命题与充要条件

一 知识要点
1 命题的概念
（1）真假命题的判断方法：判断真命题需证明，判断假命题，只要举一个满足命题条件而不满足命题结论的例子（反例）即可；
（2）等价关系：若βα⇒且αβ⇒，则称α与β等价，记为βα⇔；
（3）四种命题形式及其相互关系：
（4）词语的否定形式：“是”与“不是”；“都是”与“不都是”；“一定是”与“一定不是”；“且”与“或”；“正数”与“非正数”；“>”与“≤”；“至少一个”与“一个也没有”；“至多一个”与“至少两个”；
（5）等价命题———同真同假的两个命题：一个命题的原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题，当判断或证明某一个命题有困难时，可间接证明与该命题等价的逆否命题是否成立；
2 充分条件和必要条件
（1）如果βα⇒，那么①α是β的充分条件；②β是α的必要条件；③β的充分条件是α；④α的必要条件是β；
（2）既有βα⇒，又有αβ⇒，即βα⇔，那么①α是β的充要条件；②β是α的充要条件；③α的充要条件是β；④β的充要条件是α；
（3）对于事件βα,，“条件”又可具体分为以下四种情形：①α是β的充分非必要条件；②α是β的必要非充分条件；③α是β的充要条件；④α是β的既不充分也不必要条件；
3 子集和推出关系
设{}{}
q b b B p a a A 具有性质具有性质|,|== （1）若B A ≤，则q p 是的充分条件；
（2）若B A ≥，则q p 是的必要条件；
（3）若A B ，则q p 是的充分非必要条件；
（4）若B A ，则q p 是的必要非充分条件；
（5）若B A =，则q p 是的充要条件；
二 例题讲解
（1）命题的概念及改写问题
例1 写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假；
（2）充要条件的判断问题
例2 在空格内填上“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”：
（1）“0>x ”是“1>x ”的 条件；
（2）“0652≠++x x ”是“2-≠x ”的 条件；
（3）“y x >”是“y x >”的 条件；
（4）“0≠a ”是“方程b ax =有唯一解”的 条件；
（5）对于集合B A ,，“B A x ∈”是“B A x ∈”的 条件；
（6）对于集合C B A ,,，“B A =”是“C B C A =”的 条件；
（3）命题，充要条件的有关讨论问题
例3 在{}{}
08)8(|,53|2≤--+=>-<=a x a x x P x x x M 或的前提下： （1）求a 的一个值，使它成为{}85|≤<=x x P M 的一个充分非必要条件；
（2）求a 的一个取值范围，使它成为{}85|≤<=x x P M 的一个必要非充分条件；
例4 已知0>a ，设命题P ：函数x a y =在R 上是减函数；命题Q ：不等式1
2>-+a x x 的解集为R ，如果命题
P 和Q 有且只有一个命题为真命题，
求a 的取值范围；
（4） 创新学习
例
5 小明同学解以下问题：设集合{}R x x x y y A ∈++==,12|2，
{}R x x x y y B ∈-==,2|2，求B A ；
其解法如下：由方程组⎩⎨⎧-=++=x x y x x y 21222得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=16941y x ， 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=)169,41(B A ； 请判断上述解法是否正确，并说明理由；
例6 设N M ,是两个非空集合，定义集合M 与N 的差集为{}N x M x x N M ∉∈=-,|；
（1）若{}{}105|,,0|≤≤-=∈≥=x x B R x x x A ，求A B -；
（2）若B A ,是两个非空集合，求)(B A A --；
（
3）若{}R
x x y y A ∈==,|2，{}33|≤≤-=x x B ，再定义
)()(M N N M N M --=∆ ，求B A ∆；
例7 设{})2,(,,21≥∈⊆⋅⋅⋅=*n N n M a a a A n ，若n n a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++2121，则称A 为
集合M 的n 元“好集”，
（1）写出实数集R 的一个二元“好集”；
（2）证明：正整数集*N 上不存在二元“好集”；
（3）求出正整数集*N 的所有三元“好集”；
（5） 集合中的探索问题
例8 （1）写出集合{}a 的所有子集；
（2）写出集合{}b a ,的所有子集；
（3）写出集合{}c b a ,,的所有子集；
（4）根据（1）（2）（3），试探索含n 个元素的集合的子集个数，并利用所学知识加以解释；
例9 设b a ,是两个实数，集合{}Z x b ax y y x A ∈+==,|),( ，{}Z x x y y x B ∈+==,153|),(2，
{}
144|),(22≤+=y x y x C ，是否存在实数a 和b ，使得∅≠B A 与C b a ∈),(同时成立，若存在，求出b a , 的值；若不存在，请说明理由；
