由一道高三质量检测题引发的探究——谈谈二项分布与超几何分布

(二) 学生的错解
(I) 同上.
(II) 随机变量 X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4. P (X =
0) =
C600 C440 C1400
=
54834 , P (X 2352735
= 1) =
C610 C430 C1400
=
71136 , 470547
P (X
=
2) =
C620 C420 C1400
P (X
=
k)
=
C4k
(
3 5
)k
( 1
−
3 )4−k ,
5
k
=
0, 1, 2, 3, 4,
5 从而
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中学数学研究
2019 年第 8 期 (下)
X 的分布列为
X0
1
2
3
4
16 96 216 216 81 P
625 625 625 625 625
所以
X
的数学期望为
E (X )
=
4
×
3 5
=
12 . 5
合计 100
(I) 求 a, d 的值, 根据以上数据, 能否有 97.5% 的把握认 为是否同意父母生“二孩”与性别有关? 请说明理由;
(II) 将上述调查所得的频率视为概率, 现在从所有学生 中, 采取随机抽样的方法抽取 4 位学生进行长期跟踪调查, 记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为 X, 求 X 的 分布列及数学期望.
一、问题的提出
题目 某调查机构对某校学生做了一个是否同意父母 生“二孩”的抽样调查, 该调查机构从该校随机抽查了 100 名 不同性别的学生, 调查统计他们是否同意父母生“二孩”, 现 已得知 100 人中同意父母生“二孩”的占 60%, 统计情况如下 表:
男生 女生 合计
同意 a 40
不同意 50 d
× 40 × 25 × 75 = 0.025, 所以有
97.5
%
9 的把握认为是否
同意父母生“二孩”与性别有关.
(II) 由题意知, 持“同意”态度的学生占 3 , 即从学生
5
中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率是 3 . 由
(5 )
于总体容量很大, 故 X 服从二项分布, 即 X ∼ B 4, 3 ,
2019 年第 8 期 (下)
中学数学研究
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由一道高三质量检测题引发的探究
— 谈谈二项分布与超几何分布
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八中学 (830002) 李昌成
摘要 通过一道高三质检题错误解法的展示与剖析, 以 问题为导向, 以教材和高考题为背景, 理清二项分布和超几 何分布的区别与联系, 通过几个典型例题和练习来提高学生 辨别二项分布和超几何分布的能力, 并对全国卷理科概率统 计解答题的命题趋势进行研判.
与此同时, 没得分的学生也很忧郁, 甚至怀疑老师阅卷 不认真. 答案明明是对的, 为什么不给分呢? 几个胆大的学 生到办公室找我论过理, 听起来还是蛮有道理的, 思维是“缜 密”的, 运算是仔细的, 最终结果也是“正确”的. 在和一个一 个学生交流过程中, 我发现学生最大的困难是不知道如何判 断一个随机变量的分布列是二项分布还是超几何分布? 为了 给困惑的学生们一个完整、及时、正确、全面的答复, 我重温 了教科书, 查阅了近十年高考题, 翻阅了数学专业杂志等资 料, 希望能帮助学生明白数据背后的真相——二项分布和超 几何分布的联系和区别以及如何辨认两个分布列. 现整理如 下, 以飨读者.
P
( K
2
) k0
k0
0.15 2.072
0.100 2.706
0.050 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
附: K2 =
n(ad − bc)2
, 其中 n = a +
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
b + c + d.
分析 本题以近年来有关人口方面的热门话题为背景, 考查概率统计部分的独立性检验和二项分布, 同时考查学生 的数学建模、数据分析、数学运算等核心素养. 这个背景学生 并不陌生, 甚至是亲历者. 题目出得不偏不倚, 学生上手容易, 数据也不复杂, 得分率应该在 0.85 以上.
二、题目的解答
(一) 参考答案
(I) 因 为 100 人 中 同 意 父 母 生“二 孩”的 占 60%,
所 以 a = 60 − 40 = 20, d = 40 − 5 = 35. 易
得 k = 100 × (20 × 35 − 40 × 5)2 = 50 > 5.024. 而
P
( K
2
>
60) 5.024
关键词 二项分布; 超几何分布; 区别; 联系; 应对策略 普通高中课程标准实验教科书 A 版数学选修 2-3 的第 2.1 节介绍了超几何分布, 第 2.2 节介绍了二项分布. 这两个 内容分节学习时, 学生掌握得还行, 但是混合出题就有少数 学生难以分辨. 近期乌鲁木齐地区按照《普通高中课程标 准》和 2019 年版《考试大纲》的要求, 进行了规范的高三年 级质量检测考试, 概率统计方面的解答题就是关于二项分布 方向的. 在学校网络数据平台上我们发现了严峻的问题.
71136
55224
54752
97527 12
470547 + 2 × 156849 + 3 × 156849 + 4 × 784245 = 5 .
这个解答仅从数值方面看没问题, 但是没得分. 下面对
疑问进行剖析.
三、问题的解决
细究学生的解答过程发现, 虽然答案相同, 但是模型的 判断截然不同, 命题专家设置是二项分布, 学生误判为超几 何分布了. 下面谈谈二项分布与超几何分布的关系, 将问题
=
55224 , P (X 156849
= 4)
=
C640 C400 C1400
=
97527 , 所以随机变量 X 的分布列为
784245
X
0
1
2
3
4
54834 71136 55224 54752 97527 P
2352735 470547 156849 156849 784245
故随机变量 X 的期望为 E(X) = 0 × 54834 + 1 × 2352735
《普通高中课程标准》和 2019 版《考试大纲》对二项分 布要求达到“理解”水平. 我们在教学中也予以了高度重视. 拿到考题, 我还有一种窃喜——押中考题了! 但是阅卷结束 后, 在学校网络数据平台上一浏览才发现, 第二问居然得分 率低于 0.5, 仅仅 0.46, 我有些失望, 比期望值低了不少. 知道 这个结果后, 我就在思考学生的问题在哪里呢?