最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）
A ．xy 的最大值为3+
B ．xy 的最大值为6
C ．2x y +的最小值为3+
D ．2x y +的最小值为7 2．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11t x y
+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值
B ．当8t =时，当且仅当253
x y ==时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2
D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为6
3．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙一样
D ．无法确定
4．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（ ）
A ．|tan tan |αβ⋅
B ．|tan tan |αβ+
C ．|tan tan |αβ-
D ．tan tan αβ
5．已知函数()24x x a f x x
++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[)5,+∞
B ．()5,-+∞
C ．()5,5-
D ．[]5,5- 6．对于任意实数x ，不等式2
10ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．[)0,4 C ．(][),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞ 7．若集合{}
2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( )
A ．{}|04a a <<
B ．{|04}a a ≤<
C ．{|04}a a <≤
D ．{|04}a a ≤≤ 8．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，
（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b a a b
+>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．已知正实数,x y 满足3x y +=，则
41x y +的最小值（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．103
10．已知1x >，则41x x +
-的最小值为 A ．3 B ．4
C ．5
D ．6 11．已知3x >，13y x x =+
-，则y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π
=且1ABC S =△，则
2a c ac a c
+-+的最小值（ ） A ．12 B ．2 C ．14 D ．4
二、填空题
13．已知实数0a >，0b >是2a 与2b 的等比中项，则13a b
+的最小值是______. 14．已知函数121()22
x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____．
15．已知0x >，0y >，满足2126x y x y
+++=，存在实数m ，对于任意x ，y ，使得2m x y ≤+恒成立，则m 的最大值为____________.
16．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.
17．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______. 18．已知正实数x ，y 满足x +y =1，则1412
x y +++的最小值为________ ． 19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．
参考答案
20．如图：已知树顶A 离地面
212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32
米的C 处看此树，则该人离此树_________米时，看A 、B 的视角最大．
三、解答题
21．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求
（1）xy 的最小值；
（2）x y +的最小值．
22．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠，
（1）若不等式()0f x >的解集(1,3)-．求a ，b 的值；
（2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b
+的最小值．
23．已知函数()
()221.y mx m x m m R =-++∈ （1）当2m =时，解关于x 的不等式0y ≤；
（2）当0m >时，解关于x 的不等式0y >.
24．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足(1)(1)f x f x +=-且不等式()2f x x ≤的解集为[1,3].
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）方程()2f x x k =+在(0,3]上有解，求实数k 的取值范围.
25．解关于x 的不等式-2≤2x +x -2≤4
26．设矩形()ABCD AD AB >的周长为20，把ADC 沿AC 向ABC 折叠AD 折过去后交BC 于点P .设AD x =，求ABP △的最大面积及相应x 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11
x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值.
【详解】
0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，
10x y xy +=->
1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥
或1t ≤1≥，(213xy ≥=+，所以xy 的最小值是
3+AB 不正确；
10,0,1011x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=
>⇒>- ()11222222121111
x x x y x x x x x x +-++=+=+=-+++---
()2213371x x =-++≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.
2．C
解析：C 【分析】
当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，
181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；
()1
221212122x y x y t t t x y x t y tx y ⎛⎫+=++=+++≥++=++ ⎪⎝⎭
分别令129t ++=和1225t ++=即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：当2t =时，121x y
+=， (
)122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12122x y y x x
y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值， 故选项A 不正确；
对于选项B ：当8t =时，181x y
+=， (
)188222171725x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当18128x y y x
x
y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值， 故选项B 不正确；
对于选项C ：(
)12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭
12t =++
129t ++=
即
0=
= 即2t =，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确； 对于选项D ：(
)12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭
12t =++
1225t ++=
即
0=
=， 即8t =，当且仅当12128x y y x
x
y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确； 故选：C
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．B
解析：B
【分析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222
p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为
12y y p p +， 平均价格为12121222p p y
y
y p p p p =++. 因为()()()()
221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，121212
22p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
4．C
解析：C
【分析】
化简曲线为221(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案；
【详解】
设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-， 对A ，1111|tan tan ||
|111y y x x αβ⋅=⋅=+-； 对B ，C ，tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，
1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+
≥， 对D ，1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴2tan tan 1tan ααβ
=<， ∴|tan tan |αβ-最大，
故选：C.
【点睛】
通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.
5．B
解析：B
【分析】
根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()2max 4a x x >--求解出a 的范围.
【详解】
因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以(
)2max 4a x x
>--，[)1,x ∈+∞， 又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()()2max 4145x x
--=--=-，所以5a >-，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系. 6．B
解析：B
【分析】
讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解.
【详解】
关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，
当0a =时，10>恒成立，满足题意 当0a ≠时，即函数()21f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，
所以00a >⎧⎨∆<⎩
，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<， 所以实数a 的取值范围是[0,4).
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
7．D
解析：D
【分析】
本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围．
【详解】
设()2
1f x ax ax =-+ 当0a =时，()10f x =>，满足题意
当0a ≠时，()f x 时二次函数
因为{}2|10A x ax ax =-+<=∅
所以()21f x ax ax =-+恒大于0，即0≤
所以240a a -≤，解得04a ≤≤．
【点睛】
本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论． 8．A
解析：A
【解析】
分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可.
详解：
(1) 22a 32b ab +-=22
322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()
()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立； (3)()22
522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b a a
b
+
,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A. 点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 9．B
【详解】
()41141144133y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1533⎛≥+= ⎝， 当且仅当4y x x y =，即21x y ==，，时41x y
+的最小值为3. 故选B.
