北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年上学期九年级开学考数学试题

北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年九年级上学期开学摸底考试数学试题（附答案详细解析）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺判断该线段是（）
A．a B．b C．c D．d
2．（2分）函数的自变量x的取值范围是（）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x＜2
3．（2分）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．根据统计，从2012年底到2019年底，我国共减少贫困人口约93500000人，在这七年间，我国平均每年减少贫困人口约有（）
A．9.35×108人B．9.35×107人C．1.34×106人D．1.34×107人4．（2分）正五边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
5．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）
A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3 6．（2分）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法中不正确的是（）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
D．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
7．（2分）暑假期间，小宇和小华相约到奥林匹克森林公园参加健步走活动，小华在小宇前方1800米处，二人同时出发，沿相同方向步行．走了40分钟时，小华先到达终点等候小宇，10分钟后，小宇也到达终点．在整个行走过程中，小宇和小华均保持各自的速度匀速行走，二人相距的路程y（米）与小宇出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法中，不正确的是（）
A．小宇的速度是100米/分
B．出发时，小宇距离终点5000米
C．当小宇走了25分钟时，两人的距离为1200米
D．当小宇走了3000米时，小华恰好离终点800米
8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四点，以下推断：①若y1＝y4，则y2＝y3；②若y2＞y3＞y1，则y4＜y1；
③当b＝﹣2a时，若y2y3＜0，则y1y4＞0．
所有正确推断的序号是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）方程x2＝3x的解为：．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，AC＝3，BC＝4，则DC ＝．
11．（2分）已知一次函数y＝x﹣2的图象经过点A（1，m），B（a，n），若m＞n，请写出一个符合题意的a的值．
12．（2分）计算（a﹣）÷的结果是．
13．（2分）如图，A，B，C，O四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠AOB﹣∠BOC ＝°．
14．（2分）若一元二次方程x2+ax+4＝0有两个相等的实数根，则a的值为．15．（2分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2．点E是AD的中点，点F是对角线BD上的动点，则AF+EF的最小值为．
16．（2分）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息：
平均数中位数众数最小值m672已知小宇投中了4个，下列判断：
①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；
④m的值可能为5．
所有正确推断的序号是．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）计算：20210﹣|1﹣|+（﹣）﹣1﹣．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
20．（5分）已知：线段AB．
求作：线段AB的中点M．
作法：①在线段AB上方取一点P，连接P A，PB；
②以A为圆心，PB为半径画弧，再以B为圆心，P A为半径画弧，两弧交于线段AB下
方的点Q；
③连接PQ，与AB交于点M．则点M即为所求的中点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵AP＝BQ，AQ＝BP，
∴四边形APBQ是平行四边形．（）（填推理的依据）
∵对角线AB，PQ交于点M，
∴点M为线段AB的中点．（）（填推理的依据）
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个根大于1，求m的取值范围．
22．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．
23．（5分）已知一次函数y＝kx+3的图象与x轴交于A（3，0），与y轴交于点B．（1）求一次函数的解析式和点B的坐标；
（2）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，结合函数的图象，直接写出不等式x2+bx+c＞kx+3的解集．
24．（6分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．实心球成绩的频数分布如表所示：
分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621
b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，
7.3
c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）①表中m的值为；
②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；
（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄
录如表所示：
A B C D E F G H
女生代
码
实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5 *4247*4752*49一分钟
仰卧起
坐
其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），点B（0，b），C （0，b+2）（其中b＞0）均为y轴上的动点，分别过点B 作AB的垂线，过点C作y轴的垂线，两条垂线交于点
D．
（1）求证：CD＝OB，并由此直接写出点D的坐标（用b的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．连接AD，若△ADB内部（不含边界）恰有1个整点，直接写出b的取值范围．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①该抛物线的对称轴为直线；
