河北省唐山一中高二数学3月月考试题 理(2021年整理)

河北省唐山一中2016-2017学年高二数学3月月考试题理
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唐山一中2016—2017学年高二第二学期月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分) 1.已知函数f (x ）=4x x +
，g （x )=2x
+a ，若∀x 1∈[12
，3]，∃x 2∈［2，3］，使得f （x 1）≥g （x 2)，则实数a 的取值范围是( ）
A 。

a ≤1 B.a ≥1 C 。

a ≤0 D.a ≥0 2.有下面三个判断，其中正确的个数是（ ）
①命题:“设a 、b ∈R ，若a +b ≠6，则a ≠3或b ≠3"是一个真命题 ②若“p 或q ”为真命题,则p 、q 均为真命题
③命题“∀a 、b ∈R ，a 2
+b 2
≥2（a -b —1）"的否定是：“∃a 、b ∈R ，a 2
+b 2
≤2（a -b -1）" A.0 B 。

1 C.2 D.3
3.“2
21(43)m x dx ≤-⎰ ”是“函数1()22x
x m
f x +=+
的值不小于4”的（ ）
A 。

充分不必要条件
B 。

必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若复数z =
312a i
i
+- （a ∈R ，i 是虚数单位),且z 是纯虚数,则 |2|a i + 等于( ） A 5 B 。

25 C.2 D.40
5。

某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ） A。

36 B.24 C。

12 D.6 6.6 的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表
面积为（ ）
A.24 B 。

32 C.36 D 。

40 7.四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB=BC=2，AD=3，PA ⊥平面ABCD 且PA=2，则PB 与平面
PCD 所成角的正弦
值为（ ）
A B C 。

8.过椭圆22
221x y a b
+= （a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A,B 两点．若向量
OA OB + 与向量a =(3，—1）共线，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
3 B 。

3 C.
4 D 。

3
9。

已知双曲线22
22:1(0)y x C a b a b
-=>> 的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++ 的图象相切，则双
曲线C 的离心率是( ）
A 。

2
B
C 。

D 。

2
10.观察下列一组数据
a 1=1， a 2=3+5,
a 3=7+9+11, a 4=13+15+17+19， ……
则a 10从左到右第一个数是（ ）
A 。

91
B 。

89 C.55 D.45
11。

已知定义域为R 的奇函数y =f （x )的导函数为()y f x '= ，当x ≠0时，()
()0f x f x x
'+
> ，若a =f （1），2(2)b f =-- ，11
(ln )(ln )22
c f = ,则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）
A 。

a ＜c ＜b
B 。

b ＜c ＜a
C 。

a ＜b ＜c D.c ＜a ＜b 12.已知2()(ln )f x x x a a =-+ ，则下列结论中错误的是（ ） A.∃a ＞0，∀x ＞0,f (x )≥0 B.∃a ＞0，∃x ＞0，f （x )≤0 C 。

∀a ＞0，∀x ＞0，f （x ）≥0
D 。

∀a ＞0,∃x ＞0，f （x )≤0
二、填空题（本大题共4小题，共20分)
13。

已知f 1（x ）=（x 2+2x +1)e x
，f 2（x )=［f 1（x ）］′，f 3（x )=［f 2（x ）］′,…，f n +1（x )=[f n (x ）］′，
n ∈N ＊．设f n (x ）=（a n x 2+b n x +c n ）e x
，则b 2015=_________。

14。

1
1cos )x x dx -⎰ = _________。

15。

若函数1
cos 2
y x =（0≤x ≤π）的图象和直线y =2、直线x =π、y 轴围成一个封闭的平面图
形，则这个封闭图形的面积是_______。

16.函数()()x x f x e x ae =- 恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是_________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17。

（本小题满分10分）
已知m R ∈ ,命题p :对任意[0,1]x ∈ ，不等式2223x m m -≥- 恒成立；命题q ：存在
[1,1]x ∈- ，使得m ax ≤ 成立。

（1）若p 为真命题,求m 的取值范围；
(2)当1a = 时，若p 且q 为假,p 或q 为真，求m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）
已知函数()()3ax f x e a R =∈的图像C 在点()()1,1P f 处切线的斜率为e ,记奇函数()(),,0g x kx b k b R k =+∈≠的图像为l ．
（1)求实数,a b 的值;
（2）当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，求实数k 的取值范围； 19．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的离心率为错误!，短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（1）求椭圆C 的方程；
（2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为错误!,求△AOB 面积的最大值．
20．（本小题满分12分)
长为2的等边三
如图,在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边D 点.
角形，过1A C 作平面1A CD 平行于1BC ，交AB 于(Ⅰ)求证:CD AB ⊥；
（Ⅱ）若四边形11BCC B 是正方形，且15A D =,求二面角1
1D AC B --的余弦值。

21．(本小题满分12分） 已知函数2()ln(1)(0)2
x
f x ax a x =+->+ （1）当1
2
a =
时,求()f x 的极值； （2）若1
(,1)2
a ∈时()f x 存在两个极值点12,x x ,试比较12()()f x f x + 与(0)f 的大小。