点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
10．C
解析：C
【分析】
由1x >，得10x ->，则441111x x x x +
=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】
由题意，因为1x >，则10x ->，
所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当4
11x x -=
-时，即3x =时取等号， 所以41
x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11．D
解析：D
【分析】
由3x >，得到30x ->，化简113333
y x x x x =+
=-++--，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
因为3x >，所以30x ->，
则11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=
-，即4x =时取等号， 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.
12．A
解析：A
【分析】
由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令
24a c y a c +=
-+，+a c t =，24t y t
=-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π
=且1ABC S =△，得
1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭
，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以
224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t
=-（4t ≥）， 而24t y t =
-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c +-+的最小值为12
. 故选：A.
【点睛】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公
解析：4+【分析】
2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简
13133()()4b a a b a b a b a b +=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，实数0a >，0b >
2a 与2b
的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，
所以
13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 当且仅当3b a a b =
时，即a b == 所以
13
a b
+
的最小值是4+.
故答案为：4+ 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
14．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用
解析：k <-1或k >1.
【分析】
利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简
()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案
【详解】
对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122
x x f x ---+-=+1122222
x
x
x x +-+=+()1
2122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'
0f
x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数，
()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数
化简得(
)(
)2
22
322f t t f t k
+-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得
222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()2
2g t t t =--，则有
()2max g t k <，
而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <- 答案：1k >或1k <-
【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题
15．2【分析】首先根据题意得到从而得到即再根据恒成立即可得到的最大值【详解】因为所以所以即解得因为恒成立所以即所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式同时考查了不等式的恒成立问题属于中档题
解析：2 【分析】
首先根据题意得到()2
28
x y xy +≤
，从而得到()8
622x y y x
≤++
+，即224x y ≤+≤，
再根据2m x y ≤+恒成立，即可得到m 的最大值.
【详解】
因为0x >，0y >，
所以()()22
221122248
x y x y xy x y ++=⋅≤⨯
=， 所以()()
()2
21228
62222228
y x y x x y x y x y x y x y xy y x x y ++=+++=++≥++=++++. 即()8
622x y y x
≥++
+， ()
()2
26280x y x y +-++≤，解得224x y ≤+≤.
因为2m x y ≤+恒成立，所以()min 2m x y ≤+，即2m ≤. 所以m 的最大值为2. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.
16．【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3解不等式即得解【详解】∵ab 是正数∴ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)所以所以所以或所以ab≥9故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的 解析：[)9,+∞
【分析】
由题得ab ＝a ＋b ＋3≥
3
，解不等式30ab -≥即得解. 【详解】 ∵a ，b 是正数，
∴ab ＝a ＋b ＋
＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，
所以30ab -≥，
所以0≥，
3≥
1≤-， 所以ab ≥9. 故答案为：[9,)+∞ 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．【分析】根据平行四边形性质可得再结合基本不等式即可求出的最小值【详解】由平行四边形性质可得：由基本不等式可得：当且仅当时等号成立所以即所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的
【分析】
根据平行四边形性质可得()2
2
22
2a b a b a b ++-=+，再结合基本不等式即可求出b
的最小值. 【详解】
由平行四边形性质可得：(
)
2
2
22
2a b a b a b
++-=+，
由基本不等式可得：()2
22
2
a b a b a b a b
++-++-≥
，当且仅当a b a b +=-时等
号成立， 所以
(
)
()2
22
22
a b a
b a b
++-+
≥
，即(
)
2
2
4212
b
+≥， 所以3b ≥，所以b 的最小值为. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.
18．【分析】由可得且则利用基本不等式可求出的最小值【详解】由可得且则（当且仅当即时取=）故的最小值为故答案为：【点睛】利本题考查基本不等式求最值注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②
解析：9
4
【分析】
由1x y +=，可得(1)(2)4x y +++=且10,20x y +>+>，则
()()()112411411412412214142y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪+ +⎪⎣⎦++++++⎝+⎭⎝+⎭
+，利用
基本不等式可求出1412
x y +++的最小值. 【详解】
由1x y +=，可得()()124x y +++=且10,20x y +>+>， 则
()()114114124122x y x y y x ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝+⎭
++ ()
119
14541244412x y y x =+⎛⎛⎫ +++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝+，（当且仅当()24121x y x y =++++即12
,33
x y ==时取“=”）. 故
1412x y +++的最小值为9
4
. 故答案为：9
4
. 【点睛】
利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题.
19．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16
【分析】
先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值. 【详解】 因为ABC
ABD
BDC
S S
S
=+,
所以
11111sin1201sin 601sin 601222ac a
c a c
=⨯⨯+⨯⨯∴+= 因此1
199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当
911,1c a a c a c =+=即4
4,3
a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16 故答案为：16 【点睛】
本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地
面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知：当且仅当时等号成立即
解析：6 【分析】
过点C 作CD AB ⊥，设CD x =，根据已知中树顶A 距地面
21
2
米，树上另一点B 距地面112米，人眼C 离地面3
2
米．我们易求出tan ACB ∠，即tan()ACD BCD ∠-∠的表达式，进而根据基本不等式，求出tan ACB ∠的范围及tan ACB ∠取最大值时x 的值，进而得到答
案． 【详解】 如图，
过点C 作CD AB ⊥，则213922AD =-=，113
422
BD =-=， 设CD x =，由图可知：
94
tan tan 555tan tan()9436
1tan ?tan 2612
1?ACD BCD x x ACB ACD BCD ACD BCD x x x x
-
∠-∠∠=∠-∠==
==+∠∠⨯++，
当且仅当6x =时，等号成立．
即6x =时，tan ACB ∠有最大值，此时ACB ∠最大. 故答案为： 6 【点睛】
本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．
三、解答题 21．无 22．无 23．无
24．无25．无26．无。