②求点A，B的坐标；
（2）过点C（0，t）作y轴的垂线l，与抛物线交于P（x1，t），Q（x2，t），与直线y＝x ﹣3交于点N（x3，t），若存在t，使得x1＜x2＜x3且x1+x2+x3＝9，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，过点A作AD的垂线l，在直线l与线段AB上分别取点E，F，使得AE＝AF＝AD，且点B，E，F在直线AD同侧，连接DE，DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示∠EDF与∠CAD的数量关系，并证明；
（3）过点F作FG⊥DE于点G，用等式表示线段BC，DE，FG的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点P，Q，过点P分别作x轴和y轴的垂线l1，l2，记点Q到直线l1的距离为d1，点Q到直线l2的距离为d2，若d1≥d2，则点Q 到点P的“特征距离”为d1，若d1＜d2，则点Q到点P的“特征距离”为d2．
（1）已知点A（1，2）
①点B（﹣2，3）到点A的“特征距离”为；
②点C在函数y＝x2的图象上，若点C到点A的“特征距离”为1，则点C的坐标为；
（2）已知点P（3，4），点E（a，0），F（0，b）为平面内的动点，其中a，b均为非负数，且满足EF＝2．以EF为边作正方形EFGH（E、F、G、H按顺时针方向排列），记
线段GH上一动点Q到点P的“特征距离”为t，直接写出t的最大值和最小值，以及相应的H点的坐标．
北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年九年级上学期
开学摸底考试数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺判断该线段是（）
A．a B．b C．c D．d
【分析】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论．
【解答】解：利用直尺画出图形如下：
可以看出线段c与m平行．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
2．（2分）函数的自变量x的取值范围是（）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x＜2
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0
解得：x≠2；
故选：B．
【点评】当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
3．（2分）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．根据统计，从2012年底到2019年底，我国共减少贫困人口约93500000人，在这七年间，我国平均每年减少贫困人口约有（）
A．9.35×108人B．9.35×107人C．1.34×106人D．1.34×107人【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：93500000÷7≈1.34×107．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（2分）正五边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．
5．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）
A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（2分）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法中不正确的是（）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
D．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCF＝CD•h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
D．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
7．（2分）暑假期间，小宇和小华相约到奥林匹克森林公园参加健步走活动，小华在小宇前方1800米处，二人同时出发，沿相同方向步行．走了40分钟时，小华先到达终点等候小宇，10分钟后，小宇也到达终点．在整个行走过程中，小宇和小华均保持各自的速度匀速行走，二人相距的路程y（米）与小宇出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法中，不正确的是（）
A．小宇的速度是100米/分
B．出发时，小宇距离终点5000米
C．当小宇走了25分钟时，两人的距离为1200米
D．当小宇走了3000米时，小华恰好离终点800米
【分析】根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可；
【解答】解：由题意可知，小宇的速度是：（米/分），故A说法正确，不符合题意；
出发时，小宇距离终点：100×50＝5000（米），故B说法正确，不符合题意；
设小华的速度为：（5000﹣1800）÷40＝80（米/分），
故当小宇走了25分钟时，两人的距离为：1800﹣25×（100﹣80）＝1300（米），故C原说法错误，符合题意；
当小宇走了3000米时，所用时间为：3000÷100＝30（分），
此时小华离终点：（5000﹣1800）﹣80×30＝800（米），故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四点，以下推断：①若y1＝y4，则y2＝y3；②若y2＞y3＞y1，则y4＜y1；
③当b＝﹣2a时，若y2y3＜0，则y1y4＞0．
所有正确推断的序号是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】利用对称轴的公式对称性和图象结合起来看每个选项，根据到对称轴的距离远近和坐标的大小来判断．
【解答】解：①若y1＝y4，对称轴x＝＝＝，则y2＝y3，故①是对的；
②若y2＞y3＞y1，说明a＜0的，开口向下，对称轴x＝﹣，
∴＜x＜，即﹣＜x＜，
则4的对称点范围﹣5＜x＜﹣3，则y4＜y1，故②是对的；
③当b＝﹣2a时，则对称轴x＝﹣＝1，
若y2y3＜0，则y2y3异号，y＝0介于y2，y3之间，
又∵﹣3＜﹣1，4＞2，
∴y1，y4同号，
则y1y4＞0．故③是对的；
故选：D．
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用对称性解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案是：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，AC＝3，BC＝4，则DC ＝ 2.5．
【分析】由勾股定理求出AB的长，即可求得CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝，
