. 用列举法表示下列集合：
（）；
（）；
（）．
【答案】（）；（）；
（）
【分析】因为，所以，
又因为，所以，，，故．
（）因为，所以，
又因为，所以，，，，，故．
（）因为，，，
所以，，，，，，，，
故．
3. 常用数集及表示符号：
【答案】，或，，，
4. 有下列关系：
①；②；
③；④．
其中正确关系的个数为．
【答案】
【分析】显然，①正确；，②正确；，，故③④不正确．
5. 设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、
（除数）则称是一个数域，例如有理数集是数域，有下列命题：
①数域必含有，两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集，则数集必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号都填上）
【答案】①④
【分析】若，，则，，故①正确；
，但，故②不正确；
设，则，故③不正确；
若，则，，显然为无限集．
集合的分类
1. 指出下列集合哪些是有限集，哪些是无限集．
(1)一年内四个季节组成的集合；
【解】因为一年内四个季节为春、夏、秋、冬，所以是有限集．
(2)方程的实数解组成的集合；
【解】因为方程的解为或，故为有限集．
(3)不等式的解集．
【解】因为的解集为，有无数个实数符合条件，故解集为无限集．空集的概念
1. 下列四个集合：①；②；③；④
．其中空集的个数为．
【答案】
2. 集合，若，则实数的范围是．
【答案】
3. 空集
（1）定义：的集合叫做空集．
（2）用符号表示为：．
（3）规定：空集是任何集合的．
【答案】（1）不含任何元素；（2）；（3）子集
4. 方程的全体实数解组成的集合为．
【答案】
5. 已知集合，且，则实数的取值范围是．
【答案】
【分析】因为，所以，所以．
6. 已知集合，，
．
(1)若，求实数的值；
【解】因为，所以，
于是，是方程的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系知解得．
(2)若，，求实数的值．
【解】由，，得，，．
由得，解得或．
当时，，与矛盾；
当时，，符合题意．
综上，．
7. 已知集合，或，，若
，试确定实数的取值范围．
【解】由题意得．
因为，
所以．
当时，有，解得；
当时，由可得，解得．
所以或，
即实数的取值范围为或．
8. 设集合，．
(1)当时，求的非空真子集的个数；
【解】由已知，得
由，得，即中含有个元素．
因此，的非空真子集数为．
(2)若，求的取值范围；
【解】根据题意，只有当，即时，．
(3)若，求的取值范围．
【解】当，即时，；
当时，．若，则必须
解得，这与矛盾，所以的值不存在；
当时，．若，则必须
解得．
综上，的取值范围是．
9. 已知集合，，．
(1)求，
【解】因为，所以或
又因为，所以，
或
(2)若，求的取值范围
【解】因为且，所以．
课后练习
1. 用列举法表示集合：．
2. 若集合，其中且，若，则中元素之和是
3. 已知集合，用列举法表示集合为
4. 不等式组的整数解的集合为
5. 已知集合，，则中所含元素的个数为．
6. 方程的解集与集合相等，若集合中的元素是，，则
．
7. 对于集合，若则那么的值是
8. 已知集合，，且，则
为．
9. 设、为两个实数集，定义集合，若
，，则中元素的个数为．
10. 由实数，，，，所组成的集合最多含有个元素．
11. 集合中元素的特性：、、．
12. 下列语句：①与表示同一集合；②由，，组成的集合可表示为或
；③方程的所有解的集合可表示为；④集合是有限集．其中正确的是（把所有正确语句的序号都填上）．
13. 已知数集中有三个元素，那么的取值范围为．
14. 由，，可组成一个含有个元素的集合，则实数的取值范围用集合可表示为．
15. 设，为两个非空实数集合，定义集合．若，
，则中元素的个数是．
16. 已知集合含有三个元素，，，若，则实数．
17. ，，若，则，的值为．
18. 用符号“ ”或“ ”填空：
（1）若，则；；
（2）若，则；．
19. 集合中的最小整数为．
20. 对集合与，若且，当集合，集合
时，则．
21. 若，则．
22. 设集合，，若且，则．
23. 集合的元素个数是，这些元素的和
为．
24. 已知集合，若中元素至多有个，则的取值范
围是．
25. 设集合，若且对中
的其它元素，总有，则．
26. 用列举法表示集合且为．
27. 若，，用列举法表示为．
28. 列举法
把集合的元素出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
29. 能被整除的正整数的集合，用描述法可表示为．
30. 若集合，，则用列举法表示集合
．
31. 用列举法表示集合且．
32. 式子的所有可能取值组成的集合为．
33. 已知集合，则中元素的个数是．
34. 用符号与填空：
（1）．；；；；
；．
（2）．；；；．（3）．若，则，若，则．
35. 对于自然数集，若，，则，．
36. 已知集合，则用列举法表示．
37. 已知，若集合中恰有个元素，则实数的取值范围是．
38. 已知集合，它们三个集
合相等吗？试说明理由．
