博山区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

博山区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=1+x ﹣
+
﹣
+…+
，则下列结论正确的是（ ）
A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点
B ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点
C ．f （x ）在（0，1）上恰有两个零点
D ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有两个零点
2． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A ．
12+
B ．12 C. 34 D ．0
4． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（2，4）
C ．（，
）
D ．（，）
5． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A ．两个点
B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
6． 数列{a n }的通项公式为a n =﹣n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣5，设c n =
，若在数列{c n }
中c 8＞c n （n ∈N *
，n ≠8），则实数p 的取值范围是（ ）
A ．（11，25）
B ．（12，16]
C ．（12，17）
D ．[16，17）
7． 有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．
9． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 10．若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧（￢q ）是真命题
C ．命题p ∧q 是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
11．已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y+7=0相交于A ，B 两点，且
•=4，则实数a
的值为（ ）
A ．
或﹣
B ．
或3
C ．
或5
D ．3
或5
12．已知f （x ）为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f （x+6）=f （x ）+f （3），x 1，x 2∈[0，3]，x 1≠x 2时，有
成立，下列结论中错误的是（ ）
A ．f （3）=0
B ．直线x=﹣6是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴
C ．函数y=f （x ）在[﹣9，9]上有四个零点
D ．函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数
二、填空题
13．下列命题：
①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；
③2
()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1
:||
f x x →
，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射；
⑤1
()f x x
=
在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ． 14．幂函数1
22
2)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
16．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m 满足方程+=1表示的焦点
在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ． 17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
18．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.
（1）若PE 交圆O 于点F ，16
5
EF =
，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.
20．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
21．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
22．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
23．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*
∈N n ），11=a ，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .
24．已知函数x
x x f --
-=713)(的定义域为集合A ，{x |210}B x =<<，{x |21}C a x a =<<+
（1）求A B ，B A C R ⋂)(；
（2）若B C B =，求实数a 的取值范围.
博山区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014
=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014；
∴f′（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；
故f（x）在（﹣1，0）上是增函数；
又∵f（0）=1，
f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；
故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；
故选B．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
3．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
4．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：，，，，
得到4个点．
故选：B．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
6．【答案】C
【解析】解：当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，
∵a n=﹣n+p，∴{a n}是递减数列，
∵b n=2n﹣5，∴{b n}是递增数列，
∵c8＞c n（n≠8），∴c8是c n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，
∴n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，
当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，
当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
若a8≤b8，即23≥p﹣8，∴p≤16，
则c8=a8=p﹣8，
∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，
∴c 8=b 8=23
，
那么c 8＞c 9=a 9，即8＞p ﹣9， ∴p ＜17， 故16＜p ＜17， 综上，12＜p ＜17． 故选：C ．
7． 【答案】B
【解析】解：①由于“若a 2+b 2
=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x 2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q ≥0，解得q ≤1，因此“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B ．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
8． 【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为
，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样．
10．【答案】 B
【解析】解：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，即不等式x ﹣2＞0有解，∴命题p 是真命题；
x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；
∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；
故选：B．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．
11．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．
∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=，
∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，
∴=，
∴a=或5．
故选：C．
12．【答案】D
【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，故A正确；
对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，
∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x），
∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），
∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；
对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0，∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确；
对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有，
∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，
∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误．
综上所述，命题中正确的有A 、B 、C ． 故选：D ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】①② 【解析】
试题分析：子集的个数是2n
，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()241f x x =-为偶函数，故错误.
对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n
个；对于
奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个
元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 14．【答案】 【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y x
R α
α=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
数()y x R α
α=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 15．【答案】 ①④⑤
【解析】解：由题意知：A ≠
，B ≠
，C ≠
，且A+B+C=π
∴tan （A+B ）=tan （π﹣C ）=﹣tanC ，
又∵tan （A+B ）=
，
∴tanA+tanB=tan （A+B ）（1﹣tanAtanB ）=﹣tanC （1﹣tanAtanB ）=﹣tanC+tanAtanBtanC ， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
16．【答案】[，]．
【解析】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a，
实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，
则，
，解得1＜m＜2，
若p是q的充分不必要条件，
则，
解得，
故答案为[，]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q 的等价条件是解决本题的关键．
17．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．
18．【答案】[﹣，]．
【解析】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，
∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），
即，即，得﹣≤m ≤，
故答案为：[﹣，] 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限
制．
三、解答题
19．【答案】（1）4CE =；（2）CD =. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2
(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，0
90CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP =，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2
x =
4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质. 20．【答案】
【解析】证明：（I ）∵数列{a n }为等比数列，a 1=，q=
∴a n =×
=
，
S n=
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P （B ）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．
22．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}={x|1≤x ≤2}
则P ∩Q={1}
（2）∵a ≤a+1，∴Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}={x|a ≤x ≤a+1} ∵x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，∴P ⊆Q
∴
，即实数a 的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．
23．【答案】（1）12-=n a n ,n
n b 21=；（2）n n
n T 23
23+-=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，
求出d ，然后求解n b ；（2）写出n
n n T 21
2...232321321-++++=
利用错位相减法求和即可． 试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，
由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，]
所以)24(2)2(2
d d +=+ 0>d ，∴2=d
∴122)1(1-=⨯-+=n n a n
又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即n
n b 21
=
（6分）
考点：数列的求和．
24．【答案】（1）{}210A B x =<<U ，(){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）1a ≤-或9
22
a ≤≤。

【解析】
试题分析：（1）由题可知：30
70
x x -≥⎧⎨->⎩，所以37x ≤<，因此集合{}37A x x =≤<，画数轴表示出集合A ，
集合B ，观察图形可求，{}210A B x =<<U ，观察数轴，可以求出{}
37R C A x x x =<≥或，则
(){}2310R C A B x x x =<<≤<I
或7；（2）由B C B =U 可得：C B ⊆，分类讨论，当B φ=时，
21a a ≥+，解得：1a ≤-，当B φ≠时，若C B ⊆，则应满足21
22110a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩，即1292
a a a ⎧
⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤
⎩，所以922a ≤≤，因此满足
B C B =U 的实数a 的取值范围是：1a ≤-或9
22
a ≤≤。

试题解析：（1）：由3070
x x -≥⎧⎨->⎩得：
37x ≤<
A={x|3x<7}≤
A B {x |2x 10}=<<， B A C R
⋂)(={x|2<x<3x<10}
≤或7
（2）当B=φ时，21,a -1a a ≥+≤
当B φ≠时，2122110
a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，9
22a ≤≤
即-1a ≤或922
a ≤≤。

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。