高三数学一轮复习课时作业14用导数研究函数单调性与极值 江苏专 试题

课时作业(十四) [第14讲用导数研究函数单调性与极值]
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

[时间是：45分钟分值：100分]
根底热身
1．函数f(x)＝x3－x的单调增区间为________________________________________________________________________．2．假如函数y＝f(x)的图象如图K14－1，那么其导函数y＝f′(x)的图象可能是图K14－2中的________________________________________________________________________．(填序号)
图K14－1 图K14－2
3．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________．
4．假设函数y＝ln x－ax的增区间为(0,1)，那么a的值是________．
才能提升
5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x＝－3时获得极值，那么a＝________.
7．假设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，那么b＝________，c＝________.
8．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K14－3，那么该函数有________个极大值；________个极小值．
图K14－3
9．a >0，函数f (x )＝x 3
－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，那么a 的最大值是________． 10．[2021·卷改编] 假设a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3
－ax 2
－2bx ＋2在x ＝1处有极值，那么ab 的最大值等于________．
11．[2021·苏北四一调] 函数f (x )＝mx 3
＋nx 2
的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，假设f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，那么实数t 的取值范围是________．
12．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，那么当a <x <b 时，有________．(填序号)
(1)f (x )g (b )>f (b )g (x )；(2)f (x )g (a )>f (a )·g (x )；(3)f (x )g (x )>f (b )g (b )；
(4)f (x )g (x )>f (b )g (a )．
13．(8分)函数f (x )＝4x 2
－72－x ，x ∈[0,1]，求f (x )的单调区间．
14．(8分)函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都获得极值．
(1)求a ，b 的值；
(2)假设f (－1)＝3
2，求f (x )的单调区间和极值．
15．(12分)函数f (x )＝x 3
－ax －1.
(1)假设f (x )在实数集R 上单调递增，务实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？假设存在，求出a 的取值范围；假设不存在，请说明理由．
16．(12分)函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)． (1)假设a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值范围； (2)假设a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1
x
在(0,1]上解的个数．
课时作业(十四)
【根底热身】 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－
33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 由f ′(x )＝3x 2
－1>0得，
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，＋∞，故单调增区间为⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－
33，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，＋∞. 2．(1) [解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，所以只有(1)正确．
3．7 [解析] 由f ′(x )＝3x 2
－6x 易得，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，故极大值为f (0)＝7.
4．1 [解析] 由条件可知，y ′＝1
x
－a >0的解集为(0,1)，代入端点值1，可知a ＝1.
【才能提升】
5．(2，＋∞) [解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x
，令f ′(x )＞0，解得x ＞2. 6．5 [解析] ∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时获得极值，∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，那么a ＝5.
7．－32 －6 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2
＋2bx ＋c <0的解
集，所以－1,2是方程3x 2
＋2bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得b ＝－32
，c ＝－6.
8．1 1 [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．
9．3 [解析] f ′(x )＝3x 2
－a ，在[1，＋∞)上，f ′(x )≥0恒成立，那么3x 2
－a ≥0，a ≤3x 2
.又
g (x )＝3x 2在[1，＋∞)上递增，故a ≤3，a 的最大值为3.
10．9 [解析] f ′(x )＝12x 2
－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，
∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，
∵a >0，b >0， ∴ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9.
11．[－2，－1] [解析] 因为f ′(x )＝3mx
2
＋2nx ，由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′－1＝3m －2n ＝－3，
f －1＝－m ＋n ＝2，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，
n ＝3，
所以f ′(x )＝3x 2
＋6x ，又f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2
＋6x ≤0在区间[t ，
t ＋1]上恒成立，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′t ＝3t 2＋6t ≤0，f ′t ＋1＝3t ＋1
2
＋6t ＋1≤0，
解之得t ∈[－2，－1]．
12．(3) [解析] ∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′<0，∴f (x )g (x )为减函数，又∵a <x <b ，∴f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )．
13．[解答] 对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2
＋16x －72－x 2＝－2x －12x －7
2－x 2
.令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝7
2
.
当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
x 0
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
1
2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 1 f ′(x )
－
0 ＋
f (x )
－7
2
－4
－3
所以，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，1时，f (x )是增函数． 14．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b . 由题意，得x ＝1和x ＝－2
3为f ′(x )＝0的解，
∴－23a ＝1－23，b 3＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23， ∴a ＝－1
2
，b ＝－2.
(2)由(1)知f (x )＝x 3
－12x 2－2x ＋c ，
由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝3
2，得c ＝1，
∴f (x )＝x 3－12
x 2－2x ＋1，f ′(x )＝3x 2
－x －2.
f ′(x )的变化情况如下：
x ⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－23 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1
(1，＋∞)
f ′(x )
＋
－
＋
∴f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.
当x ＝－23时，f (x )有极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝49
27；
当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－1
2
.
15．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2
－a ，故3x 2
－a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≤0.
(2)f (x )在(－1,1)上单调递减，那么3x 2
－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2
在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3.
16．[解答] (1)a ＝1，那么f (x )＝|x －2|＋b ln x ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－x ＋2＋b ln x 0<x <2，x －2＋b ln x x ≥2.
①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x
，
由条件，得－1＋b x
≥0恒成立，即b ≥x 恒成立． ∴b ≥2.
②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋b x
，
由条件，得1＋b x
≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．
∴b ≥－2.
∵f (x )的图象在(0，＋∞)上单调递增，不连续． 综合①，②得，b 的取值范围是b ≥2. (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1
x
，
即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－ax ＋2＋ln x －1x ⎝
⎛
⎭⎪⎫0<x <2a ，ax －2＋ln x －1x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ≥2a .
当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1
x
，
g ′(x )＝－a ＋1x ＋1
x
2，
∵0<x <2a ，∴1x >a 2，
那么g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24
＝
a a －2
4
≥0，
即g ′(x )>0，∴g (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫0，2a 上单调递增．
当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1
x
，
g ′(x )＝a ＋1x ＋1
x
2>0，
∴g (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2a
，＋∞上是单调增函数．
∵g (x )的图象在(0，＋∞)上不连续， ∴g (x )在(0，＋∞)上是单调增函数． ∵g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＝ln 2a －a 2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0， 那么g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a <0，
g (1)＝|a －2|－1＝a －3，
①当a ≥3时，∵g (1)≥0，∴g (x )＝0在(0,1]上有惟一解， 即方程f (x )＝1
x
解的个数为1个；
②当2≤a <3时，∵g (1)<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解， 即方程f (x )＝1
x
解的个数为0个．
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。