飞机荷载下水泥混凝土道面板应力计算方法

第10卷 第4期2010年8月
交通运输工程学报
Journal of Traffic and T ransport ation Engineering
Vol 10 No 4Aug.2010
收稿日期:2010-03-25
基金项目:军队科研项目(KJYZ0909;总990713)作者简介:郑 飞(1984-),男,湖北石首人,空军工程大学工学博士研究生,从事机场道面研究。

导师简介:翁兴中(1962-),男,浙江金华人,空军工程大学教授。

文章编号:1671-1637(2010)04-0008-08
飞机荷载下水泥混凝土道面板应力计算方法
郑 飞,翁兴中
(空军工程大学工程学院,陕西西安 710038)
摘 要:采用弹性地基板理论分析了道面板应力的主要影响因素,修正了公路标准轴载下路面板的应力计算公式,得到了飞机荷载下道面板的应力计算公式形式。

采用正交设计法对道面结构参数进行安排,计算了不同道面结构在各种类型飞机荷载下道面板的应力。

采用非线性回归方法对应力计算值和飞机荷载参数与道面结构参数进行分析,得到了单轮飞机荷载下水泥混凝土道面板的
应力计算公式。

对单轮飞机荷载应力计算公式引入荷载圆半径修正系数,并采用多元非线性回归方法,得到了双轮和双轴双轮飞机荷载下道面板的应力计算公式。

利用荷载叠加原理得到多轴多轮飞机荷载下道面板应力计算公式。

误差分析结果表明:回归应力计算值与有限元应力计算值相对误差不超过2%,应力计算公式具有较好的精度。

关键词:机场工程;水泥混凝土道面;应力计算公式;非线性回归;飞机荷载中图分类号:U 416.216 文献标志码:A
Calculating methods of stress for cement concrete pavement
slab under plane loads
ZH ENG Fei,WENG Xing -zhong
(Schoo l o f Eng ineering ,A ir Fo rce Eng ineering U niversit y,X i an 710038,Shaanxi,China)
Abstract:With elastic base theory ,the main influence factor s of stress fo r pavement slab under plane loads w ere analy zed,the calculating fo rmula for m of stress w as deduced by mo dify ing the
stress form ula of highw ay pavement under standard ax is load.Pav em ent s structural parameters w ere o rganized by orthogo nal desig n metho d,and the stresses under different com binations of plane loads and pavement structures w ere calculated by FEM.T he stresses and parameters w ere analyzed by no nlinear reg ressio n method,and the calculating fo rmulae of stress under single w heel plane load w ere got.By intro ducing the mo dify ing coefficient of load r adius,the calculating for mulae o f stress under dua-l w heel and dua-l w hee-l dua-l ax es plane loads w ere deduced by no nlinear r eg ressio n m ethod.The calculating formulae of stress under m ult-i whee-l mult-i ax es
loads w ere deduced by com bined load theo ry.Er ror analy sis result indicates that the relative err ors betw een the calculating results by nonlinear regression method and FEM ar e less than 2%,so the stress formulae hav e hig h precision.8tabs,11figs,11refs.
Key words:airport engineering ;cem ent co ncrete pavem ent;calculating for mulae o f stress;no nlinear regression;plane lo ads
Author resumes:ZH ENG Fei(1984-),m ale,doctor al student,+
86-29-84787114,zhengfeikey @
;WENG Xing -zho ng (1962-),m ale,pr ofessor,
+
86-29-84785082,w xz2626@sina.co m.
0 引 言
集中荷载下道面板的应力计算问题在国内外很早就展开了,最早由于受计算条件的限制,将道面板简化为弹性地基或文克勒地基上的矩形薄板。

Huang 对具有一定接缝传荷能力的弹性地基上铰接板进行了有限元分析[1]
;姚炳卿提出了考虑接缝传荷能力的机场刚性道面板荷载应力有限元分析的简便计算方法[2]
,其计算模型是将道面板简化为二维的弹性地基薄板,中国 公路水泥混凝土路面设计规范 (JTG D40 2002)应力计算模型为弹性地基上四边自由的矩形薄板[3-4]。

