(常考题)北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)(2)

一、选择题
1．直线34y kx k =-+与双曲线22
1169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知椭圆22
:13620
x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两
点，则2
2
2AF BF +的最小值是（ ） A ．36
B ．48
C ．72
D ．96
3．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ） A ．20,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．20,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
C ．2,33ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
4．设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，
FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣
⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）
A ．4
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．(
C ．5,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．
5．已知椭圆22
2:14x y C b
+=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足
||||OF FP =，则b =（ ）
A ．3
B
C D 6．已知直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=经过定点P ，与抛物线24x y =交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+=
D ．20x y +-=
7．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交
双曲线左支于P ，交渐近线b
y x a
=
于点Q ，点Q 在第一象限，且1
2FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
110
2
+ B ．
122
+ C ．51+ D ．31+
8．P 为椭圆22
:11713
x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得
2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为（ ）
A ．()2
2234x y ++= B ．()2
2268x y ++= C ．()2
2234x y -+=
D ．()2
2268x y -+=
9．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则
129e e +的最小值（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ） A ．3B ．2 C ．43D ．4211．设双曲线2
2
14
y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为
锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．(42,6)
B ．(6,8)
C ．(42,8)
D ．(6,10)
12．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2
a
x c
=上一
点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．
1
2
B 2
C ．
34
D ．
45
二、填空题
13．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.
14．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，若点B 为()3,2，则PB PF +的最小值为
________________． 15．已知抛物线2
18
y x =
的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当
AM
AF
最大时，弦AB 长度是___________. 16．在双曲线22
221x y a b
-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，
121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.
17．设双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1
cos 4
OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．
18．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为
其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率1
3
e =
，则tan BDC ∠=___________.
19．如果点12310,,,P P P P ，是抛物线2
2y x =上的点，它们的横坐标依次为
12310,,,,x x x x ，F 是抛物线的焦点，若123105x x x x ++++=，则
1210PF P F P F +++=___.
20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．
三、解答题
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点和右焦点F 的距离与右焦点F 到椭圆C
的右准线的距离相等，且椭圆C 的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 过点F ，且与坐标轴不垂直，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点B . ①当6
7
BF =时，求直线l 的方程； ②求证：
PQ
BF
为定值.
22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，离心率e =
E 上任意一点M 到两个焦点1
F ，2F 的距离之积的最大值为4.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知点P 为直线l ：4x =上的任意一点，直线PA 、PB 与椭圆E 分别交于两点
C 、
D （不同于A 、B 两点），求证：直线CD 经过定点，并求出该定点的坐标，
23．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点在圆221x y +=上.
（1）求抛物线的方程；
（2）圆上一点00,x y 处的切线交抛物线于两点,A B ，且满足2
AOB π
∠=(O 为坐标原
点)，求0y 的值.
24．已知椭圆()22
22:10x y M a b a b +=>>经过如下四个点中的三个，1132P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，
()20,1P ，3132P ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，()
43P ，1.
（1）求椭圆M 的方程;
（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过椭圆M 的右顶点C (A ，B 均不与点C 重合)，证明:直线l 过定点.
25．（1）已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的焦距为22，1F 、2F 为左、右焦点，
M 为椭圆E 上一点，且123
F MF π
∠=
，12
23
F MF S =△，求椭圆E 的方程． （2）过点()()00P m m a <<,
的直线交椭圆E 于A 、B 两点，交直线4
x m
=于点M ，设MA AP λ=，MB BP μ=，求λμ+的值．
26．如图，已知抛物线()2
:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物
线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .
（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；
（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】
联立22341169
y kx k x y =-+⎧⎪
⎨-=⎪
⎩，
消去y 并整理得()
()()2
2
2
1693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦
，
由于直线34y kx k =-+与双曲线22
1169
x y -
=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()
()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪
⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩
， 解得3
4
k =±
或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程
2724250k k +-=有两个不等的实数解.
显然3
4
k =±
不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
2．D
解析：D 【分析】
求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得
22
2AF BF +的最小值.
【详解】
设椭圆C 的左焦点为F '，
在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，
由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，
所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，
0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，
()
()2
2
2
2
2
2
2122324144349696
AF BF BF
BF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，
当且仅当4BF =时，等号成立，因此，2
2
2AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：
（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；
（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.
