完整版人教最新人教版七年级数学下册期中试卷(含答案)

完整版人教最新人教版七年级数学下册期中试卷(含答案) 一、选择题 1．49的平方根是（）
A ．7
B ．﹣7
C ．7±
D ．49± 2．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面如图的四个图中，能由如图经过平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A ．()5,4
B ．()3,4-
C ．()2,3-
D ．()4,5-- 4．下列命题中属假命题的是（ ）
A ．两直线平行，内错角相等
B ．a ，b ，c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c
C ．a ，b ，c 是直线，若a //b ，b //c ，则a //c
D ．无限不循环小数是无理数，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示
5．如图，直线//EF MN ，点A ，B 分别是EF ，MN 上的动点，点G 在MN 上，ACB m ∠=︒，AGB ∠和CBN ∠的角平分线交于点D ，若52D ∠=︒，则m 的值为（ ）．
A ．70
B ．74
C ．76
D ．80 6．下列说法正确的是（ ） A ．0的立方根是0 B ．0.25的算术平方根是－0.5
C ．－1000的立方根是10
D ．49的算术平方根是23
7．如图所示，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a ，b 上，已知∠2=35°，则∠1的度数为（ ）
A ．45°
B ．125°
C ．55°
D ．35°
8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )，我们把P 1(y ﹣1，﹣x ﹣1)叫做点P 的友好点，已知点A 1的友好点为A 2，点A 2的友好点为A 3，点A 3的友好点为A 4，这样依次得到各点．若A 2021的坐标为(﹣3，2)，设A 1(x ，y )，则x +y 的值是( )
A ．﹣5
B ．3
C ．﹣1
D ．5
二、填空题
9．425⨯=______．
10．已知点P 的坐标是(),1m -，且点P 关于x 轴对称的点Q 的坐标是()3,n -，则m =_____n =_____．
11．如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的角平分线相交于O 点． 如果∠A=α，那么∠BOC 的度数为____________.
12．已知//AB CD ，ABE α∠=，FCD β∠=，CFE γ∠=，且BE EF ⊥，请直接写出α、β、γ的数量关系________．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后ED 与BC 的交点为G ，D 、C 分别在M 、N 的位置上，若56EFG ∠=︒，则1∠=____________，2∠=____________．
14．按下面的程序计算：
若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n 值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n 值可以是________．
15．已知点A 在x 轴上方，y 轴左侧，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是______________．
16．在平面直角坐标系中，已知点()2,4A -，()3,4B ，()3,C m ，且4m <，下列结论：①//AB x 轴，②将点A 先向右平移5个单位，再向下平移m 个单位可得到点C ；③若点
D 在直线BC 上，则D 点的横坐标为3；④三角形ABC 的面积为()542m -，其中正确的结论是___________（填序号）．
三、解答题
17．（1）－＋； （2）245x -=,求x .