目前,随着计算机运行速度的提升以及各种大型三维有限元计算软件的出现,国内外学者分别建立了道面-地基的三维有限元模型。

Hammons 利用ABAQUS 软件考虑混凝土道面的接缝特征,建立了道面-地基的三维有限元分析模型[5];李晔等利用ANSYS 软件对未设拉杆企口缝形式连接的道面板进行应力分析,得出了飞机荷载作用下企口缝的破坏形式及可能发生的位置[6];凌建明等借助ABAQUS 软件建立了足尺9块水泥混凝土道面板的三维有限元分析模型,揭示了在大型军用运输机多轮荷载下道面的力学响应[7];周正峰等利用ABAQUS 软件建立并验证了考虑接缝传荷能力的机场刚性道面有限元模型,对道面的接缝传荷能力进行了分析,揭示了机场道面的接缝传荷能力不仅与道面结构参数相关,也与飞机的起落架构型相关[8-9]。

从以上国内外研究可以看出,道面板的应力计算经历了二维到三维,不考虑接缝传荷到考虑接传荷的发展过程,目前的有限元模型能很好地计算飞机荷载下道面板的应力。

然而,使荷载应力计算方法能够运用到工程设计,必须将应力计算过程进行简化,建立荷载应力与设计参数之间的显式回归关系。

在中国公路界[4],通过大量的有限元数值计算,在常见的路面结构参数范围内,经回归分析得到了常用汽车轴型的荷载应力计算公式。

与汽车相比,飞机起落架构型多种多样,机轮荷载与胎压变化范围大,为了方便飞机荷载下道面板应力计算,需要建立道面板临界荷位的应力与飞机荷载参数和道面结构参数之间的显式关系,因此,本文重点研究了单轮、双轮和双轴双轮飞机荷载下道面板临界荷位应力的计算公式。

1 飞机荷载下道面板应力计算及应力
公式形式的确定
本文采用文献[10-11]计算荷载应力的基本方
法,基于弹性地基板理论,充分利用结构和荷载的对称性与反对称性,采用1/4体系,建立弹性地基上考虑接缝传荷的9块铰接混凝土板的应力分析模型,见图1。

利用有限元程序进行应力计算时,最大荷载应力的临界荷位在板边纵缝或横缝中点,这主要取决于板的接缝传荷能力和飞机主起落架构型,当主起落架为单轮、双轮或双轴双轮时,临界荷位的机轮布置见图2。

图1 应力计算模型Fig.1 Calculatin g model of stres s
图2 临界荷位的机轮布置
Fig.2 Disposals of plane w h eels at critical load location
在文献[4]中,标准轴载作用于面层四边自由矩形板的临界荷位处的应力计算公式为
=0.077l 0.60h -2
(1)
式中:l 为路面板的相对刚度半径;h 为路面板的
厚度。

在进行飞机荷载作用下道面板应力计算时,考虑板与板之间接缝传荷对应力的影响。

有限元程序大量计算结果表明当道面板的接缝传荷系数变化而其他道面结构参数不变时,板底拉应力与接缝传荷系数呈近似线性关系。

飞机荷载的表征参数为飞机的胎压与荷载圆半径,参考式(1),可将飞机荷载下道面板应力计算公式形式定为
p =(a -bt d )E c E t
c
r d q h
e
(2)
式中:t d 为以挠度比表征接缝传荷能力的传荷系数;E c 为混凝土弯拉弹性模量;E t 为基层顶面回弹模量;q 为飞机胎压;r 为考虑飞机动载影响的荷载圆半径;a 、b 、c 、d 、e 为待定常数。

