苏教版数学九年级上册 期末试卷试卷(word版含答案)

苏教版数学九年级上册 期末试卷试卷（word 版含答案）
一、选择题
1．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ）
A ．BM ＞DN
B ．BM ＜DN
C ．BM=DN
D ．无法确定 2．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2
B ．m>-2
C ．m≥-2
D ．m≤-2 3．若将二次函数2y
x 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得图象对应函数的表达式为（ ） A ．2(2)2y x =++
B ．2(2)2y x =--
C ．2(2)2y x =+-
D ．2(2)2y x =-+ 4．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ）
A ．265cm π
B ．290cm π
C ．2130cm π
D ．2155cm π 5．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）
A ．一定相似
B ．一定全等
C ．不一定相似
D ．无法判断
6．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 7．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤ 8．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )
A ．10π
B ．10
C ．103
π D ．π 9．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A ．2225y x =
B ．2425y x =
C ．225y x =
D ．245y x =
10．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
11．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC 7，D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD ＝1，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（ ）
A ．23
B ．33
C ．27
D ．37
12．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是
A ．（6，0）
B ．（6，3）
C ．（6，5）
D ．（4，2）
二、填空题
13．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.
14．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
15．如图，AB 、CD 、EF 所在的圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，则r 1、r 2、r 3的大小关系是____．（用“＜”连接）
16．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．
17．已知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是________．
18．抛物线()2322y x =+-的顶点坐标是______.
19．已知关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．
20．已知⊙O 半径为4，点,A B 在⊙O 上，21390,sin 13
BAC B ∠=∠=
，则线段OC 的最大值为_____．
21．如图，圆形纸片⊙O 半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．
22．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
23．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．
24．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
三、解答题
25．（1）解方程：234x x -=；（2）计算：2tan 60sin 452cos30︒+︒-︒
26．新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB 在两棵同样高度的树苗CE 和DF 之间，树苗高2 m ，两棵树苗之间的距离CD 为16 m ，在路灯的照射下，树苗CE 的影长CG 为1 m ，树苗DF 的影长DH 为3 m ，点G 、C 、B 、D 、H 在一条直线上．求路灯AB 的高度．
27．已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数．
（1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．
（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系．
28．如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=
14
x 2相交于点A （x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，与x 轴正半轴相交于点D ，于y 轴相交于点C ，设∆OCD 的面积为S ，且kS+8=0.
（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=16
x
的图像上.
29．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在点A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端点H的仰角HDE
∠为45︒，此时教学楼顶端点G恰好在视线DH 上，再向前走7米到达点B处，又测得教学楼顶端点G的仰角GEF
∠为60︒，点A、B、C点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高度；
（2）计算教学楼CG的高度．（结果精确到0.12 1.4
≈3 1.7
≈）．30．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC ；
（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ．
31．如图①，抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P ，使得∠POB ＝∠CBO ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M 是抛物线上一点，N 是射线CA 上的一点，且M 、N 两点均在第二象限内，A 、N 是位于直线BM 同侧的不同两点．若点M 到x 轴的距离为d ，△MNB 的面积为2d ，且∠MAN ＝∠ANB ，求点N 的坐标．
32．数学概念
若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念
（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 .
（2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足
180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，DB DC =
②如图②，BC BD =
深入思考
（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
分析：连接BD ，根据平行四边形的性质得出BP=DP ，根据圆的性质得出PM=PN ，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM ，从而得出三角形全等，得出答案．
详解：连接BD ，因为P 为平行四边形ABCD 的对称中心，则P 是平行四边形两对角线的交点，即BD 必过点P ，且BP=DP ， ∵以P 为圆心作圆， ∴P 又是圆的对称中心， ∵过P 的任意直线与圆相交于点M 、N ， ∴PN=PM ， ∵∠DPN=∠BPM ，
∴△PDN ≌△PBM （SAS ）， ∴BM=DN ．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题
型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m 值的范围.
【详解】 解：抛物线的对称轴为直线221m x
m
∵10a =-<,抛物线开口向下，
∴当x m < 时，y 的值随x 值的增大而增大，
∵当2x <-时，y 的值随x 值的增大而增大，
∴2m ≥- ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键. 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可. 【详解】
解：将2y x 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得二次函
数的表达式为：2(2)2y x =+-.