3．B
解析：B 【分析】
设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2
:4E y x =联
立可得(
)
22
2
2
240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径1
2
r BC =
，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则
1
2MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r
∠=并求出其范围，进而可得
MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】
由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()
00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2
:4E y x =可得(
)
22
2
2
240k x k x k -++=，
所以2122
24
k x x k
++= ，121=x x ()
()2
2222
12121224
1612444k k x x x x x x k k +⎛⎫
+-=+-=-= ⎪⎝⎭
， ()()()22
2
2
2
1
2
4
16111k BC k
x x
k k
+=+-=+⨯
，
所以()2241k BC k +=
，以BC 为直径作圆的半径()22
2112k r BC k
+==，
圆心为BC 的中点()20122
12
2k x x x k
+=+=， 设MN 的中点为D ，则1
2
MAD MAN ∠=
∠， 则()()()2220222
2
221111cos 1222
212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>
，所以03
MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，
1cos 2MAD ∠=，3
MAD π
∠=，
所以03
MAD π
<∠≤
可得203
MAN π
<∠≤
， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，
由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出1
2
MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.
4．A
解析：A 【分析】
根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
-,列出关于e 的不等式，求解范围.
【详解】
取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则
22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以
2
2
2
22222
22
4(2)444cos 244''+-+-+--∠===
'AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 2
211
11⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e
，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，
即22
49902116160
e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得4
33≤≤e . 故选：A.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．
5．B
解析：B 【分析】
首先由椭圆的对称性得到点P 的位置，再求解,c b 的值. 【详解】
根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足OF FP =，这个点只能是右顶点，即
2a c c a c -=⇒=，由条件可知242a a =⇒=，
则1c =
，那么b ==
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是确定点P 的位置，从而得到2a c =这个关键条件.
6．B
解析：B 【分析】
利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】
由直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=得(2)(23)0a x y x y +-++-=
所以20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 解得1
1
x y =⎧⎨
=⎩ 则()1,1P 设1122(,),(,)A x y B x y ，
则211
222
44x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()x x x x y y -+=-， 即1212121
42
AB y y x x k x x -+=
==-， 则直线方程为1
1(x 1)2
y -=-，即210x y -+=. 故选：B. 【点睛】
方法点晴：点差法是求解中点弦有关问题的常用方法.
7．A
解析：A 【分析】
由1
2FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ． 【详解】
∵1
2FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =，
设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y b
x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，
12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得
23
3P P a c x b y -⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 又P 在双曲线上，∴2222
(2)199a c b a b --=
，解得e =
舍去）． 故选：A ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用
P 在双曲线上列式，由1
2FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．
8．B
解析：B 【分析】
由椭圆的
122PF PF a +==2PQ PF =
，所以
11
2PF PQ FQ a +===Q 的轨迹为以()12,0F -
为圆心，径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程. 【详解】
由22
11713
x y +=
可得：a =，
因为122PF PF a +==2PQ PF =，
所以
11
2PF PQ FQ a +=== 所以动点Q 的轨迹为以()12,0F -
为圆心， 故动点Q 的轨迹方程为()2
2268x y ++=. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
9．D
解析：D 【分析】
设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别
求出1PF ，即可得1
22a a c +=，计算12112e e +=，()1212121
11992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】
设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222
111c a b =-，
设双曲线2C 的方程为222222
1x y a b -=，则222
222c a b =+，
因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，
所以2212c c =，设12c c c ==即2222
1122a b a b -=+，
因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，
因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，
所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =
，22c e a =，所以1212121122a a a a c
e e c c c c
++
=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=
++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()11101023822
⎛
≥+=+⨯= ⎝，
当且仅当21
12
9e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得
12
11
2e e +=， 再利用基本不等式可求最值.
10．A
解析：A 【分析】
设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】
设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-， 联立2
14x my y x
=-⎧⎨
=⎩，可得2
440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =± 即2
440y y ±+=，2y =±，
不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上
又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 的距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2 圆的方程为()2
214x y -+=，令0x =
，解得y =即圆被y
轴所截得的弦长为故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
11．D
解析：D 【分析】
由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值
范围． 【详解】
12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，
当P 在1P 处，11290F PF
∠=，又1,2,5a b c ===
由222111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PF
PF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；
当P 在2P 处，12290F F P ∠=，25P x = 易知24P y = 则224P F =
此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=
∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】
关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.
