三角函数经典例题

经典例题透析

类型一：锐角三角函数

本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小．

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那么( )

A．B．C．D．

思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可．

解析：

解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出

，∴．

∴．

解法2：直接利用勾股定理求出，

在Rt△ABC中，．答案：A

总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可．2．计算：(1)________；

(2)锐角A满足，则∠A=________．

答案：(1)；(2)75°.

解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可．

(1)．

(2)由，得，

∴．∴A=75°．

总结升华：

已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角．

3．已知为锐角，，求．

思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出

，再利用，使可求出．

解析：

解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，．

则，

∴．

解法2：由，得

，

∴．

总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或

利用，来求．

类型二：解直角三角形

解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点．

4．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，

．

求：(1)DC的长；(2)sinB的值．

思路点拨：题中给出了两个直角三角形，DC和sin B可分别在Rt△ACD和Rt△ABC 中求得，由AD=BC，图中CD=BC-BD，因此可列方程求出CD．

解析：(1)设，在Rt△ACD中，，

∴，∴．

∵AD=BC，∴．

又，

∴，解得．

∴．

(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD．

在Rt△ACD中，．

在Rt△ABC中，．

∴．

总结升华：借助三角函数值，设出其中两边，根据已知条件，列出方程，求出解，再求

出其要求的问题．

举一反三

【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC 的延长线于点E，．

(1)求证：AB=DC；(2)若，，求边BC的长．

思路点拨：要证AB=DC，只需证明ABC=BCD．由AC∥DE，AD∥BC，可得四边形ADEC为平行四边形，所以∠E=∠DAC．由CA平分∠BCD，可得∠BCD=2∠BCA=2

∠E，所以∠B=∠BCD，问题得证，由(1)可知AD=CD=，过点A作AF⊥BC，在Rt△

ABF，可求得BF=1，所以．

解析：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠BCA=∠E．

∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCA，∴∠

BCD=2∠E．

又∵∠B=2∠E，∴∠B=∠BCD．

∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．

(2)解：如图所示，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F、G，则AF∥DG．

在Rt△AFB中，∵tan B=2，∴AF=2BF．

又∵，且，

∴，得BF=1．

同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．

又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD．∴AD=DC．

∵，∴．

∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形．

∴，∴BC=BF+FG+GC=．

【变式2】已知：如图所示，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．

(1)求证：△CPB≌△AEB；

(2)求证：PB⊥BE；

(3)PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

思路点拨：(1)在△CPB和△AEB中，∠PBC=∠ABE，BP=BE，要证△CPBC≌△AEB，只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证．(2)只要证∠PBE=90°，而∠ABC=90°，即证出．(3)要求cos∠PAE的值，需判断∠PAE所在的三角形是否是直角三

角形，因此需连结PE，借助(1)(2)，求出∠PBE=，而∠APB=135°，因此∠APE=90°．

解析：

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB．

∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，

∴△CPB≌△AEB．

(2)证明：∵∠CBP=∠ABE，

∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，

∴BP⊥BE．

(3)解：连结PE，∵BE=BP，∠PBE=90°，

∴∠BPE=45°．

设AP=k，则BP=BE=2k，

∴，

∴．

∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，

∴∠APE=90°，．

在Rt△APE中，．

类型三：利用三角函数解决实际问题

直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一．近年来，各地中考试题为体现新课标理念，设计了许多面目新颖、创意丰富的新型考题．运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点．虽然解直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键．

5．如图所示，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，

高为AB，当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡的树

影BC的长为7 m，求树高．(精确到0.1m)