22．（本小题满分12分）
已知函数()()2
ln 12x f x mx mx =++-,其中01m <≤．
(Ⅰ)当1m =时,求证：10x -<≤时，()3
3
x f x ≤；
（Ⅱ）试讨论函数()y f x =的零点个数．
唐山一中2016～2017高二月考
理科数学试卷 参考答案
一、选择题：CBACC DBBDA DC
二、填空题:4030 2
π
2π 1(0,)2
三、解答题
17.（1）[1,2] ……………5分(2）(,1)(1,2]-∞⋃ ……………5分
18.解：（ 1）()()331
3,133ax a f x ae f ae e a ''=∴==⇒=，
()g x kx b =+为奇函数，0b ∴=；……………4分
(2)由(1）知()x f x e =，()g x kx =,
因为当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，所以()2,2,x x e kx ∀∈->恒成立，
记()()
()
,2,00,2x
e h x x x
=∈-，则()21x
x h x e x
-'=
，由()()01,2h x x '>⇒∈， ()h x ∴在()2,0-单调减，在(]0,1单调减，在[)1,2单调增, ()()
2,0,21,2,2,0x
x
e k x x
k e e e k x x ⎧<∈⎪⎪⎡⎫∴∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪>∈-⎪⎩
综上，所求实数k 的取值范围是21
[,)2e e
-
；……………12分
19.解 （1）设椭圆的半焦距长为c ，依题意有错误!∴b ＝1。

∴所求椭圆方程为错误!＋y 2
＝1. …………………………………………………………3分 （2）设A （x 1，y 1)， B （x 2,y 2)．
①当AB ⊥x 轴时，｜AB ｜＝错误!。

………………………………………………………5分 ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .
由已知错误!＝错误!，得m 2
＝错误!（k 2
＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，
整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2
－3＝0，
∴x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!. ……………………………………………7分
∴|AB ｜2＝(1＋k 2)(x 2－x 1）2＝(1＋k 2
）错误!＝错误! ＝错误!＝3＋错误!＝3＋错误!（k ≠0)≤3＋错误!＝4。

当且仅当9k 2＝错误!,即k ＝±错误!时等号成立．此时Δ＝12（3k 2＋1－m 2
）〉0。

………10分
∴｜AB ｜≤2,当k ＝0时，|AB ｜＝3，综上所述,|AB |max ＝2。

∴当|AB |最大时，△AOB 面积取得最大值S ＝错误!×｜AB |max ×错误!＝错误!。

……………12分
20．（1）证：连结1AC ，设1AC 与1
A C 相交于点E ，
连接DE ,则E 为1AC 中点，
∵1//BC 平面1A CD ，DE =平面1A CD 平面1ABC ，
∴1//DE BC ，∴D 为AB 的中点，
又∵ABC ∆是等边三角形，∴
CD AB ⊥……………………………………………（5分） （2）因为222115AD A A A D +==，所以1A A AD ⊥，
又1B B BC ⊥，11//B B A A ，所以1A A BC ⊥，又AD BC B =，所以1A A ⊥平面ABC ,
设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ,以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴,1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -。

则111(1,0,0),(0,(,0,),(1,2,0)22
C A
D B -， 即1133
(,0,
),(1,2,3),(2,2,0)2CD CA CB ===，……………………………(8分）
设平面1DA C 的法向量为1111(,,)
n x y z =，
由11100
n CD n CA ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩,得1
1111
3022230x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，令11x =
，得1(1,1,n =， 设平面11A CB 的法向量为2222(,,)n x y z =
，
由212100
n CA n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222222
0220x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得2(1,1,3n =-，…（10分)
∴121212cos ,35||||5n n n n n n ⋅<>=
==，
故所求二面角的余弦值是.(12分）
21．解:(1）解：2x = 时()f x 取到极小值(2)ln 21f =-，无极大值……………（4分） (2)12()()(0)f x f x f +> ………………………。

（12分)
22．(1）当1m =时，令()()33x g x f x =-（10x -<≤），则()31x g x x
-'=+，
当10x -<≤时，30x -≥，10x +>,∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，
∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()3
3
x f x ≤…①………（4分）
（2）()11mx x m m f x mx ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦'=+………②，令()0f x '=，得10x =，21x m m
=-，
(i ）当1m =时，120x x ==，由②得()2
1x f x x
'=+……③
∴当1x >-时，10x +>，20x ≥，∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，
∴10x -<<时，()()00f x f <=,()00f =，0x >时，()()00f x f >=，
故函数()y f x =，在1x >-上有且只有一个零点0x =；…………。

（6分）
（ii ）当01m <<时,10m m -<,且11
m m m
-<-,
由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-
- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <,10x m m ⎛
⎫--≤ ⎪⎝
⎭，
此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛
⎤∈- ⎥⎝
⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；
∴函数()y f x =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦
和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛
⎤- ⎥⎝⎦ 故，当1
0m x m
-<<时，()()00f x f >=，当0x >时,()()00f x f >=
∴函数()y f x =,1,x m m ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
有且只有一个零点0x =;…………。

.(8分） 又222111ln 2f m m m m m ⎛
⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,01t <<，则
()()2
22111112t t t t t
ϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭……④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤，∴函数()y t ϕ=，01t <<为减函数,∴()()10t ϕϕ>=
由01m <<，知201m <<，∴()222111ln 02f m m m m m
⎛⎫⎛
⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
……⑤
构造函数()ln 1k x x x =-+（0x >），则()1x
k x x
-'=
,当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时,()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，
∴()()10k x k ≤=，∴有222111
ln 11m m m
≤-<+，则2
11
2m e
m -
-<，
∴2
1
1
1
1m
e
m m m -
--<-，当2
1
1
11m e x m m -
---<<时,()21
ln 11mx m +<--……⑥
而2221
12x mx x mx m
-<-<+……⑦
由⑥⑦知()()22211
ln 11102x f x mx mx m m
=++-<--++=……⑧…………（10分)
又函数()y f x =在1
1,m m m ⎛⎤-
- ⎥⎝⎦
上递增,2
11
11m e m m m -
--->
由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m m ⎛⎫
-∃∈- ⎪⎝⎭
，使得()00f x =
综上，当01m <<时,函数()()2
ln 12
x f x mx mx =++-有两个零点，
综上所述：当01m <<时，函数()y f x =有两个零点，
当1m =时,函数()y f x =有且仅有一个零点．……………(12分）。