9
第4期 郑 飞,等:飞机荷载下水泥混凝土道面板应力计算方法
2 单轮飞机荷载应力计算公式
2.1 应力计算公式的回归
经过对现有的道面结构参数进行大量的调查得出:道面板厚度一般变化于0 20~0 40m 之间,接缝传荷系数变化于0.55~0.90之间,混凝土弯拉弹性模量变化于32~38GPa 之间,基层顶面回弹模量变化于165~315M Pa 之间。

对于回归分析而言,一般采用正交设计法或均匀设计法来减少有限元程序计算次数,由于回归公式的形式十分明确,宜采用正交设计法安排计算点。

按照4个道面结构参数的取值范围,每个因素取4种水平,设计L 16(44)正交表进行因素水平组合。

对于一种特定的单轮飞机,进行16次有限元应力计算,道面结构参数水平和正交设计见表1、2。

表1 道面结构参数水平
T ab.1 Levels of pavement s structu ral parameters
水平
因素
h/m
t d E c /GPa E t /M Pa 10.200.553216520.270.703421030.340.80362654
0.40
0.9038
315
表2 正交设计Tab.2 O rthogonal design
力计算点,每个计算点包括单轮飞机作用于板边纵缝中点和横缝中点的应力值。

利用计算得到的应力值作为因变量,将接缝传荷系数、水泥混凝土弯拉弹性模量、基层顶面当量回弹模量、道面板厚度、胎压和荷载圆半径作为自变量,利用多元非线
性拟合工具箱,回归得到了飞机荷载分别作用于板纵缝边缘中点和横缝边缘中点的应力计算公式。

当飞机作用于道面板纵缝中点时,产生的最大应力计算公式为
ps x
=(5.2059-2.0984t d x )
E c
E t
0.0715
r
1.7114
qh -1.3692
(3)
式中:t d x 为纵缝的接缝传荷系数。

当飞机作用于道面板横缝中点时,产生的最大应力计算公式为
ps y
=(4.5479-1.8304t d y )
E c
E t
0.0712
r
1.6591
qh -1.3692
(4)
式中:t d y 为横缝的接缝传荷系数。

2.2 应力计算公式的误差分析
回归公式(3)计算值与有限元计算值的相关系数为0.9996;对于256个统计点,按回归公式(3)计算的应力值与按有限元程序计算的值的平均相对误差为1 57%,相对误差超过5%的点仅为2个,90%10交 通 运 输 工 程 学 报 2010年
表4 单轮飞机荷载下横缝位置部分点应力计算值Tab.4 Part stress values at transvers e joint under
s ingle wheel plane load
FEM 计算值回归公式(4)计算值
相对误差/%
2.804 2.7950.302.296 2.2950.03
3.201 3.2130.362.579 2.5910.472.126 2.1430.801.980 2.019 1.952.152 2.1480.201.924
1.912
0.62
为了进一步验证公式(3)
的精度,以苏-27飞机为例,飞机作用于道面板纵缝中点,在板厚变化于0 20~0.40m 之间,其他道面结构参数不变时,由回归公式(3)计算的应力值和有限元程序计算值之间的比较,见图3;当模量比E c /E t 变化于120~220之间,其他道面结构参数不变时,由回归公式(3)计算的应力值和有限元程序计算值之间的比较,见图4;当纵缝传荷系数变化于0.55~0.90之间,其他道面结构参数不变,由回归公式(3)计算的应力值和有限元程序计算值之间的比较,见图5。

图3 单轮飞机荷载下随h 变化的公式计算值与FEM 计算值Fig.3 Comparison of calculation valu es by form ula and FEM
w ith chan ge of h under sin gle w heel plane load
从图3~5可以看出,由回归公式(3)计算得到的应力值与按有限元程序算得的应力值相差很小,绝大部分计算点相对误差不超过2%,公式(3)的精度高,可以利用回归公式(3)替代有限元计算程序对道面板进行应力计算。