总结反思：
练习（一）
1 设R m b a ∈,,，则“mb ma =”是“b a =”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2 若0>a 且1≠a ，条件甲：“函数x a y =在R 上是增函数”，条件乙：“函数x y a log =在),0(+∞上是增函数”，则
条件甲是条件乙的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
3 已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么以下命题：①M 的元素都不是P 的元素；②M 中
有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中元素不都是P 的元素；其中真命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4 命题“如果集合A 不是集合B 的子集，那么集合A 中至少有一个元素不属于集合B ”的否命题是 ；
5 一个命题的否命题是“若022=+y x ，则y x ,全为0；”则其原命题的逆命题是： ；
6 命题“如果,0)2(2=+-y x 那么2=x 且0=y ”的等价命题是： ；
7 对于R b a ∈,，以下四个式子：①甲：0)3)(1(=+-a a ，乙：3-=a ；②甲：5>a ，乙：4>a ；③甲：
ac b =2，乙，c
b b a =；④甲：b a ,不都为偶数，乙：b a +不为偶数；其中甲是乙的必要不充分条件的是 （写
出所有正确的序号）；
8 为使实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两根是不相等的正根，下列条件中，充分非必要条件有 ；必要非
充分条件有 ；充要条件有 ；（请填上符合条件的序号）
①042>-ac b ；②0<a b ；③0>a c ；④042<-ac b ；⑤042>-ac b ，0>a c ；⑥0<a
b ，
0>a
c ；
⑦042
>-ac b ，0<a b ，0>a
c ；⑧042>-ac b ，0,0,0><>c b a ；⑨0,0,<>+=ab ac c a b ；
9 试判断命题：“如果两个数不都是整数，那么它们的和不是整数”的真假，并加以证明；
10 已知{}4|<-=a x x P ，{}
034|2<+-=x x x Q ，且P x ∈是Q x ∈的必要条件，
求实数a 的取值范围；
11 已知三个一元二次方程：0322,0,0344222=-++=-+=+-+a x x a x x a x x 至少有一个方程有实根，
求实数a 的取值范围；
12 已知集合⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
==221|),(x y y x A ，{}
0,9)(|),(22>=-+=a a y x y x B ，如果∅≠B A ，那么50≤<a ，
（1）证明上述命题是真命题；
（2）写出它的逆命题，并证明它的真假；
练习（二）
1 若一个数集中任何一个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出两个“可倒”的数集
；
2 若集合{}112|>-<<-=x x x A 或，{}b x a x B ≤≤=|，且{}2|->=x x B A ，{}31|≤<=x x B A ，则实
数b a ,的值分别为 ；
3 已知集合{}032|2<--=x x x A ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤=-1)21(|a x x B ，若∅=B A ，则实数a 的取值范围是 ；
4 对任意两个集合X 和Y ，Y X -是指所有属于X ，但不属于Y 的元素组成的集合，X 和Y 的对称差
Y X ∆)()(X Y Y X --= ，设集合{}
R x x y y A ∈==,|2，{}55|≤≤-=y y B ，则=∆B A ；
5 设{}4,3,2,1=U ，A 与B 是U 的子集，若{}3,1=B A ，
则称),(B A 为一个“理想配集”，规定),(B A 与),(A B
是两个不同的“理想配集”，那么符合 此条件的“理想配集”的个数是（ ）
A.4
B.8
C.9
D.16
6 已知0>a ，集合{}0|,13|2=++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=q px x x B x a x A ，且]4,0[,==B A R B A ，
求实数q p a ,,的值；
7 设集合{}R x x x A ∈=-=,01|2，{}
R x b ax x x B ∈=+-=,02|2，
若A B ⊆，且∅≠B ， 求b a ,的值；
8 对于所含元素为实数的集合A ，若A a ∈，则A a
a ∈-+11，请解答下列问题： （1）已知A ∈2，求集合A ，使其所含元素最少；
（2）试找出一个数b ，使A b ∈，并求出一个集合A ；
（3）根据已知条件和（1），（2）小题的结果，你能得出什么结论？请至少写出两个，不必证明；。