故选：C.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基本知识题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.
【详解】
解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积
=2265590cm πππ+⨯=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．
【详解】
解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，
∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，
∴A DCH ∠∠=，
∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，
∴ADG CDH ∠∠=，
继而可得出AGD CHD ∠∠=，
∴ADG ~CDH ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】
19-8=11，
故选：D.
【点睛】
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.
【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴41642
t x ±-= ∵15x <<
∴54t -<≤
故答案为D .
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：2210AD CD +=
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°， 则顶点A 所经过的路径长为l=
6010101803π=． 故选C.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
四边形ABCD 图形不规则，根据已知条件，将△ABC 绕A 点逆时针旋转90°到△ADE 的位置，求四边形ABCD 的面积问题转化为求梯形ACDE 的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE ，下底AC ，高DF 分别用含x 的式子表示，可表示四边形ABCD 的面积．
【详解】
作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，两线交于E 点，作DF ⊥AC 垂足为F 点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a=
5
x，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=1
2
×（DE+AC）×DF
=1
2
×（a+4a）×4a
=10a2
=2
5
x2．
故选C．
【点睛】
本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
10．D
解析：D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵DE∥AB，
∴CD
CA
＝
CE
CB
，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°
∴
'
CD
CA
＝
'
CE
CB
，
∵∠ACB＝∠D′CE′，
∴∠ACD′＝∠BCE′，
∴△ACD′∽△BCE′，
∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝7，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝27，BC＝3AC＝21，
∵DE∥AB，
∴CD
CA
＝
CE
CB
，
∴
7＝
21
，
∴CE＝3，
∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝3
∴E′H＝1
2
CE′＝
3
，CH＝3HE′＝
3
2
，
∴BH＝22
BC CH
-＝
9
21
4
-＝53
∴BE′＝HE′+BH＝33，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三
角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导．
12．B
解析：B
【解析】
试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，
△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，
△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，
△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选B．
二、填空题
13．y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移
解析：y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为
y=2(x+2)2-3
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．15．r3 ＜r2 ＜r1
【解析】
【分析】
利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】
解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径
∴r3 ＜r2 ＜r1
故答案为：r
解析：r3＜r2＜r1
【解析】
【分析】
利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】
解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径
∴r 3 ＜r 2 ＜r 1
故答案为：r 3 ＜r 2 ＜r 1
【点睛】
本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.
16．【解析】
【分析】
在OA 上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时，CP 最小，由相似求出的最小值即可.
【详解】
解：如图，在OA 上取使，
∵，
∴，
在△和△QOC 中，
， 455
【解析】
【分析】
在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.
【详解】
解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，
∵90AOC POQ ∠=∠=︒，
∴'POC QOC ∠=∠，
在△'POC 和△QOC 中，
''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△'POC ≌△QOC （SAS ），
∴'PC QC =
∴当'PC 最小时，QC 最小，
过'C 点作''C P ⊥AB ，
∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，
∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），
∵'4OC OC OB ===， ∴22228445AB OA OB ++=''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠=
=， ''4
45C P =， ∴4''55
C P = ∴线段CQ 455 455
【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
17．【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），
故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．
故答案为：
解析：13x
【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），
故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．
故答案为：-1＜x ＜3．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
18．【解析】
【分析】
根据题意已知抛物线的顶点式，可据此直接写出顶点坐标．
【详解】
解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的顶点坐标公式，将解析式化
解析：()2,2--
【解析】
【分析】
根据题意已知抛物线的顶点式，可据此直接写出顶点坐标．
【详解】
解：由()2
322y x =+-，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()2,2--． 故答案为：()2,2--．
【点睛】
本题考查抛物线的顶点坐标公式，将解析式化为顶点式y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．
19．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．
【详解】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围. ，，方程有两个不相等的实数
解析：3k <
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．
【详解】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围.
1a ，b =-，c k =方程有两个不相等的实数根，
241240b ac k ∴∆=-=->，
3k ∴<.