3 双轮飞机应力计算公式
双轮飞机1个主起落架上有2个轮子,飞机的轮距对飞机荷载下道面板的应力影响较大,借鉴当
量单轮荷载原理的思想,将双轮荷载除以修正系数
图4 单轮飞机荷载下随E c /E t 变化的公式计算值与FE M 计算值Fig.4 Comparis on of calculation values b y formula and FEM
w hile E c /E t ch angin g un der single wh eel plan e load
图5 单轮飞机荷载下随t d x 变化的公式计算值与FEM 计算值Fig.5 Comparis on of calculation values b y formula and FEM
w hen t d x chan ging u nder single w heel plane load
得到当量单轮荷载,其对道面的作用效果与双轮飞机一样,可以在单轮飞机应力计算公式(3)基础上引入荷载圆半径修正系数,得到双轮飞机作用于道面板的应力计算公式。

经有限元应力程序计算,板边纵缝中点为其临界荷位,因此,应力公式形式为
pd =(5.2059-2.0984t d x )
E c
E t
0.0715
(K rd r )1.7114qh
-1.3692
(5)
式中:K rd 为双轮飞机起落架构型参数。

3.1 应力计算公式的回归
当双轮飞机荷载作用于道面板临界荷位时,与相同荷载圆半径和胎压的单轮飞机相比,由于另一个机轮的作用使得K rd 大于1,而且当轮距增大时,K rd 变小。

以B737-200飞机为例,t d x 固定为0 65,当道面结构参数发生变化时,道面板纵缝拉应力 pd 与起落架构型参数K rd 的计算结果,见表5。

从表5的计算结果可以看出,双轮飞机起落架构型参数K rd 与道面结构参数的取值有关,因此,K rd K rd =1+c d R d
d 1r
e d
(6)
11
第4期 郑 飞,等:飞机荷载下水泥混凝土道面板应力计算方法
式中:R1为飞机主起落架的轮距;a d、b d、c d、d d、e d为待定常数。

表5 p d与K rd的计算结果
Tab.5 Calculating resu lts of pd and K rd
h/m E c/GPa E t/M Pa pd/M Pa K rd
0.20353153.881.084
0.22362653.521.096
0.24372103.221.104
0.28362652.601.115
0.32353152.161.122
0.26381652.961.109
0.30372102.421.117
0.34362652.021.121
0.36372101.891.120
0.38381651.791.117
对12种双轮飞机进行了统计,计算每一种飞机在10种道面结构参数组合下的应力值,一共统计了120个计算点,以K rd为因变量,E c/E t、h、R1和r为自变量,经多元非线性回归得到了K rd的计算公式为
K rd=1+0.1236E c
E t
-0.0235
h0.2664R-1.1291
1r -0.0454(7)
将式(7)代入式(5)可以得到双轮飞机作用于道面板纵缝中点的应力计算公式。

3.2 应力计算公式误差分析
回归公式(5)的相关系数为0.9994;对于120个统计点,按公式(5)计算得到的应力值与按有限元程序计算的应力值平均相对误差为0 84%,相对误差超过5%的点仅有1个,93%以上点的相对误差不超过2%,表6列出了部分点的应力计算值。

表6
双轮飞机荷载下纵缝位置部分点应力计算值Tab.6 Part stress values at longitud inal joint under
dua-l wheel plane load
为了进一步验证公式(5)的精度,以B737-300飞机为例,飞机作用于道面板纵缝中点,在板厚变化于0 20~0 40m之间,其他道面结构参数不变时,由回归公式(5)计算的应力值和有限元程序计算值之间的比较,见图6;当模量比变化于120~220之间,其他道面结构参数不变时,由回归公式(5)计算的应力值和有限元程序计算值之间的比较,见图7。

