最新2019高中数学 课时分层作业25 两角和与差的正弦、余弦公式 新人教A版必修4

课时分层作业(二十五) 两角和与差的正弦、余弦公式
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )
A ．－sin x
B ．sin x
C ．－cos x
D ．cos x
B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12sin x ＋32cos x ＋12sin x －3
2cos x ＝sin x ．]
2．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17π4的值是( ) A ． 2 B ．－ 2 C ．0
D ．
2
2
A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－17π4
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4 ＝2cos ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝2cos(－4π)＝ 2.]
3．已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π
2
，那么β＝( )
【导学号：84352312】
A.π
12 B.π6 C.π4
D.π3
C [∵0＜β＜α＜π
2，
∴0＜α－β＜π
2，
由cos α＝35得sin α＝4
5
，
由cos(α－β)＝7210得sin(α－β)＝2
10，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝45×7210－35×2
10 ＝
25250＝2
2
， ∴β＝π4
.]
4．如图3­1­1，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED 等于( )
图3­1­1
A.310
10 B.1010 C.510
D.515
B [由题意知sin ∠BE
C ＝15
， cos ∠BEC ＝
25
， 又∠CED ＝π
4
－∠BEC ，
所以sin ∠CED ＝sin π4cos ∠BEC －cos π4sin ∠BEC ＝22×25－22×15＝10
10.]
5．函数f (x )＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )
【导学号：84352313】
A ．[－2,2]
B ．[]－3，3
C ．[－1,1]
D ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
32，32 B [f (x )＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6
＝sin x －
32cos x ＋1
2
sin x ＝32sin x －3
2
cos x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，
所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B.] 二、填空题
6．若cos α＝－13，sin β＝－33，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin(α＋β)的值为________．
539 [∵cos α＝－13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，
∴sin α＝1－cos 2
α＝223.
∵sin β＝－
33，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π， ∴cos β＝1－sin 2
β＝
6
3
， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝
223×63＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝53
9
.] 7．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于________.
【导学号：84352314】
30° [已知两式两边分别平方相加，得 25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝37， 即25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝12，
∴C ＝30°或150°.
当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，
此时3sin A ＋4cos B ＜3sin 30°＋4cos 0°＝11
2与已知矛盾，∴C ＝30°.]
8．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.
－
255 [f (x )＝5⎝ ⎛⎭
⎪⎫
55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝
55
. 由已知得sin(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝0，
∴cos θ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cos φ－sin(θ－φ)sin φ＝－sin φ
＝－255
.]
三、解答题
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4的值.
【导学号：84352315】
[解] ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝4
5，
∴sin β＝－4
5，又β是第三象限角，
∴cos β＝－1－sin 2
β＝－35，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝sin βcos π4＋cos βsin π
4
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22
＝－7210.
10．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β＝35
，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)
的值．
[解] ∵0＜α＜π4＜β＜3π
4，
∴
3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π
4
－β＜0. 又sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4＋α＝513
，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35
， ∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4＋α＝－1213，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2
＋α＋β
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－β
＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365
. [冲A 挑战练]
1．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形
D ．直角三角形
D [∵A ＋B ＋C ＝180°，∴cos(B ＋C )＝cos(180°－A )＝－cos A ，sin(A ＋C )＝sin(180°－B )＝sin B ，
由sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C ) 得sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ， ∴sin(A ＋B )＝1，即sin C ＝1， ∴C ＝π
2
，即△ABC 是直角三角形．]
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) 【导学号：84352316】
A ．－4
5
B ．－35
C ．45
D ．35
C [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝12sin α＋32cos α＋sin α ＝3⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin α＋12cos α＝3cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3
＝－43
5
，
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝45.] 3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________.
3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5
＝sin αcos π5＋sin π5cos αsin αcos π5－sin π5cos α＝tan α＋tan
π
5
tan α－tan
π
5
＝2tan π5＋tan
π
5
2tan π5－tan
π5
＝3.]
4．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2
＝________.
83
[(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2
＝2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝2＋2cos(α－β)＝2＋23＝8
3
.]
5．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)若ω和φ的值．
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值.
【导学号：84352317】
[解] (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π
2
，k ＝0，±1，±2，….
由－π2≤φ＜π
2，得k ＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π6
.
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π
2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6
＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154.
因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α
＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋15
8.。