【单元练】(人教版)重庆九年级数学下册第二十七章《相似》经典练习卷(答案解析)

一、选择题
1．若234a b c ==，则a b b c +-的值为（ ） A ．5
B ．15
C ．-5
D ．-15
C 解析：C
【分析】 设
234
a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可． 【详解】 解：设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∴a b b c +-=2334k k k k +-=5-k k
=﹣5， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．
2．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠DBC ＝30°，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若CD ＝2，则BF 的长为（ ）
A 23
B 23
C 63
D 43C 解析：C
【分析】
连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到
B
DE AB DF F =，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】
解：连接DE ，
∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2，
∴BC ＝2CD ＝4，
由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23
∵E 是BC 的中点，
∴DE ＝12
BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°，
∵对角线BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ，
∴DE ∥AB ， ∴B
DE AB DF F =， 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝
12BD 3 ∴AB 22BD AD -3， ∴
23DF FB =， 即233
2BF BF =， 解得，BF ＝
35
故选：C ．
【点睛】 本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
3．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16D
解析：D
【分析】 根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∵∠AEF=∠DEA ，
∴△AEF ∽△DEA ， ∴AE EF DE AE
=， ∴EF•ED=AE 2，
∵AE=4， ∴EF•ED 的值为16，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．
4．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:4
D ．2:3B
解析：B
【分析】 过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可
证得13BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】
解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G
∵D 是BF 的中点，
∴DB DF =
∵//FG BC
∴DFG DBE ∆∆
∴1FG DF BE DB
== ∴FG BE =
又∵//FG BC
∴F C
EC G AF A = ∵CF 2AF =
∴3AC AF =
∴13
BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．
结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个B
解析：B
【分析】
连结AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上CD=BD，根据等腰三角形的判定即可得到AC＝AB；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断
AE BE
≠；接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到CD CE
AC BC
=，然后利用等线段代换
即可判断④．
【详解】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，
∴AE BE
≠，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD CE
AC BC
=，
∴CE•AC=CD·BC，
∴CE•AB=1
2
BC·BC，
∴2CE•AB＝BC2，故④正确．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
6．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16D
解析：D
【分析】 先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
四边形ABCD 是正方形，
45BAC EDA ∴∠=∠=︒，
由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，
B A
C EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，
在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
， AEF DEA ∴~，
EF AE AE DE ∴=，即44EF DE
=， 16EF DE ∴⋅=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．已知线段a 、b 有
52a b a b +=-，则:a b 为（ ） A ．5:1
B ．7:2
C ．7:3
D ．3:7C
解析：C
【分析】
把比例式化成乘积式求出ab 之间的关系即可.
∵52
a b a b +=- ∴2()5()a b a b +=- 解得37a b =
∴:7:3a b =
故选C.