图6 双轮飞机荷载下随h变化的公式计算值与FEM计算值
Fig.6 Comparis on of calculation values b y formula and FEM w hen h changing under du a-l w heel plane load
图7 双轮飞机荷载下随E c/E t变化的公式计算值与FE M计算值Fig.7 Comparis on of calculation values b y formula and FEM w hen E c/E t changing under dua-l w heel plane load
7可以看出,由双轮飞机公式(5)计算得
按有限元程序算得的应力值相差很
2%,因此,
,可满足应力计算的精度需求。

1个主起落架上有4个轮子,起
轮距和轴距,在
,与双轮飞机一样,通过修正荷载圆半
,起落架构型参数K r dt不仅与道面结构参数有关,而
12交 通 运 输 工 程 学 报 2010年
且与飞机起落架的轮距和轴距有关。

对于临界荷位,由于受反弯距的影响,轴距越大,其应力越小,因此,起落架构型参数的公式形式定为 K rdt =1+a dt1
E c E t
b
dt1
h
c
dt1
R
d dt11
r
e
dt1
-a dt2
E c E t
b
dt2
h c
dt2R
d dt2
1R
e dt22
(8)
式中:R 2为飞机主起落架的轴距;a dt1、a dt2、b dt1、b dt2、c dt1、c d t2、d dt1、d dt2、e dt1、e dt2为待定常数。

4.1 应力计算公式的回归
一共统计了12架双轴双轮飞机,对于1架双轴双轮飞机,统计应力的方案和双轮一样,因此,总共统计了120个点,由于双轴双轮飞机作用于道面板的临界荷位可能在板边纵缝中点也可能在板边横缝中点,所以1个计算点包括了纵缝中点和横缝中点的应力值。

以K r dt 为因变量,E c /E t 、h 、R 1、R 2和r 作为自变量,利用非线性回归方法得到了K rdt 的计算公式。

当双轴双轮飞机作用于道面板纵缝中点时,起落架构型参数K rdt x 的计算公式为K rdt x =1+0.0073
E c E t
-0.0271
h 0.2290
R -0.5565
1
r
-2.0625
-
0.0845
E c
E t
0.0067
h
-0.0147
R -0.31091R
0.4165
2
(9)
当双轴双轮飞机作用于道面板横缝中点时,起落架构型参数K rdt y 的计算公式为K rdt y =1+0.3321
E c E t
-0.0063
h 0.7039
R -1.43381r
0.1208
-
0.0583
E c
E t
0.0002
h
0.1135
R -0.4730
1R
1.6310
2
(10)
将式(9)、(10)分别代入式(5),分别得到双轴双轮飞机作用下的道面板纵、横缝应力计算公式。

4.2 应力公式的误差分析
纵缝应力回归公式的相关系数为0.9989,在120个计算点中,应力公式计算值与有限元计算值的平均相对误差为1 40%,相对误差超过5%点仅为4个,92%以上点的相对误差不超过3%,表7列出了部分计算点的应力值。

横缝应力回归公式的相关系数为0 9987,120个计算点中,应力公式计算值与有限元计算值的平均相对误差为1 40%,120个计算点的相对误差未超过5%,95%以上点的相对误差不超过3%,表8列出了部分计算点的应力值。

为了进一步验证纵缝应力公式的精度,以轰-6飞机为例,飞机作用于道面板纵缝中点,在
板厚变化于0 20~0 40m 之间,其他道面结构参数
表7 双轮双轴飞机荷载下纵缝位置部分点应力计算值T ab.7 Part stress values at longitudinal joint u nder
dua-l whee-l dua-l axes plane load
FEM 计算值
回归公式计算值
相对误差/%
2.949
3.006 1.932.642
2.689 1.782.406 2.440 1.411.948 1.9640.821.626 1.6310.312.215 2.2360.951.819 1.8250.331.529 1.5260.201.450 1.4400.691.381
1.365
1.16
表8 双轮双轴飞机荷载下横缝位置部分点应力计算值T ab.8 Part s tres s values at transverse joint under
dua-l whee-l dua-l axes plane load
FEM 计算值
回归公式计算值
相对误差/%
1.871 1.8830.641.592 1.6070.941.521 1.538 1.121.457 1.478 1.445.093
4.970 2.424.551 4.474 1.694.129 4.0900.943.324 3.3180.182.760
2.7770.621.871
1.883
0.64
图8 双轮双轴飞机荷载下随h 变化的公式计算值与FEM 计算值Fig.8 Comparis on of calculation values b y formula and FEM
w hen h changing under dua-l w hee-l dua-l ax es plane load
不变时,由回归公式计算的应力值和有限元程序计
算值之间的比较,见图8;当模量比变化于120~220之间,其他道面结构参数不变,由回归公式计算的应力值和有限元程序计算值之间的比较,见图9。