∵D是AB中点，
∴CD＝．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
11．（2分）已知一次函数y＝x﹣2的图象经过点A（1，m），B（a，n），若m＞n，请写出一个符合题意的a的值﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，由m＞n可得出a＜1．【解答】解：∵一次函数y＝x﹣2，
∴y随x的增大而增大，
∵一次函数y＝x﹣2的图象经过点A（1，m），B（a，n），m＞n，
∴a＜1，
∴写出一个符合题意的a的值可为﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质得出y随x的增大而增大是解题的关键．
12．（2分）计算（a﹣）÷的结果是a﹣b．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•＝•＝a﹣b，
故答案为：a﹣b
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2分）如图，A，B，C，O四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠AOB﹣∠BOC＝45°．
【分析】根据轴对称图形的性质得到∠DOB＝∠COB，可得∠AOB﹣∠BOC＝∠AOD，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△DAO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，找到C点关于OB的对应点，连结OD，AD，
则∠DOB＝∠COB，
则∠AOB﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD＝∠AOD，
∵AO＝AD＝＝，
OD＝＝，
（）2+（）2＝（）2，
∴△DAO是等腰直角三角形，
∴∠AOD＝45°，即∠AOB﹣∠BOC＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出∠AOB﹣∠BOC＝∠AOD是解题关键．
14．（2分）若一元二次方程x2+ax+4＝0有两个相等的实数根，则a的值为±4．【分析】根据一元二次方程的判别式的意义得到：Δ＝a2﹣4×1×4＝0，
【解答】解：根据题意，得Δ＝a2﹣4×1×4＝0，
解得a＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（2分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2．点E是AD的中点，点F是对角线BD上的动点，则AF+EF的最小值为．
【分析】由菱形的性质可知点A与点C关于直线BD对称，连结CE，交BD于点F，连结AF，则AF+EF的最小值为EC的长，再由已知得到△ACD是等边三角形，求出CE＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C关于直线BD对称，
连结CE，交BD于点F，连结AF，
∵AF＝CF，
∴AF+EF＝CF+EF＝CE，
∴AF+EF的最小值为EC的长，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE⊥AD，
∵AB＝2，
∴AE＝1，AC＝2，
在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2，
∴CE＝，
∴AF+EF的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，利用轴对称求最短距离，根据菱形的性质，确定A、C两点关于直线BD对称是解题的关键．
16．（2分）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息：
平均数中位数众数最小值m672已知小宇投中了4个，下列判断：
①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；
④m的值可能为5．
所有正确推断的序号是①④．
【分析】根据众数，中位数，平均数的定义一一判断即可．
【解答】解：由题意中位数为6，众数为7，
当大于6的数中，有可能有两个是7，一个是9，符合题意，故①正确，
当7个人的成绩为2，4，6，6，7，7，7，也符合题意，故②错误，
当7个人的成绩为2，4，5，6，7，7，10时，7个数的和最大，最大值41，故③错误，当7个人的成绩为2，2，4，6，7，7，7时，平均数为5，故④正确，
故答案为：①④．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）计算：20210﹣|1﹣|+（﹣）﹣1﹣．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）﹣2﹣2
＝1﹣+1﹣2﹣2
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×4+3
＝11．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．
20．（5分）已知：线段AB．
求作：线段AB的中点M．
作法：①在线段AB上方取一点P，连接P A，PB；
②以A为圆心，PB为半径画弧，再以B为圆心，P A为半径画弧，两弧交于线段AB下方的点Q；
③连接PQ，与AB交于点M．则点M即为所求的中点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵AP＝BQ，AQ＝BP，
∴四边形APBQ是平行四边形．（两组对边平行的四边形为平行四边形）（填推理的依据）
∵对角线AB，PQ交于点M，
∴点M为线段AB的中点．（平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到AP＝BQ，AQ＝BP，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形APBQ 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到点M为线段AB的中点．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：
∵AP＝BQ，AQ＝BP，
∴四边形APBQ是平行四边形（两组对边平行的四边形为平行四边形），
∵对角线AB，PQ交于点M，
∴点M为线段AB的中点（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为两组对边平行的四边形为平行四边形；平行四边形的对角线互相平分．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的判定与性质．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个根大于1，求m的取值范围．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程的Δ≥0，则x2﹣3mx+2m2＝0有两个实数根，列出不等式，即可求出m的取值范围．