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键. 8．如图，在ABCD 中，7AB =，3BC =，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交的延长线于点E ，若2BF =，则线段EF 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．83
D ．74
C 解析：C
【分析】 平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD
∴AD ∥CB ，AD=BC=4．
∴∠CBE=∠AEB
∵∠ABC 的平分线交AD 于点E
∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB
∴AE=AB=7
∴DE=AE-AD=7-3=4．
∵AD ∥CB ，
∴△DEF ∽△CBF
∴
EF DE BF BC
= ∴423
EF = 即83EF =
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键．
9．如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）
A ．512
B ．512
C ．352
D ．352
+A 解析：A
【分析】
设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到512AE AB 和51BE AE -=，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例．
【详解】
解：设正方形ABCD 的边长为a ，
∵点E 是AB 上的黄金分割点， ∴512
AE AB ，则512AE a =， ∴512BE AE =，则25135BE a --==⎝⎭
， ∵22215135S AE ⎫--===⎪⎪⎝⎭
，
2235S BE BC -=⋅=
， ∴)22223353552S a a --=-
=， ∴)22323551:52S S a a --==．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，则AE EC =（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．32
B 解析：B
【分析】
直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴
AE EC =12
AD BD =． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键．
二、填空题
11．如图，D E 、分别是ABC 的边AB BC 、上的点，且//,
DE AC AE CD 、相交于点O ，若:1:25DOE COA S S =△△，则BE CE
的值是________． 【分析】先证明然后根据相似三角形的面积比
等于相似比的平方求出的值继而可求的值最后可求的值【详解】解：又故答案是：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键
解析：14 【分析】 先证明DOE COA ∽，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出DE AC 的值，继而可求
BE BC 的值，最后可求BE EC
的值． 【详解】 解：
//DE AC ，
DOE COA ∴∽， 又:1:25DOE COA S S =△△，
15
DE AC ∴=， //DE AC ，
BDE BAC ∴∽△△，
15
BE DE BC AC ∴==， 14
BE EC ∴=． 故答案是：14
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
12．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．
3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得
出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可； 解析：3
【分析】
根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；
【详解】
BD ，CE 是ABC 的高，
90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，
BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，
BOE COD ∴∽△△，
90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，
EBO ECA ∴∠=∠，
又∵BEO CEA ∠=∠，
BOE CAE ∴∽△△，
BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，
BOE BAD ∴∽△△，
综上与BOE △相似的三角形有3个．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；
13．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213
D D D B =，且33//D
E BC ；…；1113
n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________． 【分析】由D1E1∥BC 可得△AD1E1∽△ABC 然后由相似三
角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案
解析：10121()3
- 【分析】
由D 1E 1∥BC ，可得△AD 1E 1∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得111D E AD BC AB =，继而求得D 1E 1的长，又由D 1D 2= 113D B ，可得AD 2= 59
AB ，继而求得D 2E 2的长，同理可求得D 3E 3的长，于是可得出规律，则可求得答案．
【详解】
解：∵D 1E 1∥BC ，
∴△AD 1E 1∽△ABC ， ∴111D E AD BC AB
=， ∵BC=1，AD 113AB =
， ∴D 1E 113=
， ∵D 1D 2=
113D B ， ∴AD 2= 59
AB ， 同理可得：22254211()993D E =
=-=-， 3331921()273
D E ==-， ∴2
1().3n n n D E =-
∴101101D E =1012
1()3
-． 故答案为：10121()
3-．
【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质．得到规律21().3n n n D E =-是关键．