故答案为：3k <．
【点睛】
本题考查了根的判别式．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20．【解析】
【分析】
过点A 作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
83
+ 【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23
OC BE =，根据
三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
【详解】
解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,
∵OAE BAC AEO ABC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
, ∴ABC AEO ∆∆, ∴tan AC AO B AB AE ∠=
=, ∵13sin 13
B ∠=, ∴2213313cos 11313B ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭
, ∴213
sin 213tan cos 3
313B B n B ∠∠===∠, ∴23
AO AE =， 又∵4AO =,
∴6AE =,
∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴ =EAB OAC ∠∠， 又∵
AC AO AB AE
=， ∴AEB AOC ∆∆, ∴
23
OC AC BE AB ==, ∴23OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+, ∵222264213OE AE AO =+=+=， ∴2134OE OB +=,
∴BE 的最大值为：2134，
∴OC 的最大值为：
()
28433=. 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形.
21．16
【解析】
【分析】
根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4
个小正方形的面积和.
【详解】
解：如
解析：16
【解析】
【分析】
根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】
解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，
∵⊙O 半径为，根据垂径定理得：
∴
=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=
12x ， 则在直角△OAB 中，
OA 2+AB 2=OB 2，
即()(22215=2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
22．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
23．【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、
解析：1 4
【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝1
4
．
故答案为1
4
．
【点睛】
本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．
24．∠ACP=∠B（或）．
【解析】
【分析】
由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】
解析：∠ACP=∠B（或AP AC
AC AB
=）．
【解析】
【分析】
由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解：∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；
当AP AC
AC AB
=时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP=∠B（或AP AC
AC AB
=）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题
25．（1）x1=-1，x2=4；（2）原式=1 2
【解析】
【分析】
（1）按十字相乘的一般步骤，求方程的解即可；（2）把函数值直接代入，求出结果
解：（1）234x x -=
(x+1)(x-4)=0
∴x 1=-1，x 2=4；
（2）原式2(
)2=12
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
26．m
【解析】
【分析】
设BC 的长度为x ，根据题意得出△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA ，进而利用相似三角形的性质列出关于x 的方程.
【详解】
解：设BC 的长度为x m
由题意可知CE ∥AB ∥DF
∵CE ∥AB
∴△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA ∴GC CE GB AB =，即11x +＝2AB HD HB ＝FD AB ，即()3316x +- ＝2AB
∴11x +＝()
3316x +- ∴x ＝4
∴AB ＝10
答：路灯AB 的高度为10 m.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△GCE ∽△GBA ，△HDF ∽△HBA 是解题关键．
27．（1）见解析；（2） ①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b ；③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b
【解析】
【分析】
（1）方法一：当y=0时，（x-m ）（x-m-4）=0，解得x 1=m ，x 2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ，令y ＝0，可得b 2－4ac ≥0，即可证明；
（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a 与b
【详解】
（1）方法一：
令y ＝0，(x －m )(x ＋m ＋4)=0，解得x 1＝m ；x 2＝－m －4．
当m ＝－m －4，即m ＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x 轴有一个公共点；
当m ≠－m －4，即m ≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x 轴有两个公共点．
综上不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．
方法二：
化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ．
令y ＝0，b 2－4ac ＝4m 2＋16m ＋16＝4(m ＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．
（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x ＝－2
①当n ＝－3时，a ＝b ；
②当－3＜n ＜－1时，a ＞b
③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，并且注意分情况讨论.
28．（1）b=4(b>0) ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直线解析式求OC 和OD 长，依据面积公式代入即可得；
（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.
