辽宁省锦州市2021届新高考第四次适应性考试数学试题含解析

辽宁省锦州市2021届新高考第四次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ） A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】
解：由题意知，i 2i z =+，
()22212121
i i i i
z i i i ++-+∴=
===--， ∴()2
212i 125z =-=+-=， 故选：D. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
2．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【详解】
由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都
是
1
1212
⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A. 【点睛】
本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
3．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．13i -+ D ．13i --
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可. 【详解】
由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.
4．已知函数()
2
()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区
域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．
1e 2
- C ．1 D ．
2
e e - 【答案】D 【解析】 【分析】
依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()
2
2
12
11a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭
，解之即可. 【详解】
解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝
⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
则()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为2
(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，
因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，
所以()2
21211a e e e e ⎛⎫---=-
⎪⎝⎭
， 解得2
e
a e =
-， 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到22
1(2)(1)1a e e e e
---=-是关键，考查运算能力，
属于中档题．
5．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】
若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
6． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】
当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；
若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，
21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 7．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223
F PF π
∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．
22
12314e e += B ．
22
1241433
e e += C ．
2212
134e e += D ．2
2
1234e e +=
【答案】A 【解析】 【分析】
设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ，解得112
212
PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：
()()()()2
2
212121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅，化简求解. 【详解】
设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，
由椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ， 解得112
2
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，
在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()2
2
2
12121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +
=，
即2
2
12314e e +=. 故选：A
【点睛】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()
f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,3e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．11,e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
D ．()3,e -+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求
得h 的取值范围. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()'11
1x f x x x
-=-+=，
所以()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，
()1ln111f h h =-++=+，1111
ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭
，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，
()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1f e e h =-+.
要使在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()f c 为边长的三角形，
则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，
也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.
9．已知向量(a =r ，b r
是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设(,)b x y =r
，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【详解】
设(,)b x y =r ，
∴(1)a b x y -=-r r
， Q b r
是单位向量，∴221x y +=,
Q a b -=r r
，
∴22(1))3x y -+=，
联立方程解得：1,22
x y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩
当1,22
x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,
x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>=
=⨯r r ；∴,3a b π
<>=r r 综上所述：,3
a b π
<>=r r .
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r
的两种情况.
10
．已知集合{
lgsin A x y x ==，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）
A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．11,2⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
D
．,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出集合(]
0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2
221g t t t =-++由
二次函数的性质即可得值域. 【详解】
由2
sin 0
0390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩
，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈Q ，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上递减，
()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选A 【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题
11．已知函数()(1)x f x x a e =--，若22log ,a
b c ==则（ ）
A ．f(a)<f(b) <f(c)
B ．f(b) <f(c) <f(a)
C ．f(a) <f(c) <f(b)
D ．f(c) <f(b) <f(a)
【答案】C 【解析】 【分析】
利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,x
y y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小
关系，由此比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】
因为()()e x f x x a ¢
=-，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增； 在同一坐标系中作y c =与22,log ,x
y y x y x ===图象，
22log a b c ==Q ，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
12．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．2
D ．﹣2
【答案】D 【解析】 【分析】
化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】
因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D 【点睛】
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，4-，1-，0，2，则该组数据的标准差为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．
【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：C)︒依次为8，4-，1-，0，2， 平均数为：
()1
8410215
--++=， ∴该组数据的方差为：
222222
1(81)(41)(11)(01)(21)165S ⎡⎤=-+--+--+-+-=⎣
⎦， ∴该组数据的标准差为1．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14．若x ，y 均为正数，且x y xy +=，则x y +的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】
由基本不等式可得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,则2
2x y x y +⎛⎫+≤ ⎪
⎝⎭
,即可解得4x y +≥.
【详解】
方法一：2
42x y x y xy x y +⎛⎫+=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当2x y ==时取等. 方法二：因为x y xy +=，所以
11
11x y xy x y
+=⇒+=，
所以11()224x y
x y x y x y y x
⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等. 故答案为:4. 【点睛】
本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.
15．设变量x ，y ，z 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
…
，则目标函数23z x y =+的最小值是______.
【答案】7 【解析】
作出不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域,
得到如图的△ABC 及其内部,其中
A(2,1),B(1,2),C(4,5)
设z=F(x,y)=2x+3y ，将直线l:z=2x+3y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F(2,1)=7
16．若()()()()727
01272111x a a x a x a x -=+++++++L ，则01267a a a a a +++++L =____， 6a = ___.
【答案】128 21 【解析】 【分析】
令0x =，求得01267a a a a a +++++L 的值.利用()7
31x -+⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式，求得6a 的值. 【详解】
令0x =，得70172128a a a +++==L .()731x -+⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式为()7731r
r r C x --+⎡⎤⎣⎦，
当6r =时，为()()66
61731211C x x ⋅+=+，即621a =.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ,且
点1F 、2F 与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．。