最新高三数学上期中第一次模拟试卷及答案

最新高三数学上期中第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018
B ．2018-
C ．4036-
D ．4036
2．已知函数22()
()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩
，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a ++++=L
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
3．已知{}n a 为等差数列，若20
19
1<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S
B ．19S
C ．20S
D ．37S
4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸 B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
5)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．3
D 6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
7．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111
()(233
n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）
A ．32
n
n a n =+
B ．2
3
n n n a +=
C ．a n =n+2
D ．a n =（ n+2）·3n
8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．8
9
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
9．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A +=
()
2224
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
10．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12 B ．
54
C ．
45 D ．45
- 11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．()8,10
B
．(
C
．()
D
．
)
12．已知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．(
)
1614
n
--
B ．(
)
1612
n
--
C ．
()32
123
n -- D ．
()32
143
n -- 二、填空题
13．若数列{}n a 满足11a =，()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式
()()
1
12
121n n n
n a b ++=
-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________
14．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足
222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V
，则ab =__
15．已知实数x y ，满足2,
2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
则2z x y =-的最大值是____．
16．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．
17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，cos
2C =
，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．
19．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,
{1
ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．
20．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，
1||2||a a b
+取得最小值. 三、解答题
21．在ABC V 中，3
B π
∠=
，b =，________________，求BC 边上的高．
从①sin 7
A =
， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
22．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
23．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*
111,2,n n a S na n N +==∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1
12019
n T +<，求正整数n 的
最小值．
24．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6
A π
=
，ABC V
，求ABC V 的周长．
25．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{(1)}n
n a -•的前2n 项和2n T ．
26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求
12231
111+++⋯+n n a a a a a a .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得
最终结果.
详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：
120171009201710092201720172017201722
a a a
S a +=
⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：
()12018
201710091010201810091009440362
a a S a a +=
⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知条件判断出公差0d <，对20
19
1<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】
已知{}n a 为等差数列，若
20
191<-a a ，则201919
0a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，
19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，
则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】
本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
=
当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题可知，将111
()(233
n n n a a n -=
+≥，两边同时除以，得出
，运用累加法，解得
，整理得2
3
n n n a +=
； 考点：累加法求数列通项公式
8．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
22234S b a c =
+-，得13sin 2cos 24
ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以94
5
=a ，故选C ．
【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦
定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】
由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个
角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222
222
1313a a
⎧+>⎨+>⎩， 由于0a >
，解得a <<C ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 12．D 解析：D 【解析】 【分析】
先求出3
1()2
n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.
【详解】
由题得35211,82
a q q a ==∴=. 所以2
23211
2()()22
n n n n a a q
---==⨯=，
所以3
22511
11
()
()()222
n n n n n a a ---+=⋅=. 所以
111
4
n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]
4114
n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题
13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时
可以列举几项再发 解析：2046
2047
-
【解析】 【分析】 对于()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...
，，发现规律， 利用()()
1
12121n n n n a b ++=--，求出10S .
【详解】 由()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得
2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利
用()()
1
12
121n n n
n a b ++=
--，得b 1=-
43
，234510224694b =
b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出102046
2047
S =-
. 故答案为2046
2047
- 【点睛】
本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.
14．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛
解析：4 【解析】 【分析】
由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】
222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，
∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，
∴由余弦定理可得，2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
可得sin C ==
，
ABC
QV的面积为3
，可得
13
3sin
24
ab C ab
==，
∴解得4
ab=，故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
15．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC及其内部其中A （53）B（﹣13）C（20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x﹣y有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
解析：7
【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x﹣y有最大值，并且可以得到这个最大值．
详解：
根据约束条件
2,
2,
03,
x y
x y
y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≤≤
⎩
画出可行域如图，
得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）
平移直线l：z=2x﹣y，得当l经过点A（5，3）时，
∴Z最大为2×5﹣3=7．
故答案为7．
点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而
故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-
【解析】 【分析】
待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1
123n n a -+=⋅，
故1
231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,
x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈；
当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）； 综上113
m -≤≤-，因此实数m 的最大值是1
3
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
18．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：
5 【解析】 试题分析：5cos
23
C =
，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为95
2sin 10
c R C =
=
，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有951x x ⎛⎫
-= ⎪
⎪
⎝⎭
，解得
52
x =
，故最大面积为155
2222S =⋅⋅=
.
考点：解三角形．
【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归
与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.
19．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞
【解析】
试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且
1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是
(2,)+∞．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
20．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-
【解析】 【分析】
利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b
++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以
1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++， 又因为0b >，||0a >，
所以
||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15
144
+=； 当0a <时，
1||2||a a b +的最小值是13144
-+=.
故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,
a
b a b a b a ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩
即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.
三、解答题
21．
选择①，h =
；选择②，h =
；选择③，h =【解析】 【分析】 （1
）选择①sin A =
，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；
（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=
得5sin C C =，结合
22sin cos 1C C +=
得sin 14
C =
，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合
2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】
（1
）选择①sin 7
A =
，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：
sin sin a b A B
=，
=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
221
2222
c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，
则BC
边上的高sin h c B =
（2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：
在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3
C C π
+
=，
整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，
由①②得sin 14
C =
，
则BC 边上的高sin h b C ===
. （3）选择③2a c -=，解答如下：
在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
3
B π
∠=
Q ，b =
227a c ac ∴+-=┄①，
又2a c -=┄②， 由①②解得1c =，
则BC 边上的高sin h c B =. 【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题. 22．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】
(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，
()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.
2221
cos 22
b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.
(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1
sin sin 6022
B B B =
+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦
定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 23．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】
（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n n
a a n n +=+，则{}n a n
为常数列，继而可算出n a ；
（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】
（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，
②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，
所以
11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为常数列， 又2
2122,12
n a a a S n ==∴
==， (2)n a n n ∴=≥，
当1n =时也满足，所以n a n =.
（2）211211
1(1)
(1)(1)(1)1n
n n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭
， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+
++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 综上，1
,1
11,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，
则1111201912019
n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．
【点睛】
此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论． 24．（1）见解析（2
）4+ 【解析】
【分析】
（1）用余弦定理将条件cos cos a C c A a +=化为222222
22a b c b c a a c a ab bc
+-+-⋅+⋅=，
然后化简即可
（2）由6A π=得23
C π
=，由ABC V a b =可推出2a b ==，然后用余
弦定理求出c 即可. 【详解】
（1）因为cos cos a C c A a +=
由余弦定理得222222
22a b c b c a a c a ab bc
+-+-⋅+⋅=，
整理得222b ab =， 所以a b =， 所以A B =． （2）因为6
A π
=
，由（1）知2()3
C A B π
=π-+=
，
又ABC V
所以
1
sin 2
ab C = 又a b =，
所以
2122
⨯= 所以2a b ==．
由余弦定理，得222
12cos 14222122c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以c =，
所以ABC V 的周长为4+． 【点睛】
本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型. 25．(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】 【分析】
（1）由题意，可知2
324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1），可知12n n a a --=，可得
()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.
则2
324(1)a a S =⋅+，即()()()2
12136d d d -+=-+-+，解得2d =，
所以数列的通项公式23n a n =-. （2）由（1），可知12n n a a --=，
所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 26．（1）n a n =-；（2）1
n n +. 【解析】 【分析】
(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式
表示出1
1
n n a a +，利用裂项相消法即可求解.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，
5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，
解得11a =-，1d =-， 所以()11=---=-n a n n . （2）由n a n =-，所以
11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ， 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n a a a a a a n n 1111n
n n =-
=
++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．。