福建省厦门市湖里区五缘第二实验学校2018-2019年九年级(上)期中数学试卷 解析版

2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（）
A．B．
C．D．
2．方程x2﹣x＝0的根是（）
A．1 B．1和0 C．0 D．1和﹣1
3．要从函数y＝x2的图象得到函数y＝（x﹣4）2的图象，则抛物线y＝x2必须（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
4．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）
A．20°B．40°C．80°D．100°
5．下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣l＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+x+2＝0
6．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝3 7．某商店一个月营业额50万元，三月份营业额72万元，设该店二、三月份平均每个月增长率为x，那么x满足的方程是（）
A．50（1+x）＝72 B．50（1﹣x）＝72
C．50（1+x）2＝72 D．50[（1+x）+（1+x）2]＝72
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）
A．（5，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）9．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定
10．根据下列表格的对应值：
x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax2+bx+c m m﹣3 m﹣4 m﹣3 m m+5 若0＜m＜3，则一元二次方程ax2+bx+c＝0一个较大的实数根x范围是（）
A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2
二．填空题（共6小题）
11．方程x2﹣4＝0的解是．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是．
13．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是．
14．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠C的度数之比为1：3，则∠C的度数是．15．一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出个小分支．
16．如图所示，平面直角坐标系的原点是等边三角形的中心，A（0，1），把△ABC绕点O顺时针每秒旋转60°，则第2018秒时，点A的坐标为．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：
（1）x2﹣6x﹣2＝0
（2）＝
18．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．
19．如图，把△ABC绕点C逆时针旋转40°得到△DEC，点D恰好落在边AB上，DE与BC 交于点F，且△ACD与△FCD关于直线CD对称，求∠B的度数．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
21．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：；
（2）若的度数为70°，求∠C的度数．
22．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏（1）若围成的矩形菜园的面积为200平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆ACB上，且∠AOC＝60°，点P是直径AB上一个动点（不含A，B两点），CP的延长线交⊙O于Q．
（1）请问∠AQC是否随点P的变化而变化？若不变，求出∠AQC的大小；若改变，说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，△AQC是等腰三角形，求AP的长．
25．已知直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，点O为坐标原点．
（1）若点A的横坐标为2，求b﹣k的值；
（2）若点A的横坐标为m，抛物线顶点的纵坐标为n，点P在线段AB上，且到两坐标轴
的距离相等，当OP≤时，试比较n与b+m﹣k的大小．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
故此选项正确．
故选：D．
2．方程x2﹣x＝0的根是（）
A．1 B．1和0 C．0 D．1和﹣1
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
解得：x＝0或x＝1，
故选：B．
3．要从函数y＝x2的图象得到函数y＝（x﹣4）2的图象，则抛物线y＝x2必须（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
【分析】先确定y＝x2的顶点坐标为（0，0），y＝（x﹣4）2的顶点坐标为（4，0），然后利用顶点之间的平移得到抛物线的平移．
【解答】解：函数图象y＝x2的顶点坐标为（0，0），y＝（x﹣4）2的顶点坐标为（4，0），而点（4，0）可由点（0，0）向右平移4个单位得到，
所以函数y＝x2的图象向右平移4个单位得到函数y＝（x﹣4）2的图象．
故选：D．
4．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）
A．20°B．40°C．80°D．100°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵弧AB所对的圆周角是∠C，所对的圆心角是∠AOB，且∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°，
故选：C．
5．下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣l＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+x+2＝0
【分析】一元二次方程实数根的情况是：判别式△≥时，方程有两个实数根，判别式△＜0时，方程没有实数根，据此可解．
【解答】解：选项A：△＝4﹣1＞0，故A有两个不相等的实数根，A不符合题意；
选项B：△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，故B有两个不相等的实数根，B不符合题意；