【详解】
（1）∵D(0,b),C(-b k
,0) ∴由题意得OD=b,OC= -
b k ∴S=2
2b k
- ∴k•(2
2b k
-)+8=0 ∴b=4(b>0) （2）∵
2144x kx =+ ∴21404
x kx --= ∴1216x x ⋅=-
∴()222121************
y y x x x x ⋅=⋅=⋅= ∴点（y 1,y 2)在反比例函数y=
16x 的图像上. 【点睛】
本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键. 29．(1)8.5米；(2)18.0米
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得出DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，在Rt △DEH 中，可求出HE 的长度，进而可计算古树BH 的高度；
（2）作HJ ⊥CG 于G ，设HJ=GJ=BC=x ，在Rt △EFG 中，利用特殊角的三角函数值求出x 的值，进而求出GF ，最后利用 CG=CF+FG 即可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意：四边形ABED 是矩形，可得DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，
在Rt △DEH 中，
∵∠EDH=45°，
∴HE=DE=7米．
∴BH=EH+BE=8.5米．
答：古树BH 的高度为8.5米．
（2）作HJ ⊥CG 于G ．则△HJG 是等腰直角三角形，四边形BCJH 是矩形，设HJ=GJ=BC=x ．
在Rt △EFG 中，tan60°=
73GF x EF x +== ∴7(31)2
x =， ∴3x ≈16.45
∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈17.95≈18.0米．
答：教学楼CG 的高度为18.0米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，能够数形结合，构造出直角三角形是解题的关键． 30．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD 垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC 分成面积相等的两部分．
试题解析：（1）如图1，直径CD为所求；
（2）如图2，弦AD为所求．
考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．
31．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，点P坐标为
1133313
22
⎛+
⎝⎭
或
53715337
-+-
⎝⎭
；（3）点N的坐标为（﹣4，1）
【解析】
【分析】
（1）分别令y＝0 ,x＝0,可表示出A、B、C的坐标，从而表示△ABC的面积，求出a的值继而即可得二次函数解析式；
（2）如图①，当点P在x轴上方抛物线上时，平移BC所在的直线过点O交x轴上方抛物线于点P，则有BC∥OP，此时∠POB＝∠CBO，联立抛物线得解析式和OP所在直线的解析
式解方程组即可求解；当点P在x轴下方时，取BC的中点D，易知D点坐标为（1
2
，
3
2
-），连接OD并延长交x轴下方的抛物线于点P，由直角三角形斜边中线定理可知，OD＝BD，∠DOB＝∠CBO即∠POB＝∠CBO，联立抛物线的解析式和OP所在直线的解析式解方程组即可求解．
（3）如图②，通过点M到x轴的距离可表示△ABM的面积，由S△ABM＝S△BNM，可证明点A、点N到直线BM的距离相等,即AN∥BM，通过角的转化得到AM＝BN，设点N的坐标，表示出BN的距离可求出点N．
【详解】
（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，
解得x1＝1，x2＝a，
当x＝0，y＝a
∴点C 坐标为（0，a ），
∵C （0，a ）在x 轴下方
∴a ＜0
∵点A 位于点B 的左侧，
∴点A 坐标为（a ，0），点B 坐标为（1，0），
∴AB ＝1﹣a ，OC ＝﹣a ，
∵△ABC 的面积为6， ∴()()1162
a a --=， ∴a 1＝﹣3，a 2＝4（因为a ＜0，故舍去），
∴a ＝﹣3，
∴y ＝x 2+2x ﹣3；
（2）设直线BC ：y ＝kx ﹣3，则0＝k ﹣3，
∴k ＝3；
①当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y ＝3x ，
则2323y x y x x =⎧⎨=+-⎩
，
∴111232x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，221232
x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，
∴点P
坐标为1322⎛+ ⎝⎭
； ②当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y ＝﹣3x ，
则2323y x y x x =-⎧⎨=+-⎩
∴1152152y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，2252152
y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，
∴点P
坐标为⎝⎭
， 综上可得，点P
坐标为⎝⎭
或⎝
⎭；
（3）如图，过点A 作AE ⊥BM 于点E ，过点N 作NF ⊥BM 于点F ，设AM 与BN 交于点G ，延长MN 与x 轴交于点H ；
∵AB ＝4，点M 到x 轴的距离为d ，
∴S △AMB ＝
114222
AB d d d ⨯⨯⨯== ∵S △MNB ＝2d ，
∴S △AMB ＝S △MNB ， ∴1122
BM AE BM NF ⨯=⨯， ∴AE ＝NF ，
∵AE ⊥BM ，NF ⊥BM ，
∴四边形AEFN 是矩形，
∴AN ∥BM ，
∵∠MAN ＝∠ANB ，
∴GN ＝GA ，
∵AN ∥BM ， ∴∠MAN ＝∠AMB ，∠ANB ＝∠NBM ，
∴∠AMB ＝∠NBM ，
∴GB ＝GM ，
∴GN +GB ＝GA +GM 即BN ＝MA ，
在△AMB 和△NBM 中AMB NB AM NB MB BM M =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩
=
∴△AMB ≌△NBM （SAS ），
∴∠ABM ＝∠NMB ，
∵OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，
又∵AN ∥BM ，
∴∠ABM ＝∠OAC ＝45°，
∴∠NMB ＝45°，。