12．B
解析：B 【分析】
设直线2a x c
=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此
可解得该椭圆的离心率. 【详解】
设直线2a x c
=交x
轴于点M ，
21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，
在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，
P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭
，即222a c =，2
2c e a ∴==
． 故选：B ． 【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率
e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、填空题
13．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=
【分析】
先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】
(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，
设过点(2,2)A 与圆2
2
(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即
220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2
202211
k k
d k -+-=
=+，解得
3k =，如图，直线):232AB y x -=-，直线):232AC y x -=--.
联立)22322y x y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()
2
3431416830x x ++-=，
故1683A B x x -=
，由2A x =得843
B x -=，故236B y -= 联立)22322y x y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()
2
3431416830x x -++=，
故1633A C x x +=
，由2A x =得8433C x +=，故236
3C y -=， 故236236
4B C y y ---+=
=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为
22221
114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=
====-
-+--，
故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛--
=-- ⎝⎭
，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=
14．5【分析】求出抛物线的准线方程把到焦点距离转化为它到准线的距离然后利用三点共线得最小值【详解】如图过作与准线垂直垂足为则∴易知当三点共线时最小最小值为∴的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线
解析：5 【分析】
求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线得最小值． 【详解】
如图，过P 作PM 与准线2x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =，
∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为
3(2)5--=．∴PB PF +的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．
15．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一 解析：8
【分析】
作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线2
18
y x =
的准线于点E ，可得出1
sin AM AF AME
=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，
AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】
设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线2
18
y x =的准线于点E ，如下图所示：
由抛物线的定义可得AE AF =，则1
sin AM AM AF AE AME
==∠，
可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM
AF
最大，
抛物线2
18
y x =
的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线2
18
y x =
相切时，直线AM 的斜率存在， 设直线AM 的方程为2y kx =-，联立2
2
8y kx x y
=-⎧⎨
=⎩，消去y 得28160x kx -+=， 264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，
方程为2
8160x x -+=，解得4x =，此时，2
28
x y ==，即点()4,2A ，
此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -， 因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】
方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所
解析：5 【分析】
首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为
24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心
率. 【详解】
设12PF PF >，并且122PF PF a -=，
12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，
则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又
1290F PF ∠=，()()22
224224c a c a c ∴-+-=，
整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，
2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），
所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.
17．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出
解析：2 【分析】
在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】
设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，
，1
cos 4
EFP ∠=
. 由余弦定理()2
22421cos 224
c c c a EFP c c +-+∠==
⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】
求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.
18．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化
解析：5
-
【分析】
做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有
tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=
∠=
，根据离心率可求出b a =
，b c
=，代入正切公式
即可求出结果. 【详解】 由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以
tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b b
BAO CFO a c
+
∠+∠∠=∠+∠==
-∠∠-⋅ 因为离心率13
c e a =
=，可设3a m =，c m =
，那么b =
，极有3b a =，
22b c =
，代入上式得22
22
823522
122
3
+=--⨯． 故答案为：82
5
-
【点睛】
本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，
思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．
（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.
19．10【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离把整体代入中即可求解【详解】解：由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离在中所以故答案为：10【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入中是解决本题
解析：10 【分析】
利用抛物线()2
20y px p =>上的点()000,P x y 到焦点
,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离002p P F x =+，
把123105x x x x ++++=整体代入1210PF P F P F +++中即可求解.
【详解】
解：由抛物线的定义可知，
抛物线()2
20y px p =>上的点()000,P x y 到焦点
,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离002p P F x =+，
在2
2y x =中，1p =，
所以12121031055510PF P F P F x x x x p ++
+=+++++=+=.
故答案为：10 【点睛】
关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入1
210PF P F P F +++中是解决本题的
关键.
20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设
解析：2 【分析】
法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式2
2sin p
AB θ
=，求p 的值. 【详解】
法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，
22
b p
∴-
=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-． 设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px
=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22
460x px p -+=，
由韦达定理得1232p x x +=
，又5AB =，125
52
x p p x ∴++==，则2p =. 法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==
，得sin θ=
，
∴
22
225sin p p
AB θ=
==，得2p =.
故答案为：2 【点睛】
结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如
下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①2
2
1212,4
p y y p x x =-=；
②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ
= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为
90.