14．已知a c b d =＝12020
（b +d ≠0），则a c b d ++的值为_______ ．【分析】根据已知条件求出abcd 之间的关系再代入计算即可【详解】∵＝∴∴故答案为【点睛】本题考查比例的性质熟练根据比例性质把比例式转换成乘积式是解题的关键 解析：12020
【分析】
根据已知条件求出ab 、cd 之间的关系，再代入计算即可.
【详解】 ∵
a c
b d =＝12020
∴2020,2020b a d c == ∴1202020202020()2020
a c a c a c
b d a
c a c +++===+++
故答案为12020
【点睛】 本题考查比例的性质。

熟练根据比例性质把比例式转换成乘积式是解题的关键. 15．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论中正确的是__________． （填序号）
①67.5AGE ∠=︒；②四边形AEFG 是菱形；③2BE OF =；
④:21DOG OGEF S S =四边形:△．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD 为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正 解析：①②③
【分析】
根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．
【详解】
解：如图
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，
∵折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的F 重合，
∴∠1=∠2=12
∠ODA=22.5°，EA=EF ，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°， ∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，
∵∠4=90°-∠1=67.5°，
∴∠3=∠4=∠5，
∴AE=AG=EF ，AG ∥EF ，
∴四边形AEFG 为菱形；故②正确，
∴GF ∥AB ，EF=GF ，
∴∠6=∠7=45°，
∴△BEF 和△OGF 都是等腰直角三角形，
∴BE=2EF ，GF=2OF ， ∴BE=2•2OF=2OF ；故③正确，
设OF=a ，则GF=2a ，BF=2a ，
∴OB=（2+1）a ，
∴OD=（2+1）a ，DF=DO+OF=（2+2）a ，
∵∠DOG=∠DFE=90°，
∴△DOG ∽△DFE ，
2
2(21)1(),2(22)DOG
DFE S DO a S DF a ∆∆⎡⎤+∴===⎢⎥+⎣⎦
∴S △DOG ：S 四边形OGEF =1：1．
故④错误．
故答案为①②③
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质． 16．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．
【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之
比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的
解析：252
【分析】
根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．
【详解】
解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），
∴5135BD BC 122
=-=： ∵ABD △的面积是252
∴ABC 的面积()352522522
-=-÷=+ 故答案为：252+．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．
17．如图，Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，O 为BC 上一点，⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，则⊙O 半径是________．
【分析】连接EO 根据切线性质定理得OE ⊥AB 可得到
△BEO ∽△BCA 根据相似三角形的性质可求出圆半径的长【详解】解：∵⊙O 分别与边ABAC 切于EC 连接OE 则OE ⊥ABBC ⊥AC ∴∠BEO=∠BCA 又
解析：103
【分析】
连接EO ，根据切线性质定理得OE ⊥AB ，可得到△BEO ∽△BCA ，根据相似三角形的性质，可求出圆半径的长．
【详解】
解：∵⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，
连接OE ，则OE ⊥AB ，BC ⊥AC
∴∠BEO=∠BCA ，又∠B=∠B
∴△BEO ∽△BCA
∴=BO OE AB AC
又AC=5，BC=12，
∴22AC BC +，
设圆的半径为r ，
∴
12r r =135
－ ∴r=103 ∴圆的半径是103
，
故答案为：10
3
．
【点睛】
此题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握切线性质定理及相似三角形的性质与判定定理．
18．若
2
5
x
y
=，则
x y
y
+
=____________．【分析】由根据比例的性质即可求得的值
【详解】解：∵∴=故答案为：【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单注意熟记比例变形
解析：7
5
【分析】
由
2
5
x
y
=，根据比例的性质，即可求得
x y
y
+
的值．
【详解】
解：∵
2
5 x
y
=
∴x y
y
+
=
2+57
=
55
．
故答案为：7
5
．
【点睛】
此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．
19．如图，点A在反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图像上，点B在x轴的负半轴上，直线AB
交y轴与点C，若
1
2
AC
BC
=，△AOB的面积为12，则k的值为_______．
12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则
△ADC ∽△BOC 由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积再根据反比例函数的k 的几何意义得结果【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则
△ADC ∽△BOC ∴∵△AOB 的
解析：12
【分析】
