1综合法和分析法导学案

《§2.2.1 综合法和分析法》导学案
编写：郭联福 审稿人：高二数学组 编写时间：2013年11月21日
班级 组别 组名 姓名
【学习目标 】
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 会用综合法、分析法证明问题；了解综合法、分析法的思考过程.
3. 根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
【学习重点】
1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;
2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;
3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.
【学习过程】
一、课前准备（预习教材P 30~ P 33，找出疑惑之处）
复习1：两类基本的证明方法: 和 .直接证明的两中方法: 和 . 复习2：综合法是由 导 ; 分析法是由 索 .基本不等式: .
二、新课导学
学习探究 探究一：探究任务一：综合法的应用
问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.
新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.
反思：
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
典型例题:例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c
++≥
变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c
---≥.
小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.
例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.
小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.
动手试试
练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=
练2. ,A B 为锐角，且tan tan 3tan tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）
探究二：分析法
问题：如何证明基本不等式(0,0)2
a b ab a b +≥>>
新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
反思：框图表示
要点：逆推证法；执果索因
典型例题
例1求证3526+>+ 变式：求证:3725+<
小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.
例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.
变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2
s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.
小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.
动手试试
练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.
练2. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥
探究三：综合法和分析法的综合运用
问题：已知,()2
k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=•=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.
新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：
试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：
222()16a b ab -=.
反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.
典型例题
例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠
，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒
变式：已知1tan 12tan αα
-=+，求证：3sin24cos2αα=-.
小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.
例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.
变式：如果,0a b >，则lg lg lg
22
a b a b ++≥. 小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. 动手试试
练1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证
2a c x y
+=.
练2. 已知54A B π+=，且,()2
A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.
【学习小结】
1. 直接证明包括综合法和分析法.
2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.
【学习评价】
自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）
A ．5481a a a a >
B ．5481a a a a <
C ．5481a a a a +>+
D ．5481a a a a =
2. 设23451111log 11log 11log 11log 11
P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P <<
C ．23P <<
D ．34P <<
3.
,其中最合理的是
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D. 归纳法
4.不等式①233x x +>;②2b a a b
+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确
5.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22
x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22
x y x xy y +<<< 6. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）.
①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩ 其中为真命题的是 （ ）
A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④
7. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.
A ．a ，b 均为负数，则2a b b a +≥B
22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a +∈++≥ 8.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2
+∞，则k 的范围是____ . 9. 已知b a ,
是不相等的正数，x y ==,x y 的大小关系是_________. 10. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 其中真命题是 .。