选项C：很明显，方程有实数根为±1，故C不符合题意；
选项D：△＝1﹣4×2＝﹣7＜0，故D没有实数根．
故选：D．
6．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝3
【分析】将点（1，0）代入y＝x2﹣3x+m，求出m，即可确定一元二次方程为x2﹣3x+2＝0，即可求解；
【解答】解：将点（1，0）代入y＝x2﹣3x+m，
解得m＝2，
∴y＝x2﹣3x+2，
∴x2﹣3x+2＝0的两个根为x＝1，x＝2；
故选：C．
7．某商店一个月营业额50万元，三月份营业额72万元，设该店二、三月份平均每个月增长率为x，那么x满足的方程是（）
A．50（1+x）＝72 B．50（1﹣x）＝72
C．50（1+x）2＝72 D．50[（1+x）+（1+x）2]＝72
【分析】设该店二、三月份平均每个月增长率为x，根据该商店一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该店二、三月份平均每个月增长率为x，
依题意，得：50（1+x）2＝72．
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）
A．（5，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）【分析】求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C＝30°，CD∥x 轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），
∴y＝2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴AB＝2，OB＝2，
由勾股定理得，OA＝＝＝4，
∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，
∴∠C＝30°，CD∥x轴，
设AB与CD相交于点E，则BE＝BC＝AB＝×2＝，
CE＝＝3，
∴点C的横坐标为3+2＝5，
∴点C的坐标为（5，）．
故选：A．
9．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定
【分析】先把二次函数解析式化为一般式，然后利用对称轴方程得到﹣＝2，于是解方程即可．
【解答】解：y＝（x+1）（x﹣a）＝x2﹣（a﹣1）x﹣a，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴a＝5．
故选：B．
10．根据下列表格的对应值：
x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax2+bx+c m m﹣3 m﹣4 m﹣3 m m+5 若0＜m＜3，则一元二次方程ax2+bx+c＝0一个较大的实数根x范围是（）
A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2
【分析】观察表格轴的数据，得到x＝0时，函数值y＜0；当x＝1时，函数值y＞0，由此可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0一个解的范围为0＜x＜1．
【解答】解：∵x＝0时，ax2+bx+c＝m﹣3＜0；x＝1时，ax2+bx+c＝m＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0一个较大的实数根x范围为0＜x＜1．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．方程x2﹣4＝0的解是±2 ．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为（1，2）．
13．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是 5 ．
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∴AC＝BC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC＝＝5，
故答案为：5．
14．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠C的度数之比为1：3，则∠C的度数是135°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．
【解答】解：设∠A的度数为x，则∠C的度数为3x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即x+3x＝180°，
解得，x＝45°，
∴∠C＝3x＝135°，
故答案为：135°．
15．一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出 5 个小分支．
【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【解答】解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得1+x+x2＝31，
解得x＝5或x＝﹣6（舍去），
∴每个支干长出5根小分支，
故答案是：5．
16．如图所示，平面直角坐标系的原点是等边三角形的中心，A（0，1），把△ABC绕点O顺时针每秒旋转60°，则第2018秒时，点A的坐标为（，﹣）．
【分析】△ABC绕点O顺时针旋转一周需6秒，而2018＝6×336+2，所以第2018秒时，点A旋转到点A′，∠AOA′＝120°，OA＝OA′＝1，作A′H⊥x轴于H，然后通过解直角三角形求出A′H和OH即可得到A′点的坐标．
【解答】解：∵360°÷60°＝6，2018＝6×336+2，
∴第2018秒时，点A旋转到点A′，如图，
∠AOA′＝120°，OA＝OA′＝1，
作A′H⊥x轴于H，
∵∠A′OH＝30°，
∴A′H＝OA′＝，OH＝A′H＝，
∴A′（，﹣）．
故答案为（，﹣）．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：
（1）x2﹣6x﹣2＝0
（2）＝
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝2，
∴x2﹣6x+9＝2+9，即（x﹣3）2＝11，
则x﹣3＝±，
∴x＝3±；
（2）两边都乘以（x﹣1）（x﹣3），得：x（x﹣1）＝（x﹣3）（x+1），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣1）（x﹣3）＝24≠0，
∴原分式方程的解为x＝﹣3．
18．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．
