一元二次不等式恒成立问题

微专题不等式
一元二次不等式恒成立问题
一、备考基础——查清
一、 解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：
一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；
二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.
二、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围彼此联系，可彼此转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.
二、热点命题——悟通
考点1 形如f(x)≥0(x∈R)
例一、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是________________．
[解析由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14.
例二、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4] B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)
C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)
D ．[－2，5]
[解析] [思路点拨] 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x 轴没有交点；
方式一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a≤4，故选A .
方式二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒
成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A .
考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])
例3、设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是
( )
A ．a ＞0
B ．a ＞12
C ．a ＞14
D ．a ＞0或a ＜－12 [解析] [思路点拨]由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。

设f(x)＝x 2＋ax －3a.
因为对任意实数x∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩
⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12
，故选B . [总结反思]
(1)一元二次不等式在指定范围内恒成立(或不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包括着指定的区间．
(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两头，则问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.
考点3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])
例4、已知a∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．
[思路点拨] 可把x 看成a 的系数，把原不等式化为关于a 的不等式，则原问题转化为一次函数在区间[－1，1]恒成立问题．
解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，
设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．
由f(a)>0对于任意的a∈ [－1，1]恒成立，得
⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
[总结反思] 此类问题的求解有两种方式：
(1)直接求解，应用分类讨论思想；
(2)应用函数思想，以参数为主元，“反客为主”，构造关于参数的函数．
考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题
例五、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．
解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，
由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a
，解得a ＝－1，c ＝－2. 例六、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．
思路 本题若直接求解，需分类讨论，进程较复杂．可考虑按照不等式对应的函数f(x)、方程f(x)＝0和不等式f(x)≥0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，＋∞)上的关系.
解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．
在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1
a －1>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，解得a ＝0或a ＝32.
又a>1，所以a ＝32
. 三、迁移应用——练透
1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．
[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.
2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的概念域为R ，则实数a 的取值范围是________
[解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，
解得－23<a <2 3.
3．设a 为常数，∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋ax ＋1＞0，则a 的取值范围是( )
A ．(0，4)
B ．[0，4)
C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，4)
[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0. 当a ＝0时，f(x)＝1>0对∀x ∈R 成立；当a ≠0时，要使∀x ∈R ，f (x )＞0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，
解得0<a <4. 综上，a 的取值范围是[0，4)，故选B.
4．已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C ．(－1，0)
D ．(0，1)
[解析] (1)∵f (x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．
又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f (－2)f(－1)<0，
即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a<－56
. 又a∈Z ，∴a ＝－1，∴不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，
解得－1<x <0，故选C.
5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－235 [解析]由Δ＝a 2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235
， 故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－235，＋∞，故选A.
6．若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，2)
B ．(－2，0)
C ．(－2，1)
D ．(0，1)
[解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，
由关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f (1)＜0，
即12＋(m －1)＋m 2－2＜0，
化简得m 2＋m －2＜0，解得－2＜m ＜1，
即实数m 的取值范围是(－2，1).
7． 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22， ∴f (x )<c ，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－a 2－c <x <－a 2＋c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－
c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，
得2c ＝6，∴c ＝9.
8．若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．
[解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，
∴由不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，得 |a －2|＜1，解得1＜a ＜3，
∴实数a 的取值范围是(1，3)．
9．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
解：方式一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为直线x ＝a . ①当a ∈(－∞ ，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，
且f (－1)＝2a ＋3，所以要使f (x )≥a ，x ∈[－1，＋∞)恒成立， 只需2a ＋3≥a 即可，故－3≤a ＜－1.
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，
所以只需2－a 2≥a 即可，故－1≤a ≤1.
综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．
方式二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，
由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a 2
－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0，
解得－3≤a ≤1.故所求a 的取值范围是[－3，1]．。