2017届高考数学一轮总复习 第63讲 圆的方程考点集训 理 新人教A版

考点集训(六十三) 第63讲 圆的方程
1．“A ＝C ≠0”是“方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示”圆的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．方程|x|－1＝1－（y －1）2表示的曲线为
A ．一个圆
B ．两个半圆
C ．一个半圆
D ．两个圆
3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y －3)2＝1
C ．(x －3)2＋(y －2)2＝1
D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1
4．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，0)
C ．(－4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
5．如果直线2ax －by ＋14＝0(a>0，b>0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m>0，m ≠1)的图象恒过
同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a
的取值范围是
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤34，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，43 6．已知点P (x ，y )为圆x 2＋y 2＝4上的动点，则x ＋y 的最大值为________．
7．已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面
积的最小值是__________．
8．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截下的弦长为27的圆的方程．
9．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的值无关)？请证明你的结论．
第63讲 圆的方程
【考点集训】
1．B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.2 2 7.3－ 2
8．【解析】法一：设所求的圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则圆心(a ，b)到直线x
－y ＝0的距离为|a －b|2
， ∴r 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a －b|22
＋(7)2，即2r 2＝(a －b)2＋14， ① 由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2， ②
又所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0， ③
联立①、②、③解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9；或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9.
故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.
法二：设所求的圆的方程是 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由圆与x 轴相切，得Δ＝0，
即D 2＝4F ， ①
又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2到直线y ＝x 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22
. 由已知，得⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2， 即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)， ②
又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2在直线3x －y ＝0上， ∴3D －E ＝0， ③
联立①、②、③，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1；或D ＝2，E ＝6，F ＝1，
故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0.
9．【解析】(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b)．
令f(x)＝x 2＋2x ＋b ＝0，
由题意b ≠0且Δ>0，解得b<1且b ≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b.
令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，
代入得出E ＝－b －1.
所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.
(3)圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C 的方程，
并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b(1－y 0)＝0，(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b ≠0)的b 都成立，
必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1， 经检验，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上，因此圆C 过这两定点．。