39. 选择适当的方法表示下列集合：
(1)由方程则的所有实数根组成的集合；
(2)由小于的所有素数组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合；
(4)不等式的解集．
40. 已知集合，集合，其中是有序数对，求集合中元素的个数．
41. 集合与集合与集合
表示的是同一个集合吗？
42. 设，，，求．
43. 指出下列集合中的元素，并指出是有限集还是无限集．
①方程的解；②平行四边形的全体；③平面内与一定点的距离等于定长
的点的全体；④方程的解集．
44. 集合满足条件：若，则（且），已知，试把由此确
定的集合的所有元素求出来．
45. 判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010 年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)组成的集合含有四个元素；
(4)高一（三）班个子高的同学构成一个集合．
46. 已知数集具有性质：对任意的
，，两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：，且；
(3)证明：时，成等差数列．
47. 设集合中有且仅有三个元素，，，求所满足的条件．
48. 已知集合，，若集合与集合相等，求的值．
49. 已知集合，，设全集为，若，求．
50. 已知数集具有性质对任意的
，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：，且；
(3)证明：当时，，，，，成等比数列．
51. 已知集合含有三个元素，且，求的值．
52. 设由可表示为两整数的平方差的整数组成的集合为．
(1)求证：所有奇数都属于；
(2)为使偶数，应满足什么条件？
(3)求证：属于的两个整数之积属于．
53. 设为数集，并且满足：（1）；（2）若，则．求证：若，则
．
54. 数集满足条件：若，则（，且），已知，试把由此确定的中的元素求出来．
55. 已知集合中仅有一个元素，求的值．
56. 设，，已知且，求的值．
(1)已知集合，求；
(2)已知集合，求．
58. 用列举法表示集合且．
59. 定义，设集合，，，求集合的所有元素之和．
60. 分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)大于且小于的整数所组成的集合；
(2)方程的实数根所组成的集合．
61. 给出下列三个集合，指出它们之间的关系，并加以区别：，
，
集合的含义与表示-出门考
姓名成绩
1. 已知，若集合中恰有个元素，则整数．
2. 集合，用描述法表示为
3. 用列举法表示集合为．
4. 若方程的解集为，则，．
5. 已知，，则用列举法表示集合
为．
6. 已知，则方程的解集用列举法可表示为．
7. 设集合，在上定义运算为：，其中为被除的余数，，，，，，则满足关系式的的个数
为．
8. 数集中实数应满足．
9. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则
．
10. 已知集合，集合，若，则实数
11. 已知集合，，，则．
12. 若集合，，且，则实数的值是．
13. 从符号、、、、中选出适当的一个填空．
；；；；
．
14. 用" "或 " "填空：
（1）若，则；；
（2）；
（3）．
15. 下列各式：①；②；③；④，其中错误的有．
16. 用符号" "或" "填空：
；；；；．
17. ，且，则中元素的个数为．
18. 在小于的正整数中，被除余的数的个数有个；这些数的和
是．
19. 集合用列举法表示为．
20. 若集合，，则．
21. 设，都是非零实数，给出集合，则用列举法表示
这个集合是．
22. 下列各组集合中，满足的有．（填序号）
①，；
②，；
③，．
23. 用描述法表示的集合可化简为．
24. 方程的解集中含有个元素．
25. 集合是由形如（，）的数构成的，判断是不是集合中的元素．
26. 设集合，．
(1) ，写出使的一个充要条件；
(2)求证：取定非零，若对任意的非零有理数，有，则对，，使得．
27. 已知，，
．当时，用列举法表示集合．
28. 已知集合由，，三个元素组成，若，求实数的值．
29. 已知集合，．
(1)若，求实数的取值集合；
(2)若，，求实数的值．
30. 设、为两个非空实数集合，中含有三个元素，中含有三个元素，定义
集合中的元素是，其中，则中元素的个数是多少？
31. 设集合，当时，试讨论，（）与集合
的关系．
32. 设，是集合和
的公共元素．
(1)求实数，的值；
(2)求，．
33. 设是整数集的一个非空子集．对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”．给定，写出由的个元素构成的所有含“孤立元”的集合．
34. 用列举法把下列集合表示出来：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
35. 用列举法表示下列集合：
(1)方程的根；
(2)不大于且大于的所有整数；
(3)函数与的图象的交点组成的集合．
36. 已知集合，且，求集合．。