高次不等式的解法

高次不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1:解不等式
(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2)x2-4x+1
3x2-7x+2 ≤1
解:
(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
(2)
{x x<1
3 或
【例
【分析】? 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：(1)原不等式可化为
x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．
(2)原不等式等价于
(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．
【说明】? ．用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数
必为正；②对于偶次或奇次重根可参照
．．．．．．．．．．．
．．．的解法转化为不含重根的．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)
不等式，也可直接用“穿根法”，但注意
．．．．．(5．．－．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”
．．．．．．．．其法如图2)．．．．
例1、解不等式
(1)2x3-x2-15x＞0；
(2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．
例2、解下列不等式：
⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0；⑵ (x+2)(x2+x+1)>0；
⑶ (x+2)2(x+1)<0；（4）(x+2)2(x+1)≥0；
（5）(x2-1)(x2-5x-6)> 0
例3、解下列不等式：
⑴(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0；⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)≥0；
⑶(x-1)2(x2-x-2)≤0；
例4、解不等式：22320712
x x x x -+≤-+- 例5、解不等式：22911721
x x x x -+≥-+ 例6、解不等式：2256032
x x x x +-≥-+ 例7、解不等式：
2121332
x x x x ++>-- 例8、解不等式：22331x x x ->++（不能十字相乘分解因式；无法分解因式） 例9、解下列不等式。

⑴x+2+101-x >7+101-x ； ⑵2
328+--x x x ≥1； ⑷6543
2)
5()4()3()2()1)(1(-----+x x x x x x ≤0。

【巩固练习】
1、解下列不等式：
⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0；
⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0 ；
⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))≥0
⑷(x 2-1)(x-1)(x 2-x-2)≤0；
⑸x+1≤1
4+x ⑻)
4)(3()2()1(2--+-x x x x ≤0； 2：解不等式：
1、302x x -≥-
2、2113
x x ->+ 3、2232023x x x x -+≤-- 4、22102x x x --<- 5、()()()3
221603x x x x -++≤+ 6、()2309x x x -≤-。