18．求下列各式中的x 的值：
（1）2810x -=；
（2）()3
164x -=．
19．如图，BD 平分∠ABC ，F 在AB 上，G 在AC 上，FC 与BD 相交于点H ，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD ＝∠4（ ）．
∴∠3＋∠FHD ＝180°（等量代换）．
∴FG ∥BD （ ）．
∴∠1＝ （两直线平行，同位角相等）．
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝ （角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
20．如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）分别写出点A 、B 、C 的坐标；
（2）将ABC 向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到A 1B 1C 1，其中点A 的对应点是A 1，点B 的对应点是B 1，点C 的对应点是C 1，请画出A 1B 1C 1，并分别写出点A 1、B 1、C 1的坐标；
（3）求ABC 的面积．
21．阅读下面的文字，解答问题． 22的小数部分我们不可能全部212 21，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：（113a ，小数部分为b ，求213a b +
（2）已知：103x y =+，其中x 是整数，且01y <<，求x y -的值．
22．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a ，b 的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
23．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．
（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝2
3
∠BAP，∠DCK＝2
3
∠DCP时，写出
∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数解答即可．
【详解】
497
=，7的平方根是7
497
±．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，解题关键是先求出49的算术平方根．
2．C
【分析】
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】
解：观察各选项图形只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可知，A．是旋转180°后图形，故选项A不合题意；
B．是
解析：C
【分析】
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】
解：观察各选项图形只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可知，
A．是旋转180°后图形，故选项A不合题意；
B．是轴对称图形，故选项B不合题意；
C．选项的图案可以通过平移得到．故选项C符合题意；
D．是轴对称图形，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的平移，掌握平移的定义及性质是解题的关键．
3．C
【分析】
根据各象限内点的坐标特征判断即可．
【详解】
由图可知，小手盖住的点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴(2，－3)符合．其余都不符合
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．
4．B
【分析】
根据平行线的性质对A、C进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据无理数的定义和数轴上的点与实数一一对应对D进行判断．
【详解】
解：A、两直线平行，内错角相等，所以A选项为真命题；
B、a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项为假命题；
C、a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥b，所以C选项为真命题；
D、无限不循环小数是无理数，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行线的性质和无理数及数轴表示实数，难度一般，认真理解判断即可．
【分析】
先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．
【详解】
解：过C作CH∥MN，
∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，
∵∠ACB＝∠6＋∠7，
∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，
∵∠D＝52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴m°＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m°＋52°，
∴m°＋52°=128°，
∴m°＝76°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是对知识的掌握和灵活运用．
6．A
【分析】
根据算术平方根以及立方根的概念逐一进行凑数即可得．
【详解】
A．0的立方根是0，正确，符合题意；
B．0.25的算术平方根是0.5，故B选项错误，不符合题意；
C．－1000的立方根是-10，故C选项错误，不符合题意；
D．4
9
的算术平方根是
2
3
，故D选项错误，不符合题意，
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键．
【分析】
根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠2=35°，
∴∠3=180°-90°-35°=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出
∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．
8．C
【分析】
列出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；根据以上结论和A2021的坐标为(﹣3，2)，找出A1的坐标，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出结论．
【
解析：C
【分析】
列出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；根据以上结论和A2021的坐标为(﹣3，2)，找出A1的坐标，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出结论．
【详解】
解：∵A2021的坐标为(﹣3，2)，
根据题意可知：
A2020的坐标为(﹣3，﹣2)，
A2019的坐标为(1，﹣2)，
A2018的坐标为(1，2)，
A2017的坐标为(﹣3，2)，