三、解答题
21．（1）22
143
x y +=；（2）①1y x =-或1y x =-+，②证明见解析.
【分析】
（1）依题意得到方程组解得即可；
（2）设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，设线段PQ 的中点为M ，联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可表示出线段PQ 的中点M 的坐标，从而得到线段PQ 的垂直平分线方程，表示出B 点坐标，再根据①、②分别计算可得； 【详解】
解：（1）由条件得，22,23,a a c c c
b a
⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222b a c =-，
解得2a =
，b =
1c =，
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）因为直线l 过点()1,0F ，且与坐标轴不垂直，
所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,P x y ，()22,Q x y ， 设线段PQ 的中点为M ，
由()221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+
=⎪⎩
得()22223484120k x k x k +-+-=，
所以2122834k x x k +=+，2
12241234k x x k
-=+ 所以线段PQ 的中点22243,3434k k M k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
， 所以线段PQ 的垂直平分线方程为22
23143434k k y x k k k ⎛⎫
+=-- ⎪++⎝⎭
， 令0y =，得2
2
34k x k =+，即22,034k B k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
①当67BF =时，则22
6
1347
k k -=+， 解得1k =±，
所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+.
②因为()212
2
12134k PQ x k
+=-==
+，
22
22
3313434k k BF k k
+=-=++， 所以
4PQ
BF =为定值. 【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析，()1,0.
【分析】
（1）利用椭圆的定义可得12|||2|MF MF a =+，根据基本不等式求出2a =，再由离心率
求出c =
222a b c =+即可求解.
（2）当点C 是椭圆上顶点时，求出()4,3P ，进而求出点83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，写出直线CD 的方程，得出直线CD 经过定点()1,0N ，设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，
(),y D D D x ，写出直线PA 的方程，将直线与椭圆联立，求出2221826,99m m C m m ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭，同
理求出22
2222,11m m D m m ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
，若直线CD 经过定点()1,0N ，只需,,N C D 三点共线，利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
（1）由椭圆的定义知12|||2|MF MF a =+，
所以2
122
122MF MF MF MF a ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭
，
已知12||||4MF MF ≤，所以24a =，2a =.
因为2
e =
c = 因为2
2
2
a b c =+，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2
214x y +=.
（2）当点C 是椭圆上顶点时，直线AC 的方程为()1
22
y x =+，
可得()4,3P ，则()3:22PB l y x =-与22
14
x y +=联立解得83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
所以直线CD 的方程为：10x y +-=，
由椭圆的对称性可知，直线CD 经过x 轴上的定点， 所以直线CD 经过定点()1,0N . 以下证明一般性：
设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),y D D D x 则直线PA 的方程为()26
m
y x =
+ 联立22(2)614
m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
消去y 得()
2
2
2
2
944360m x m x m +++-=
由韦达定理得22
436
29C m x m --=+，解得2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
因为直线PB 的方程为()22
m
y x =
- 联立22(2)214
m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
消去y 得()
2
2
2
2
14440m x m x m +-+-=
由韦达定理得22
44
21D m x m -=+，解得22
2222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
直线CD 经过定点()1,0N ，即,,N C D 三点共线
因为222936,99m m NC m m ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，22
232,11m m ND m m ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ 因为22222293263
9191
m m m m m m m m ---⨯-⨯
++++ ()
()()
332
2
18661891m m m m m
m -+--=
++
0=
所以//NC ND ，那么,,N C D 三点共线
所以直线CD 经过定点()1,0N ， 【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点C 是椭圆上顶点时，求出定点()1,0N ，再证明一般性，借助,,N C D 三点共线求解，考查了运算求解能力. 23．（1）24x y =；（2）014
y =. 【分析】
（1）求出22
1x y +=与y 轴交点，得出抛物线22(0)x py p =>的焦点，求出p
（2）设出直线AB ，与抛物线联立，利用12120x x y y +=求出直线的参数m ，再利用AB 为切线，求出直线方程.再与圆方程联立求出交点纵坐标即可. 【详解】
（1）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 圆2
2
1x y +=与y 轴交点为(0,1)，
122
p
p ∴
=⇒=， 即2
4x y =.
