课时作业4：3.1.2 不等式的性质

3.1.2 不等式的性质
一、基础达标
1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )
A ．x 2<ax <a 2
B ．x 2>ax >a 2
C ．x 2<a 2<ax
D ．x 2>a 2>ax
答案 B
解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2.∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，
∴x 2>ax .
又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>xa >a 2.
2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )
A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D
解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12
， ∴a b >a b 2>a . 3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )
A.1a <1b
B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1
D ．a |c |>b |c | 答案 C
解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b
，∴A 不成立； 对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；
对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1
恒成立，∴C 正确； 对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．
4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )
A ．ab >ac
B ．ac >bc
C ．a |b |>c |b |
D ．a 2>b 2>c 2
答案 A 解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.
5．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是________．
①a 2b <ab 2；②1ab 2<1a 2b ；③b a <a b
. 答案 ②
解析 当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，∴a 2b >ab 2，1a 2b >1ab 2，①错，②对； 当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b
＝－1，故③错． 6．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式不一定成立的是________． ①ab >ac ；②c (b －a )>0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )<0.
答案 ③
解析 c <b <a 且ac <0，知a >0，c <0，而b 的取值不确定，当b ＝0时，③不成立．
7．若a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc .
证明 ∵a >b 且c >0，∴ac >bc ，∴－ac <－bc ，
又∵f <e ，∴f －ac <e －bc .
二、能力提升
8．若a <0，－1<b <0，则( )
A ．a <ab <ab 2
B ．ab 2>a >ab
C ．ab >b >ab 2
D ．ab >ab 2>a
答案 D
解析 ∵－1<b <0，∴b <b 2<1，又a <0，∴ab >ab 2>a .
9．如果－1<a <b <0，则有( )
A.1b <1a
<b 2<a 2 B.1b <1a <a 2<b 2 C.1a <1b
<b 2<a 2 D.1a <1b <a 2<b 2 答案 A
解析 ∵－1<a <b <0，
∴1b <1a
<0,1>a 2>b 2>0， ∴1b <1a
<0<b 2<a 2<1. 10．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________．
答案 [－3,2]
解析 ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1，∴－3≤a －b ≤2.
11．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若c a <c b
且c >0，则a >b ； (2)若a >b >0且c >d >0，则
a d >
b
c ； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b
； (4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .
解 (1) ⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，但推不出a >b ，(1)错． (2) ⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b c >0⇒a d >b c
成立，(2)对． (3)错，当a ＝1，b ＝－1时不成立．
(4)错，如：a ＝c ＝1，b ＝d ＝－2时不成立．
12．若－3<a <b <1，－2<c <－1，求(a －b )c 2的取值范围． 解 ∵－3<b <1，－1<－a <3，∴－4<b －a <4， 又∵b －a >0，∴0<b －a <4，
又1<c 2<4，∴0<(b －a )c 2<16，
不等式的两边同乘以－1，得－16<(a －b )c 2<0.
三、探究与创新
13．已知函数f (x )＝ax 2－c ，－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解 ∵f (x )＝ax 2－c ，∴⎩⎪⎨
⎪⎧ f (1)＝a －c ，f (2)＝4a －c ， ∴⎩⎨⎧ a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝13f (2)－43f (1).
∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53
f (1)， 又∵－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， ∴53≤－53f (1)≤203
， ① －83≤83f (2)≤403. ②
把①②的两边分别相加，得－1≤83f (2)－53
f (1)≤20，
即－1≤f(3)≤20.∴f(3)的取值范围是[－1,20]．。