过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积，再根据反比例函数的k 的几何意义得结果．
【详解】
过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，
∴12DC AC OC BC ， ∵12
AC BC ，△AOB 的面积为12， ∴S △AOC ＝13
S △AOB ＝4， ∴S △ACD ＝12
S △AOC ＝2， ∴△AOD 的面积＝6， 根据反比例函数k 的几何意义得，
12|k|＝6， ∴|k|＝12，
∵k ＞0，
∴k ＝12．
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的k 的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．
20．已知b c c a a b a b c
+++==＝k ，则k =______．
参考答案2或-1【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时根据比例的等比性质求得k 的值；②当a+b+c=0时即a+b=-c 求得k 的值【详解】
解析：2或-1．
【分析】
此题分情况考虑：
①当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，求得k 的值；
②当a+b+c=0时，即a+b=-c ，求得k 的值．
【详解】
①当a+b+c≠0时，由等比性质得k=2()a b c a b c
++++=2； ②当a+b+c=0时，即a+b=-c(或a+c=-b 或b+c=-a)，得k=
c c
-=-1． 故答案为2或-1．
【点睛】 此题考查比例的等比性质，解题时要注意等比性质的条件．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122
y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶
点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标．
（3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．
解析：（1）2
722y x x =--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】
（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；
（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：
①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；
（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．
【详解】
解：（1）令0x =，得1222y x =
-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022
x =
-，解得4x =， 则()4,0A ，
把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中， 得16402b c c ++=⎧⎨=-⎩
， 解得722
b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴抛物线的解析式为：2722y x x =
--． （2）∵//PM y 轴，
∴90ADC ∠=︒，
∵ACD BCP ∠=∠，
∴以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当90CBP ∠=︒时，如图，过P 作PN y ⊥轴于N ，
∵90ABO PBN ABO OAB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴PBN OAB ∠=∠，
∵90AOB BNP ∠=∠=︒，
∴Rt PBN Rt BAO △△，
∴PN BN BO AO =． 设27,22P x x x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
． ∴2722224
x x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=，化简得2302x x -=． 解得0x =（舍去）或32
x =． 当32x =时，2273732252222
y x x ⎛⎫=--=-⨯-=- ⎪⎝⎭． ∴3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②当90CPB ∠=︒时，如下图，则//PB x 轴，所以B 和P 是对称点，
所以当2y =-时，27222
x x --=-，解得0x =（舍去）或72x =． ∴7,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 综上，点P 的坐标是3
,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
（3）设点A 关于y 轴的对称点为'A ，则'A B AB =．
∴'BAO B AO ∠=∠．
直线'A B 交抛物线于P ．
∴'2PBA BAO BA O BAO ∠=∠+∠=∠．
∵()4,0A ，
∴()'4,0A -．
设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．
∵()0,2B -．
∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩
． 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．
∴直线'A B 的解析式为122
y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．
当3x =时，117232222
y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭． 【点睛】
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．
22．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的项点A ，B ，C 均落在格点上：
（I ）AC 的长等于_________；
（II ）点P 落在格点上，M 是边BC 上任意一点，点B 关于直线AM 的对称点为B '，当