（2）设直线AB 为y kx m =+(k 一定存在)，
224404y kx m x kx m x y
=+⎧∴⇒--=⎨=⎩， 22
212
12124,44
x x x x m y y m ∴=-=⋅=，
又
21212,04042
AOB x x y y m m m π
∠=
∴+=⇒-=⇒=，
即直线AB 为2
4,115y kx k =+=
⇒=，
22022
15(40161y x x x y ⎧=⎪∴=⇒=⎨+=⎪⎩
， 2
0116
y ∴=
，即01
4y =.
【点睛】
解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；
（5）代入韦达定理求解.
24．（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先分析椭圆M 经过P 1、P 3、P 2，用待定系数法求标准方程；
（2）先用联立方程组，设而不求法把以AB 为直径的圆经过C,找到两个参数的关系，证明直线过定点. 【详解】
(1)2214
x y +=; 由题意，点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与点312P ⎫⎪⎭
，关于原点对称， 根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，
点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和点312P ⎫⎪⎭
，都在椭圆上， 又因为点312P ⎫⎪⎭
，
与点)
4
P 1不可能同时在椭圆上， 即椭圆过点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，312P ⎫⎪⎭
，，()20,1P ，
所以(2
2
2
2121a b
⎛⎫ ⎪⎝⎭+=， 且22
22011a b
+=， 故24a =，21b =，
所以，椭圆M 的方程为2
214
x y +=.
(2)直线l 恒过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
由题意，可设直线AB 的方程()2x ky m m =+≠，
联立2
214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222
4240k y kmy m +++-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，2122
4
4
m y y k -⋅=+① 又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，
0CA CB =∴⋅，
由()112,CA x y =-，()222,CB x y =- 得()()1212220x x y y --+= ， 将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得
()()()()2
2
12121220k
y y k m y y m ++-++-=，
将①代入上式求得6
5
m =或2m =(舍)， 则直线l 恒过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．
25．（1）22
:142
x y E +=；（2）0．
【分析】
（1
）首先根据题意得到c =
11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=
，再根据
123
F MF S =
△和余弦定理即可得到24a =，22b =，从而得到椭圆的标准方程. （2）首先设直线x ky m =+，与椭圆联立得到222
(2)240k y kmy m +++-=，从而得到
1221224y y km y y m +=--，联立4x m x ky m
⎧
=⎪⎨⎪=+⎩，得到244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.再根据MA AP λ=，MB BP μ=，得到2141m kmy λ-=
-和2
2
41m kmy μ-=-，计算λμ+即可. 【详解】
（1
）由已知得2c =
，即c =
设11MF r =，22MF r =，得到1
22r r a +=. 在12F MF △
中，12
121sin 23F MF r r S π=
=△，解得1283r r =.
(
2
2212122cos
3
r r r r π
=+-，
化简得：()2
121283r r r r =+-，2
8
8433
a =-⨯
，解得24a =.
所以2
2
42b =-
=，椭圆22
:142
x y E +=.
（2）由（1）知22
:142
x y E +=，()()002P m m <<,
，设直线x ky m =+， 联立22
24
x ky m x y =+⎧⎨
+=⎩得：222
(2)240k y kmy m +++-= 12222km y y k +=-+，21224
2m y y k -=+
所以1221224
y y km y y m +=-- 联立4x m x ky m
⎧
=
⎪⎨⎪=+⎩，得244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.
21144,m MA x y m km ⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭，()11AP m x y =--,
由MA AP λ=，得2
114m y y km λ--=-，得2141m kmy λ-=
-. 同理MB BP μ=得2
2
41m kmy μ-=
-. 222212212124444222204
y y m m m m km
kmy kmy km y y km m λμ+-----+=+-=⋅-=⋅-=-.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题中直线方程代入椭圆
方程整理后得到1221224y y km y y m +=--和利用向量关系得到2141m kmy λ-=-和2
2
41m kmy μ-=-为解决本题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 26．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】
（1）设直线l 的方程为2x my p =+，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达
定理，由题意可得出22
2
122
144y y x x p
==，求出p 的值，进而可得出抛物线C 的方程； （2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，可得出213y y p =-，224y y p =-，利用直线的斜率公
式以及韦达定理可得出l
MN
k k 为定值.
【详解】
（1）若直线l 与x 轴重合，则该直线与抛物线C 有且只有一个交点，不合乎题意.。