南充高中考试数学试题及答案

南充高中2015年面向省内外自主招生考试
数学试题
(考试时间：120分钟试卷总分：150分）
第Ⅰ卷(选择.填空题）
一、选择题（每小题5分，共计50分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置)
1、二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方,则的值可为
A。

1 B。

—1 C. 2 D. -2
2、设是不相等的任意正数,又，则这两个数一定
A．都不大于2 B.都不小于2
C。

至少有一个不小于2 D.至少有一个小于2
3、已知,则直线一定过
A。

第一、二象限 B。

第二、三象限
C.第三、四象限 D。

第一、四象限
4、如图，点A的坐标是（2，0）,△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数的
图象经过点B，则的值是
A。

1 B。

2 C。

D。

5、如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正
方形ACDE,BCFG，DE，FG,，的中点分别是M，N，P，Q。

若MP+NQ=14,AC+BC=18,则AB 的长是
A. B。

C. 13 D. 16
6、在同一平面直角坐标系内直线、双曲线、抛物线共有多少个交点
A．5个 B.6个C。

7个D。

8个
7、已知,则
A． B． C． D．
8、如图,为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、。

已知,,且.则四边形的面积为
A．10 B．15 C． D．
9、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇,已知每秒钟甲比乙多行0。

1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是（)米
A。

176 B。

376 C。

576 D. 776
10.已知一个梯形的四条边长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积为
A. 4 B。

6 C. D。

二、填空题(每小题5分，共计30分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）
11、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，朝上的点数中,一个点数能被另一个点数整除的概率为
12、设是方程的两根，则的值为
13、已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动,设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
14、已知在中,边的长为12,且这边上的高的长为3,则的周长的最小值为
15、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是
16。

某校举办数学竞赛，A,B，C，D，E五位同学分获前5名。

发奖前,老师请他们猜一猜各人名次排列情况。

A说：“B第三名,C第五名" ；B说：“E第四名，D第五名”； C说:“A第一名,E第四名”;D说：“C第一名,B第二名”； E说：“A第三名，D第四名”.结果，每个名次都有人猜对。

请将五位同学名次按第一到第五依次排列为：
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分,解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤)
17、（1）（本小题5分)解方程
（2）（本小题5分）当时化简
18、（本小题12分)已知抛物线与动直线有公共点，且
（1）求实数的取值范围
（2）当为何值时,取到最小值，并求出的最小值
19、(本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配
个乒乓球。

已知两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球
拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都是1 元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售,而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑
购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
(1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球,那么去哪家超市买更合算？
（2）当时，请设计最省钱的购买方案
20、(本小题12分）如图1已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心，R为半径的圆与射线AY切于点B,交射线OX于点C．连结BC,作CD⊥BC,交AY于点D．（1）求证:△ABC∽△ACD；
（2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
①如图2，当点D与点P重合时,求R的值；
②当点D与点P不重合时，试求PD的长（用R
表示）．
，
21、（本小题12分)如图,已知:正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O 为圆心,OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD于点F．设．（1)求关于的函数关系式,并写出的取值范围;
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长;如果不变化,请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的的取值范围．
22、（本小题12分）如图，已知抛物线经过点C（－2,6)，
与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧），与y轴交于点D．
(1)求点A的坐标；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：是等腰直角三角形；
(3）连接AD交BC于点F，试问当时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、填空题答案：(每小题5分，共计30分)
11．_______________ 12．__ （即4024036)___
13．_________2或3。