…
∴A4n+1(﹣3，2)，A4n+2(1，2)，A4n+3(1，﹣2)，A4n+4(﹣3，﹣2)(n为自然数)．
∵2021＝505×4•••1，
∵A 2021的坐标为(﹣3，2)，
∴A 1(﹣3，2)，
∴x +y ＝﹣3+2＝﹣1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
二、填空题
9．10
【分析】
先计算乘法，然后计算算术平方根，即可得到答案．
【详解】
解：；
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法． 解析：10
【分析】
先计算乘法，然后计算算术平方根，即可得到答案．
【详解】
10=；
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．
10．-3 1
【分析】
平面内关于x 轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】
∵已知点的坐标是，且点关于轴对称的点的坐标是，
∴m ＝−3；n ＝1，
故答案为−3；1
解析：-3 1
【分析】
平面内关于x 轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】
∵已知点P 的坐标是(),1m -，且点P 关于x 轴对称的点Q 的坐标是()3,n -，
∴m ＝−3；n ＝1，
故答案为−3；1．
【点睛】
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．90°+
【解析】
∵∠ABC 、∠ACB 的角平分线相交于点O ，
∴∠OBC=∠ABC ，∠OCB=∠ACB ，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A ，
解析：90°+12
α 【解析】
∵∠ABC 、∠ACB 的角平分线相交于点O ，
∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12
∠ACB ， ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12
∠A ， ∵在△OBC 中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB ，
∴∠BOC=180°-（90°-12∠A ）=90°+12∠A=90°+12
α. 12．（上式变式都正确）
【分析】
过点E 作，过点F 作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图
解析：90γαβ+=︒+（上式变式都正确）
【分析】
过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，可得出//////AB EM FN CD （根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，
∵//AB CD ，
∴//////AB EM FN CD ，
∵//AB EM ，
∴ABE BEM ∠=∠，
∵//EM FN ，
∴MEF EFN ∠=∠，
∵//NF CD ，
∴NFC FCD ∠=∠，
∴ABE EFN NFC BEM MEF FCD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，
∴ABE EFC BEF FCD ∠+∠=∠+∠，
∵ABE α∠=，FCD β∠=，CFE γ∠=，且BE EF ⊥，
∴90αγβ+=︒+，
故答案为：90αγβ+=︒+．
【点睛】
题目主要考察平行线的性质及等式的性质，作出相应的辅助线、找出相应的角的关系是解题关键．
13．68°； 112°．
【分析】
首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED 的度数，然后根据平角的定义求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【详解】
解：∵延折叠得到，
解析：68°； 112°．
【分析】
首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED 的度数，然后根据平角的定义求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【详解】
解：∵EDCF 延EF 折叠得到EMNF ，
∴DEF MEF ∠=∠，
∵//AD BC ，56EFG ∠=︒，
∴56DEF EFG ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等），
∴56MEF DEF ∠=∠=︒，
∴1180180565668DEF MEF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
又∵//AD BC ，
∴12180∠+∠=︒，
∴2180118068112∠=︒-∠=︒-︒=︒．
综上168∠=︒，2112∠=︒．
故答案为：68°；112°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 14．131或26或5.
【解析】
试题解析：由题意得，5n+1=656，
解得n=131，
5n+1=131，
解得n=26，
5n+1=26，
解得n=5.
解析：131或26或5.
【解析】
试题解析：由题意得，5n+1=656，
解得n=131，
5n+1=131，
解得n=26，
5n+1=26，
解得n=5.
15．(－4，3) ．
【分析】
到x 轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y 轴的距离表示点的横坐标的绝对值．
【详解】
解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数．
所以点A 的坐
解析：(－4，3) ．
【分析】
到x 轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y 轴的距离表示点的横坐标的绝对值．
【详解】
解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数．所以点A的坐标为(－4，3)
故答案为：(－4，3) ．
【点睛】
本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
16．①③④
【分析】
①两点纵坐标相同，得到 AB //x轴，即可判断；
②根据平移规律求得平移后的点的坐标，即可判断；
③根据两点的坐标特征可知直线BCx轴，即可判断；
④求得三角形的面积，即可判断．
解析：①③④
【分析】
①两点纵坐标相同，得到AB //x轴，即可判断；
②根据平移规律求得平移后的点的坐标，即可判断；
③根据两点的坐标特征可知直线BC⊥x轴，即可判断；
④求得三角形的面积，即可判断．
【详解】
解：A（-2，4)，B（3，4)，它们的纵坐标相同，
∴AB //x轴，
故①正确；
将点A先向右平移 5 个单位，再向下平移m个单位可得到点（3，4-m)，
故②错误；
B（3，4)，C（3，m)，它们的横坐标相同，
∴BC⊥x轴，
点D 在直线BC上，
∴点 D的横坐标为 3，
故③正确；
点A（-2，4)，B（3， 4)，C（3，m)，且m<4，
∴AB =5，C点到AB的距离为（4-m），
∴三角形 ABC的面积为
() 54
2
m
-