【分析】根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接，再找出关于点O 对称的点位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：△ABC如图所示，△ABC关于原点O对称的图形△A′B′C′如图所示．
19．如图，把△ABC绕点C逆时针旋转40°得到△DEC，点D恰好落在边AB上，DE与BC 交于点F，且△ACD与△FCD关于直线CD对称，求∠B的度数．
【分析】由旋转的性质可得∠ACD＝∠BDE＝∠BCE＝40°，根据轴对称的性质可得∠ADC ＝∠FDC，∠ACD＝∠DCF，可求出∠A的度数，则∠B的度数可求出．
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转40°得到△DEC，
∴∠ACD＝∠BDE＝∠BCE＝40°，
∵△ACD与△FCD关于直线CD对称，
∴∠ADC＝∠FDC，∠ACD＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠ACD＝40°，，
∴∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标即可得到方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
21．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：；
（2）若的度数为70°，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明＝，则要证明∠DAF＝∠GAD，由题干条件能够证明之；
（2）根据的度数为70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB＝（180°﹣∠BAF）＝55°，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AF．
∵A为圆心，∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴＝；
（2）解：∵的度数为70°，
∴∠BAF＝70°，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB＝（180°﹣∠BAF）＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝125°．
22．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏（1）若围成的矩形菜园的面积为200平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，即可求解．
【解答】解：（1）设AD＝x米，则AB＝，依题意得，x×＝200，
解得x1＝10，x2＝40
∵a＝20，且x≤a
∴x＝40舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，依题意
得：S＝＝﹣（x﹣50）2+1250，0＜x＜a，
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大，
当x＝a＝20时，S最大＝50a﹣a2＝800．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4m+17＞0，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b＝﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）＝4m+17＞0，
解得：m＞﹣．
∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m+9＝52＝25，
解得：m＝﹣4或m＝2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝﹣2m﹣1＞0，
∴m＝﹣4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆ACB上，且∠AOC＝60°，点P是直径AB上一个动点（不含A，B两点），CP的延长线交⊙O于Q．
（1）请问∠AQC是否随点P的变化而变化？若不变，求出∠AQC的大小；若改变，说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，△AQC是等腰三角形，求AP的长．
【分析】（1）利用圆周角定理知，∠AQC＝∠AOC＝30°；
（2）如图，连接OQ，构造菱形ACOQ，则其对角线相互垂直平分，易求得AP的长度．【解答】解：（1）不变，
如图，∵∠AOC＝60°，∠AQC＝∠AOC，
∴∠AQC＝30°；
（2）∵OC＝AO，∠AOC＝60°，
∴△ACO是等边三角形．
∴AC＝OC＝2．
若△AQC是等腰三角形时，只有AC＝AQ这一的情况，则AC＝OC＝OQ＝AQ，
∴四边形ACOQ是菱形，
∴对角线AO与CQ相互垂直平分，
∴AP＝AO＝1．
25．已知直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，点O为坐标原点．
（1）若点A的横坐标为2，求b﹣k的值；
（2）若点A的横坐标为m，抛物线顶点的纵坐标为n，点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，当OP≤时，试比较n与b+m﹣k的大小．
【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵A（2，0），直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，
∴，
∴2k﹣2b＝﹣4，
∴b﹣k＝2．
（2）∵B（0，m），A（m，0），
∴OA＝OB，
∵点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，当OP≤，
∴0＜m≤2，
点A（m，0），并且m＞0，
代入直线y＝kx+m得：y＝km+m＝0，
解得：k＝﹣1；
∴直线为y＝﹣x+m，与y轴的交点B（0，m）．
抛物线y＝﹣x2+bx+c开口向下，顶点为（，b2+c），
∴n＝b2+c，
点A和点B代入抛物线得：
y（0）＝﹣0+0+c＝m＞0，
y（m）＝﹣m2+bm+c＝0，
解得：b＝m﹣1，
∴n＝b2+c＝（m﹣1）2+m＝（m+1）2＝[（m+1）]2，
∴b﹣k+m＝m﹣1﹣（﹣1）+m＝2m，
∴n﹣（b﹣k+m）＝（m+1）2﹣2m＝（m2+2m+1﹣8m）＝（m2﹣6m+1）＝[（m﹣3）2﹣8]，
因为：0＜m≤2，
解（m﹣3）2﹣8＝0得：m＝3﹣2，
所以：0＜m＜3﹣2时，n＞b﹣k+m；
∴m＝3﹣2时，n＝b﹣k+m；
∴3﹣2＜m≤2时，n＜b﹣k+m．。