2023年高考数学全国乙卷理科21的5种解法

2023年高考数学全国乙卷理科21的5种解法
2023年高考数学全国乙卷理科21题的具体内容可能因地区和版本而异，但我可以为你提供一个假设性的问题，并给出5种不同的解法。

假设性问题：
已知函数 (f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c) 有两个不同的极值点 (x_1) 和 (x_2)，且(f(x_1) = f(x_2) = 0)。

若 (a > 0)，求 (a) 的取值范围。

解法一：利用导数求极值点
1.求导：(f'(x) = 3x^2 - 2ax + b)。

2.极值点条件：令 (f'(x) = 0)，解得 (x_1) 和 (x_2)。

3.利用 (f(x_1) = f(x_2) = 0) 和 (a > 0) 求 (a) 的取值范围。

解法二：利用三次方程的韦达定理
1.利用 (f(x_1) = f(x_2) = 0) 和三次方程的韦达定理建立关系。

2.结合 (a > 0) 求 (a) 的取值范围。

解法三：利用函数的单调性
1.分析 (f'(x)) 的符号变化，判断 (f(x)) 的单调区间。

2.利用单调性和 (f(x_1) = f(x_2) = 0) 求 (a) 的取值范围。

解法四：数形结合
1.绘制 (f(x)) 和 (f'(x)) 的图像。

2.通过观察图像和 (a > 0) 的条件求 (a) 的取值范围。

解法五：利用已知条件构造新函数
1.构造新函数 (g(x) = f(x) - f(x_1)) 或 (g(x) = f(x) - f(x_2))。

2.分析新函数的性质，求 (a) 的取值范围。

举例：
以解法一为例，具体步骤可能如下：
1.(f'(x) = 3x^2 - 2ax + b)。

2.令 (f'(x) = 0)，得 (3x^2 - 2ax + b = 0)。

3.因为有两个不同的实根 (x_1) 和 (x_2)，所以判别式 (\Delta = 4a^2 - 12b > 0)。

4.利用 (f(x_1) = f(x_2) = 0) 和原函数 (f(x)) 建立方程组。

5.解方程组并结合 (a > 0) 求得 (a) 的取值范围。

每种解法都有其独特的思路和步骤，选择哪种解法取决于个人的偏好和对题目条件的理解。

在实际解题过程中，可能需要根据具体情况灵活选择或结合多种解法。

当然，我可以继续为你提供更多的解法和思路，但请注意，由于我没有具体的2023年高考数学全国乙卷理科21题的题目内容，以下的解法仍然是基于假设性的问题。

我将尝试给出更加多样化和深入的解法。

考虑函数 (f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c)，其中 (a, b, c) 为实数，且 (f(x)) 有两个不同的极值点 (x_1) 和 (x_2)，满足 (f(x_1) = f(x_2) = 0)。

在给定条件 (a > 0) 下，求解 (a, b, c) 的可能关系或 (a) 的取值范围。

解法六：参数消元法
求导并找到极值点：
(f'(x) = 3x^2 - 2ax + b)。

令 (f'(x) = 0)，解得 (x_1) 和 (x_2)。

利用极值点条件：
因为 (x_1) 和 (x_2) 是极值点，所以 (f(x_1) = 0) 和 (f(x_2) = 0)。

这给出了两个方程：
(x_1^3 - ax_1^2 + bx_1 + c = 0)
(x_2^3 - ax_2^2 + bx_2 + c = 0)
消元求解：
从上述两个方程中消去 (c)，得到一个关于 (x_1, x_2, a, b) 的方程。

再利用 (x_1 + x_2 = \frac{2a}{3}) 和 (x_1 x_2 = \frac{b}{3})（来自 (f'(x)) 的根与系数的关系），进一步消元求解。

结合 (a > 0) 求解：
最后，根据 (a > 0) 的条件，确定 (a, b) 的取值范围或关系。

解法七：高阶导数测试
求二阶导数：
(f''(x) = 6x - 2a)。

判断极值点类型：
由于 (x_1) 和 (x_2) 是极值点，(f''(x_1)) 和 (f''(x_2)) 的符号将决定它们是极大值点还是极小值点。

结合 (f(x_1) = f(x_2) = 0)：
利用 (f(x)) 在 (x_1) 和 (x_2) 处的值为零，结合二阶导数的符号，推断出 (f(x)) 的图像特征。

求解 (a) 的取值范围：
根据图像特征和 (a > 0) 的条件，推断 (a) 的可能取值范围。

解法八：利用三次方程的对称性
考虑三次方程的对称性：
三次方程 (f(x) = 0) 可能有三个根，其中包括 (x_1) 和 (x_2)。

由于它们是极值点且函数值为零，可以考虑三次方程的对称性来找出第三个根 (x_3)。

利用根与系数的关系：
根据三次方程的根与系数关系：
(x_1 + x_2 + x_3 = a)
(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b)
(x_1 x_2 x_3 = -c)
求解 (a, b, c) 的关系：
利用上述关系式，结合 (x_1) 和 (x_2) 是极值点的条件，求解 (a, b, c) 的可能关系。

结合 (a > 0) 确定取值范围：
最后，根据 (a > 0) 的条件，确定 (a) 的取值范围。

这些解法提供了不同的视角和工具来解决问题。

在实际应用中，选择哪种解法取决于问题的具体形式、个人的数学背景以及解题时的直觉和创造力。

希望这些解法能为你提供一些启发和帮助！。