，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，坐标和图形变化，平移以及点的坐标特征，明确线段的位置和大小是解题的关键．
三、解答题
17．（1） － （2）±3
【详解】
试题分析：(1)先化简根式，再加减；（2）称项后，直接开平方即可； 试题解析：
（1）原式＝ ；
（2）x2-4=5
x2=9
x=3或x=-3
解析：（1） －13
（2）±3 【详解】
试题分析：(1)先化简根式，再加减；（2）称项后，直接开平方即可；
试题解析：
（1）原式＝112233
--=- ； （2）x 2-4=5
x 2=9
x=3或x=-3
18．（1）或；（2）
【分析】
（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x 的值；
（2）方程利用立方根定义开立方即可求出x 的值．
【详解】
解：（1）
，
或．
（2）
，
．
【点睛】
此题考查了
解析：（1）9x =或9x =-；（2）5x =
【分析】
（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x 的值；
（2）方程利用立方根定义开立方即可求出x 的值．
【详解】
解：（1）2810
x-=
2
x=81，
x=或9
9
x=-．
x-=
（2）()3164
x-=，
14
x=．
5
【点睛】
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2．
【分析】
求出∠3+∠FHD=180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1=∠ABD，
解析：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2．
【分析】
求出∠3+∠FHD=180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出
∠1=∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠2即可．
【详解】
解：∵∠3+∠4=180°（已知），∠FHD=∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD=180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠2（角平分线的定义），
∴∠1=∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
20．（1）A(﹣3，4)，B(﹣5，2)，C(﹣2，0)；（2）见解析，A1(3，0)，B1(1，﹣2)，C1(4，﹣4)；（3）5
【分析】
（1）根据点的坐标的表示方法求解；
（2）根据点平移的坐标
解析：（1）A(﹣3，4)，B(﹣5，2)，C(﹣2，0)；（2）见解析，A1(3，0)，B1(1，﹣2)，
C1(4，﹣4)；（3）5
【分析】
（1）根据点的坐标的表示方法求解；
（2）根据点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【详解】
解：（1）由题意得：A(﹣3，4)，B(﹣5，2)，C(﹣2，0)；
（2）如图，△A1B1C1为所作，
∵A1是经过点A（-3，４）右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的，∴A1（-3+6，4-4）即（3，0）
同理得到B1(1，﹣2)，C1(4，﹣4)；
（3）△ABC的面积＝3×4﹣1
2×2×3﹣1
2
×4×1﹣1
2
×2×2＝5．
【点睛】
本题主要考查了平移作图，坐标与图形，根据平移方式确定点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（1）6；（2）12−
【分析】
（1）先求出的取值范围即可求出a和b的值，然后代入求值即可；
（2）先求出的取值范围，即可求出10+的整数部分和小数部分，从而求出x和y，从而求出结论．
【详解】
解析：（1）6；（2）3
【分析】
（113a和b的值，然后代入求值即可；
（233x和y，从而求出结论．
【详解】
解：（1）∵ 3134，
∴
∴
2
a b
+
=23
=6
（2）∵．
又∵x+y，其中x是整数，且0<y<1，
∴x=11, y1．
∴x−y
【点睛】
此题考查的是求无理数的整数部分、小数部分和实数的运算，掌握求无理数的取值范围是解决此题的关键．
22．（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析
【分析】
（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程
解析：（1）长为，宽为2）正确，理由见解析
【分析】
（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积．
【详解】
解：（1）设长为3x，宽为2x，
则：3x•2x=30，
∴x
∴3x=，2x=
答：这个长方形纸片的长为
（2）正确．理由如下：
根据题意得：
()
()
250 4230
a b a
b a b
⎧⎡⎤
++=
⎪⎣⎦
⎨
+-=
⎪⎩
，
解得：
10
5
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴大正方形的面积为102=100．
【点睛】
本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
23．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由
见解析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠
解析：（1）80°；（2）∠AKC＝1
2∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝2
3
∠APC，理由见解
析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线
的定义，得出∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，进而得
到∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣
∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝2
3
∠APC．
【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝1
2
∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，
∴∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）∠AKC＝2
3
∠APC
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAK＝2
3∠BAP，∠DCK＝2
3
∠DCP，
∴∠BAK﹣∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
（∠BAP﹣∠DCP）＝
2
3
∠APC，
∴∠AKC＝2
3
∠APC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．。