PB '最短时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点B '，并简要说明点B '的位置是如何找到的．（不要求证明）
解析：（I ）29；（II ）见解析．
【分析】
（I ）利用勾股定理即可解决问题．
（2）连接AP ，想办法在AP 上取一点B′，使得AB′=2时，PB′的值最小．方法：取格点G ，H ，连接GH 交AP 于点B′，由平行线分线段成比例定理可知AB′=2，点B′即为所求．
【详解】
解：（I ）222529AC =+=．
故答案为29．
（II ）如图，点B′即为所求．
取格点G ，H ，连接GH 交AP 于点B′，由平行线分线段成比例定理可知AB′=2，点B′即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，勾股定理，平行线分线段成比例定理，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，已知O 的半径长为1，AB 、AC 是O 的两条弦，且=AB AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ．
（1）求证：OAD ABD ∽△△．
（2）当OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离．
（3）记AOB 、AOD △、COD △的面积分别为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 和3S 的比例中项，求OD 的长．
解析：（1）见解析；（2）3BC =2；（3）512
OD -=
． 【分析】
（1）由△AOB ≌△AOC ，推出∠C=∠B ，由OA=OC ，推出∠OAC=∠C=∠B ，由
∠ADO=∠ADB ，即可证明△OAD ∽△ABD ；
（2）如图2中，当△OCD 是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；
（3）如图3中，作OH ⊥AC 于H ，设OD=x ．想办法用x 表示AD 、AB 、CD ，再证明AD 2=AC•CD ，列出方程即可解决问题；
【详解】
解：（1）在AOB 和AOC △中，
OA OA AB AC OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴AOB AOC △≌△，C B ∴∠=∠，
又∵OA OC =，OAC C B ∴∠=∠=∠，
而ADO ADB ∠=∠，
OAD ABD ∴∽△△．
（2）如图：
①当90ODC ∠=︒时，
BD AC ⊥，OA OC =，AD DC ∴=，
BA BC AC ∴==，
ABC ∴是等边三角形，
在Rt OAD 中，
1OA =，30OAD ∠=︒，1122
OD OA ∴==， 2232
AD OA OD ∴=-=， 23BC AC AD ∴===
②90COD ∠=︒，90BOC ∠=°，22112BC =+=．
③OCD ∠显然90≠︒，不需要讨论． 综上所述，3BC =或2．
（3）如图：
作OH AC ⊥于H ，设OD x =，
DAO DBA ∽△△，
AD OD OA DB AD AB
∴==． 11AD x x AD AB
∴==+． (1)AD x x ∴=+，(1)x x AB +=
． 又2S 是1S 和3S 的比例中项，
2213S S S ∴=⋅，
而212S AD OH =⋅，112OAC S S AC OH ==⋅△，312
S CD OH =⋅⨯， 2111222AD OH AC OH CD OH ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即2AD AC CD =⋅，
又AC AB =，(1)(1)x x CD AC AD x x +=-=
+， 代入上式可得：210x x +-=， 求得512x =，或512
-，
经检验，512
x -=是分式方程的根且符合题意， 512
OD -∴=
． 【点睛】 本题属于圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
24．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，4=AD ，3BD =，8DC =，点P 是BC 边上一点（不与点B 、D 、C 重合），过点P 作PQ BC ⊥交AB 或AC 于点Q ，作点Q 关于直线AD 的对称点M ，连结QM ，过点M 作MN BC ⊥交直线BC 于点N ．设BP x =，矩形PQMN 与ABC 重叠部分图形的周长为y ．
（1）直接写出PQ 的长（用含x 的代数式表示）． （2）求矩形PQMN 成为正方形时x 的值．
（3）求y 与x 的函数关系式.
（4）当过点C 和点M 的直线平分ADC 的面积时，直接写出x 的值．
解析：（1）PQ=
43x ；PQ=11-x 2；（2）x=95；x=235；（3）y=12-43x ；（4）1513x =； 【分析】
（1）根据x 的取值范围不同，分两种情况进行讨论；
（2）根据正方形的性质，分0<x<3，3<x<11进行讨论即可；
（3）由y=PQ+MN+QM+PN 代入值求解即可；
（4）连接CM 交AD 于O ，证明△△OME
OCD ，即可得解；
【详解】
（1）①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，
∵AD ⊥BC ，AD=4，BD=3， ∴tan ∠B=
43
， ∵PQ ⊥BC ， ∴43
PQ BP =，
∴当0<x<3时，PQ=43
x ； ②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11，
∵AD ⊥BC ，AD=4，CD=8，
∴tan ∠C=12
， ∵PQ ⊥BC ， ∴12
PQ PC =，PC=11-x ， ∴当3<x<11时，PQ=
11-x 2； （2）①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，
∵四边形PQMN 为正方形，
∴PQ=QM=MN=NP ，
∵QM=2（3-x ）， ∴43
x=2（3-x ）， 解得x=95
； ②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11，
∵四边形PQMN 为正方形，
∴PQ=QM=MN=NP ，
∵QM=2（x-3），
∴()11-x 2
=2（x-3）， 解得x=
235； （3）y=PQ+MN+QM+PN ， =2×43
x+2×2（3-x ）， =12-43
x ； （4）如图，连接CM 交AD 于O ， 由题可知：122AE DE AD ==
=， ∵43
QP ED x ==， ∴423OE OD DE x =-=-
，3EM QE PD x ===-，
∵QM∥BC，
∴△△
OME OCD，