5_______ 14．___________________
15．_________6____________ 16．____ CBAED ______________
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤）
17、（1）（本小题5分)解方程
（2）（本小题5分）当时化简
解：(1）原方程整理得,设
则原方程化为即，解得,，又
，故,解得或
故原方程的解为
(2）
又当时，当时
18、（本小题12分）已知抛物线与动直线有公共点,且
（2）求实数的取值范围
(2）当为何值时，取到最小值，并求出的最小值
解：（1)联立与,消去得二次方程①有实根，则,所以②，把②代入方程①得③，的取值应满足④,且使方程③有实根，即⑤,解不等式④得或，解不等式⑤得,所以的取值范围为⑥
(2)由②式知，由于，在是递增的，所以当时，
19、（本小题12分)某乒乓球训练馆准备购买副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓
球
已知两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，
每个乒乓球的标价都是1 元,现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90％付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
(1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去哪家超市买更合算?
（2）当时，请设计最省钱的购买方案
解:（1）由题意，去A超市购买副球拍和个乒乓球的费用为元，去B超市购买副球拍和个乒乓球的费用为元，
由，解得；
由，解得；
由，解得，
当时,去A超市购买更合算；当时,去A,B两家超市购买都一样;当时，去时,去B超市购买更合算
（2)当时，购买副球拍应配个乒乓球
若只在A超市购买,则费用为元
若只在B超市购买,则费用为元
若在B超市购买副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球，则费用为
显然所以最省钱的购买方案是在B超市购买副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球20、（本小题12分)如图1已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心，R为半径的圆与射线AY切于点B,交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
（1)求证:△ABC ∽△ACD ;
(2)若P 是AY 上一点，AP =4，且sinA =，
① 如图2,当点D 与点P 重合时，求R 的值；
② 当点D 与点P 不重合时，试求PD 的长（用R
表示)．
（1）证明:∵⊙O 切AY 于点B ，
∴OB ⊥AB ．
∴∠OBC=90°-∠CBD ． ∵CD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°—∠CBD ．
∴∠ADC=∠OBC ．
又在⊙O 中,OB=OC=R ，
∴∠OBC=∠ACB ．
∴∠ACB=∠ADC ．
又∠A=∠A,
∴△ABC ∽△ACD ．--—-——--—-—--4分
（2）解:①由已知,sinA=，又OB=OC=R ，OB ⊥AB,
∴在Rt △AOB 中,sinA=
∴，
∴，—-—-—-——-———--———-—--6分
∵△ABC ∽△ACD
∴
∴
∴--—-—-----——----—-——-——————8分
②当点D 与点P 不重合时，有以下两种可能：
（i ）若点D 在线段AP 上
PD=AP-AD=4—
（ii ）若点D 在射线PY 上
PD=AD —AP=-4
又当点D 与点P 重合，即时,PD=0，
故在题设条件下,总有PD=--——-—---——--—-—-———-—-—-—-12分
21、(本小题12分)如图，已知:正方形ABCD 中,AB=8，点O 为边AB 上一动点，以点O 为圆心，OB 为半径的⊙O 交边AD 于点E(不与点A 、D 重合）,EF ⊥OE 交边CD 于点F ．设BO=x ，AE=y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
图2 图1
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长;
（3）以点A为圆心,OA为半径作圆，在点O运动的过程中,讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．
解：（1)∵以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E，
∴OB=OE，∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°，∴AO2+AE2=OE2，即(8—x）2+y2=x2，
∵y＞0, ∴—————- 3分
（2）△EFD的周长不变．——————4分
理由如下：
∵EF⊥OE，∴∠AEO+∠DEF=90°，
∵∠D=∠A=90°，∴∠AEO+∠AOE=90°—-————5分，
∴∠DEF=∠AOE，
∴△AOE∽△DEF，——————6分
,,。

..。

7分
（3)设⊙O的半径R1=x，则⊙A的半径R2=8—x，圆心距d=OA=8—x，
∵4＜x＜8, ∴R1＞R2，
因为点A始终在⊙O内,所以外离和外切都不可能；
①_x0001_当⊙O与⊙A相交时,R1-R2＜d＜R1+R2，即x—8+x＜8—x＜x+8-x，-————
-8分
解得：-—————9分
故可得此时：
②当⊙O与⊙A内切时，d=R1—R2，即8-x=x—8+x，
解得：————10分
③当⊙O与⊙A内含时，0＜d＜R1-R2，即0＜8-x＜x-8+x，解得：—- 12分
22、（本小题12分）如图，已知抛物线经过点C（－2，6），
与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧），与y轴交于点D．
(1）求点A的坐标；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：是等腰直角三角形;
（3)连接AD交BC于点F，试问当时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解:（1）∵抛物线经过点C(－2，6)
∴
∴
∴
∴当，
,
.。

.。

3分
(2）证明:设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：，解得:。

∴直线BC的解析式为y=－2x+2．———-——5分
∴点E的坐标为（0，2)。

∴。

∴AE=CE。

———--—7分
又∵
∴---——- 6分
∴△AEC为等腰直角三角形-——---7分
（3）在抛物线上存在点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似。

——-———8分理由如下:
设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则，解得:。

∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:，解得：。

∴点F的坐标为（）.
则。

又∵AB=5，，
∴.∴.
又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA.
∴当点P与点C重合时，以A、B、P为顶点的三角形与相似。

—-———-10分
又∵抛物线关于直线对称
当点P与点C的对称点重合时，以A、B、P为顶点的三角形也与相似。

∴当点P的坐标为（—2,6)或（—时，以A、B、P为顶点的三角形也与相似. ——————12分。