13
第4期 郑 飞,等:飞机荷载下水泥混凝土道面板应力计算方法
图9 双轮双轴飞机荷载下随E c /E t 变化的
公式计算值与FEM 计算值
Fig.9 Comparison of calculation valu es by form ula and FEM wh en E c /E t chan ging u nder dua-l w hee -dua-l ax es plane load
从图8、9可以看出,由回归公式计算得到的应力值与按有限元计算的结果相差很小,绝大部分计算点相对误差不超过2%,完全满足工程设计的精度要求。

5 飞机荷载应力公式的推广
根据线弹性理论,不同荷载的共同作用可采用叠加原理进行计算,在计算主起落架是复杂构型的飞机作用于道面板临界荷位的应力时,多轴多轮起落架可以看成几个双轮或几个双轴双轮起落架组装而成,因此,由双轮、双轴双轮飞机应力计算公式进行组合可以得到多轴多轮飞机作用于道面板临界荷位的应力计算公式。

当三轴双轮荷载作用于道面板纵缝边缘中点时,起落架构型见图10(R 2i 为轴向第i 个轴距),运用荷载叠加原理,可以得到其应力计算公式为
p m x =(
5.2059-2.0984t d x )
E c
E t
0.0715
2
i=1
K
1.7114
rdt i
-K 1.7114
rd1r
1.7114
qh
-
1.3692
(11)
式中:K r dt i 为第i 个双轴双轮起落架的构型参数;K rd1为轮距R 1对应的双轮飞机的起落架构型参数。

图10 三轴双轮起落架
Fig.10 T
hree -ax is -du a-l w heel undercarriage
当双轴四轮荷载作用于道面板纵缝边缘中点
时,起落架构型见图11(R 1j 为第j 个轮距),运用荷
图11 双轴四轮起落架
Fig.11 Du a-l axis -fou r -w heel und ercarriage
载叠加原理,可以得到其应力计算公式为 p m x =
5.2059-2.0984t d x E c
E t
0.0715
(K rm r)
1.7114
qh
-1.3692
K rm =
3
j=1
K
1.7114rdt j
-2(1+K 1.7114
rdt3
-K
1.7114rd3
)
1/1.7114
(12)
式中:K rm 为多轴多轮飞机起落架构型参数;K rd3为轮距R 13对应的双轮飞机的起落架构型参数。

6 结 语
本文以弹性地基板理论为基础,对考虑接缝传荷的足尺9块板在飞机荷载作用下的最大应力进行分析,得到了应力公式的形式;利用正交试验设计法对道面结构参数进行组合,采用多元非线性回归方法得到了单轮飞机荷载作用下道面板临界荷位的应力公式;在单轮飞机荷载应力公式的基础上,引入起落架构型参数得到了双轮和双轴双轮飞机荷载应力公式;所得到应力计算公式精度高,可以利用公式直接对道面板的应力进行计算;利用荷载叠加原理,通过对单轮、双轮和双轴双轮飞机荷载应力公式进行组合,得到了在多轴多轮飞机荷载作用下道面板应力计算公式,从而把道面板临界荷位的最大应力显式地表示为道面结构参数和飞机荷载参数的函数,为建立机场道面和公路跑道可靠性设计方法奠定基础。

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