∴EO EM
DO DC
=，
∴
4
2
3
3
28
x x
--
=，
化简得：
4
423
3
x x ⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
，
∴15
13
x=．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合正方形的性质计算是解题的关键．25．如图，直线EF与⊙O相切于点C，点A为⊙O上异于点C的一动点，⊙O的半径为4，AB⊥EF于点B，设∠ACF ＝α（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若α＝45°，求证：四边形OCBA为正方形；
（2）当AC＝4时，求α的度数．
（3）若AC－AB＝1，求AC的长．
解析：（1）见解析；（2）α的度数为30°或150°；（3）422
AC=+或422
-
【分析】
（1）连接OA，OC，先证明△ABC是等腰直角三角形，然后证明△OAC是等腰直角三角形，可得四边形OCBA是矩形，再根据OA＝OC，即可证明结论；
（2）连接OA，OAꞌ，可证明△AꞌCO与△ACO是等边三角形，可得∠AꞌCO＝∠ACO＝60°，根据在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2，即可得出答案；
（3）连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD，先证明△DCA∽△CAB，可得DC AC AC AB
，
设AC＝a，则AB＝a−1，根据⊙O的半径为4，CD＝8，可得出结论．【详解】
（1）如图，连接OA，OC，
∵∠ACF＝α＝45°，AB⊥EF
∴△ABC是等腰直角三角形
∵EF与⊙O相切于C
∴∠OCB＝90°
∴∠OCA＝45°
∵OA＝OC
∴△OAC是等腰直角三角形
∴∠OCB＝∠CBA＝∠COA＝90°
∴四边形OCBA是矩形
∵OA＝OC
∴矩形OCBA是正方形；
（2）如图，当AC＝AꞌC＝4时，AB＝2，连接OA，OAꞌ，
则△AꞌCO与△ACO是等边三角形
∴∠AꞌCO＝∠ACO＝60°
在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2
∴∠ACB＝30°
∴∠AꞌCB＝150°
∴α的度数为30°或150°；
（3）如图2，连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD
∵CD 为⊙O 的直径
∴∠DAC ＝90°
∴∠D +∠DCA ＝90°
∵∠DCA +∠ACB ＝90°
∴∠D ＝∠ACB
又∵∠DAC ＝∠ABC ＝90°
∴△DCA ∽△CAB ∴DC AC AC AB = 设AC ＝a ，则AB ＝a −1
∵⊙O 的半径为4
∴CD ＝8
∴81
a a a =- 解得：1422a =+，2422a =-
∴422AC =+或422-．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，正方形的判定，等边三角形的判定和性质等，掌握这些知识点是解题关键．
26．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．
（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OB ꞌC ꞌ；
（2）若△OBC 内部一点M 的坐标为（a ，b ），则点M 对应点M ′的坐标是 ； （3）求出变化后△OB ꞌC ꞌ的面积 ．
解析：（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10
【分析】
（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）利用（1）中对应点的关系求解；
（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．
【详解】
（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；
（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；
（3）''11144(23212131)10222OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．
27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO OC =，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．求点P 的坐标．
解析：(2,422P -
【分析】
根据正方形的性质求出BO 和BQ 的长，再由COQ
PBQ ，利用对应边成比例列式求出BP 的长，从而算出AP 的长，就可以得到点P 的坐标． 【详解】
解：∵正方形OABC 的边长是2，
∴2OC BC QO ===，
根据勾股定理，22BO =， ∴222BQ BO OQ =-=-，
∵//CO BP ，
∴
COQ PBQ ， ∴CO OQ PB BQ =，即22222
PB =-，解得222PB =-， ∴()
2222422AP AB BP =-=--=-， ∴()2,422P -．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系和图象，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例列式求线段长．
28．如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1，CE 垂直y 轴于点E ．
（1）求证：CDE DAO ∽△△；
（2）直接写出点B 和点C 的坐标．
解析：（1）见解析；（2）B(5，1)，C(2，7)
【分析】
（1）由题意易得∠DCE=∠ADO ，根据判定定理可得结论
（2）利用相似三角形的性质求得DE 、CE 可得C 点坐标，从而可得B 点的坐标
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD=AB ，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO ，
∴△CDE ∽△ADO ．
（2）解：∵△CDE ∽△DAO ，
∴CE OD =DE OA =CD AD
， ∵OD=2OA=6，AD ：AB=3：1， ∴OA=3，CD ：AD=
13，
∴CE=1
3OD=2，DE=
1
3
OA=1，
∴OE=7，
∴C（2，7），
利用平移的性质可得B（5，1）．
．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解决本题的关键。