四川省泸县第四中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案

2019-2020学年度秋四川省泸县四中高三第一学月考试
理科数学试题
第I卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知是虚数单位，则
A. B. C. D.
2.已知集合，，则=
A. B. C. D.
3.关于函数的下列结论，错误的是
A. 图像关于对称
B. 最小值为
C. 图像关于点对称
D. 在上单调递减
4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
5.函数的图像大致是
A. B.
C. D.
6.在等差数列中，若，则等于
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
7.2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况.为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：
根据图中（岁以上含岁）的信息，下列结论中不一定正确的是
A. 样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通
B. 样本中多数女性是岁以上
C. 岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D. 样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高
8.在长方体中，，与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
9.在直角梯形中，，，，，是的中点，则
A. B. C. D.
10.若，，，则实数，，之间的大小关系为
A. B. C. D.
11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若的图象关于对称，则的值为
A. B. C. D.
12.已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.若实数，满足约束条件，
，，则的最小值为__________.
14.二项式展开式中的系数为__________（用数字作答）
15.已知为等比数列的前项和，，若，则实数的值为__________.
16.抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
已知在中，角，，的对边分别是，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积的最大值.
18.（本大题满分12分）
即将于年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到年到年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值（单位：万元），如下表：
（Ⅰ）请根据上表的数据，利用线性回归模型拟合思想，求关于的线性回归方程（，的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位）；
（Ⅱ）如果毕业生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用（1）的结论，预测年的非私营单位在岗职工的年平均工资（单位：万元。

计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位），并判断年平均工资能否达到他的期望.
参考数据：，，
附：对于一组具有线性相关的数据：，，，，，，，
其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
，
19.（本大题满分12分）如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.
（Ⅰ）求证：不论折起到何位置，都有平面；
（Ⅱ）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.
20.（本大题满分12分）
已知椭圆的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.
21.（本大题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；
（Ⅱ）设，且有两个极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.
（I）把曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程；
（II）若直线与曲线相交于两点，求.
23.已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数的最小值为3，且，，证明：.
2019-2020学年度秋四川省泸县四中高三第一学月考试
理科数学试题答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.C
8.A
9.D 10.B 11.A 12.B
13.14.60. 15.16.，
16.作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°，从而得到直线AB的方程，再与抛物线联立，求得A点坐标，求得切线方程，与x=-1联立，求得M的坐标．
作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E
∵3，∴设||＝m，则||＝3m，
由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得
||＝||＝m，||＝||＝3m，
∴||＝2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°
所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，
得直线AB的斜率k＝tan60°．
直线AB的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x，可得3x2﹣10x+3＝0，
∴x＝3或x，
∵A在x轴上方，
∴A（3，），∴设过A的切线的斜率为m，则切线的方程为（），
与联立得到（），，可得，
∴过A的切线的方程为，与x＝-1联立可得
∴的坐标为，
故答案为，．
17.解：（1）因为，所以，所以，
所以.
又因为，
所以.
又因为，所以，
所以.
又，
所以.
（2）据（1）求解知，，
所以. 又，
所以.
又，当且仅当时等号成立，
所以.
所以面积的最大值.
18（1）由已知，得，.
又，
所以，，
故关于的线性回归方程为
（2）由（1），
当时，.
所以，预测年的非私营单位在岗职工的年平均工资为万元，达到了他的期望.
19.（1）证明：因为四边形是菱形，所以.
因为，点是的中点，
所以.
又因为平面，平面，，
所以平面.
（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示. 易知，，，则点，，，
所以，.
设，则.
所以.
设平面的一个法向量为，则
由得解得
令，得平面的一个法向量为，
所以，解得.
故所求的值为或.
20(Ⅰ)由题得，，解得，
椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设，，当直线AB的斜率存在时，
设其直线方程为：，
则原点到直线的距离为，
联立方程，
化简得，，
由得，
则，，
即对任意的恒成立，则，，
当直线斜率不存在时，也成立.
故当时，点到直线AB的距离为定值.
21.解：（Ⅰ），
∵，，∴，
所以在区间上为单调递增.
所以，
又因为，
所以的值为8.
（Ⅱ）（i）∵
，
且的定义域为，
∴.
由有两个极值点，，
等价于方程有两个不同实根，.
由得：.
令，
则，由.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
所以，当时，取得最大值，
∵，∴当时，，当时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为. （ii）证明：不妨设，
且①，②，
①+②得：③
②-①得：④
③÷④得：，即，
要证：，
只需证.
即证：.
令，
设，
.
∴在上单调递增，
∴，即，
∴.
22.(Ⅰ)由得，
即曲线C的直角坐标方程为：.
直线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)联立方程整理得：，
，
.
23.（Ⅰ）当时，，
故不等式可化为：或或，
解得：或.
所求解集为：或.
（Ⅱ）因为.
又函数的最小值为3，，
所以，解得，即，
由柯西不等式得，所以.。