（2）利用求根公式求得方程的解，然后根据“该方程恰有一个根大于1”列出不等式并解答．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2＝0中的a＝1，b＝﹣3m，c ＝2m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9m2﹣8m2＝m2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知，Δ＝m2≥0，则
x＝．
所以x1＝2m，x2＝m．
因为该方程恰有一个根大于1，
所以，
此时＜m≤1．
【点评】本题主要考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．
【分析】（1）设AB，OE交于F，根据平行四边形的判定定理得到四边形AEBO是平行四边形，求得AF＝BF，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，根据平行四边形的性质得到AE ＝OB，根据勾股定理得到AB＝＝＝2，求得AF＝AB ＝，由矩形的性质得到EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）设AB，OE交于F，
∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∴AF＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，OD＝OB．
∴OF∥BC，
∵OE⊥CD，
∴OE⊥AB．
∴AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE＝OB，
∵OD＝OB
∴BD＝2AE＝2，
∵AD＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AF＝AB＝，
∵∠AFE＝∠F AH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHEF是矩形，
∴EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，
∴DE＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（5分）已知一次函数y＝kx+3的图象与x轴交于A（3，0），与y轴交于点B．（1）求一次函数的解析式和点B的坐标；
（2）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，结合函数的图象，直接写出不等式x2+bx+c＞kx+3的解集．
【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，即可求得直线的解析式，再令x＝0求出y的值即可得出直线与y轴的交点；
（2）将点A和点B代入二次函数，求出二次函数解析式，令二次函数解析式等于一次函数解析式，求出交点，再根据二次函数和一次函数的图象，求出不等式的解集．
【解答】解：（1）将A（3，0）代入y＝kx+3，
得，0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+3．
∵一次函数与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）将点A（3，0），B（0，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，
得，，
解得：，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+3，
当x2﹣4x+3＝﹣x+3时，x＝0或x＝3，
即x＝0或x＝3时，二次函数与一次函数相交，
图象如下，
由图象可得，不等式x2+bx+c＞kx+3的解集为：x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及函数与不等式的关系，数形结合是解决本题的关键．
24．（6分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．实心球成绩的频数分布如表所示：
分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621
b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，
7.3
c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）①表中m的值为9；
②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45；
（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：
女生代
A B C D E F G H
码
实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5 *4247*4752*49
一分钟
仰卧起
坐
其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．
【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；
②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；
（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②根据题意和表格中的数据可以解答本题．
【解答】解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，
故答案为：9；
②由条形统计图可得，
一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，
故答案为：45；
（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，
7.3，7.3，
∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，
∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，
答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；
②同意，
理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．
【点评】本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），点B（0，b），C （0，b+2）（其中b＞0）均为y轴上的动点，分别过点B作AB的垂线，过点C作y轴的垂线，两条垂线交于点
D．
（1）求证：CD＝OB，并由此直接写出点D的坐标（用b的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．连接AD，若△ADB内部（不含边界）恰有1个整点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）由点的坐标求线段长，再通过△AOB≌△BCD证明CD＝OB，进一步求点D的坐标；。