上海奉贤区教师进修学院附属实验中学数学高二下期末复习题

一、选择题
1．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3
π
，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）
A
．2
B ．2
C 2
D 2
2．设sin 2cos αα=，0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，则tan2α的值是( )
A B ．C D ．3．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，
n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．
12
D ．
34
4．将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4
π
个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ等于（ ） A ．6
π
-
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 5．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等边三角形
6．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =
++，x ∈R .在复平面上，设复
数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14
-
B ．
14
C ．12
-
D ．
12
7．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．sin 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．sin2cos2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
8．已知函数()
()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫
=+>><∈ ⎪⎝⎭
在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）
A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12
倍，再向左平移6π
个单位
B ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向右平移12π
个单位
C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6
π
个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12
π
个单位
9．已知角6
π
α-
的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()5,12P -， 则
7cos 12πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
( ) A ．172
26-
B ．72
26
-
C ．
72
26
D ．
172
26
10．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
或32sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．32sin 24
y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．32sin 24
y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
11．已知5
sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．
3
5
B ．15-
C ．15
D ．35
12．已知非零向量a ⃑ =(t,0),b ⃑ =(−1,√3)，若a ⃑ ⋅b ⃑ =−4，则a ⃑ +2b ⃑ 与b
⃑ 的夹角（ ）
A ．π
3
B ．π
2
C ．π
6
D ．2π
3
13．已知tan 24πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
,则sin 2α=（ ） A ．
310 B ．
35
C ．65
-
D ．125
-
14．
设000
20
12tan15cos 2sin 2,,221tan 15a b c =-==+，则有（ ） A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
15．已知A ，B
的⊙O 上的两个点，OA ·OB ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA ＋CB ｜＝1，则｜AC ｜的最大值为（ ） A
＋1
B
1 C ．
＋1
D
+1
二、填空题
16．设tan α、tan β是方程2320x x -+=的两个根，则()tan αβ+=________________. 17．已知θ为钝角，1
sin()43
π
θ+
=，则cos2θ=______. 18．已知向量(12,)a k =，(1,14)b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________． 19．已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θ
θ
=+________________．
20．函数1ππ
()sin ()cos ()536
f x x x =
++-的最大值为___________. 21．函数()2
1
1
sin
sin (0)222
x f x x ωωω=+->，若函数()f x 在区间x ∈(),2ππ内没有零点，则实数ω的取值范围是_____
22．计算：
2
tan
8
1tan
8
π
π
=- __________．
23．已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距离最短的两个交点
，则ω值为__________．
24．在平行四边形ABCD 中，
，AB=2，若BF FC = ，则AF DF ⋅ =_____． 25．函数ππ
()2sin()(0,)22
f x x ωϕωϕ=+>-<< 的部分图象如图所示，则ϕ= ________.
三、解答题
26．已知向量a =(cosωx ，﹣cosωx )，(3b =sinωx ，cosωx )(ω>0)，函数f (x )a =•b ，若函数f (x )的最小正周期为23
π. （1）求ω的值； （2）当x ∈[0，
2
π
]时，求函数f (x )的值域. 27．已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++(,0,0,A b ωϕπ><<为常数）一段图像如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）在ABC ∆中，7
()2
f B =
，求22sin sin A C +的取值范围. 28．如图所示,函数()2cos (,0.0)2
y x x R π
ωθωθ=+∈>≤≤
的图象与y 轴交于点
(3,且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值； (2)已知点πA ,02⎛⎫
⎪⎝⎭
,点P 是该函数图象上一点,点00(,)Q x y 是PA 的中点,当003,,22y x ππ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
时，求0x 的值.
29．已知函数44
()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最小值以及取得最小值是x 的值. 30．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；
（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()
1221,f a b x y x y =-，试计算
()
,f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意
义.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9．B
11．A
12．A
13．B
14．A
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值然后利用两角和的正切公式计算可求出的值【详解】由二次方程根与系数的关系得出因此故答案为【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用同时也考查了二次方程根
17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；
18．【解析】由题意则
19．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求
20．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力
21．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k =0得K取其它整数时无解同
22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：
23．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得
24．【解析】由知点F为BC中点
25．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk∈Z∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中
三、解答题
26．
28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
不妨设(1,0)a =，13
(,
22
b =，(,)
c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以
22(3)2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆
心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．
2．A
解析：A 【解析】
2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，
tan 2tan
3
π
α== A.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用余弦定理求出cos A 和cos C 的表达式，由2A C =，结合正弦定理
sin sin c a
C A
= 2sin cos a
C C =
得出cos C 的表达式，利用余弦定理得出cos C 的表达式，可解出n 的
值，
于此确定ABC ∆三边长，再利用大边对大角定理得出C 为最小角，从而求出cos C ． 【详解】
2A C =，由正弦定理
sin sin c a C A
=，即sin sin 22sin cos c a a
C C C C ==， ()
1
cos 221a n C c n +∴=
=-， ()()()()
222
222114cos 22121n n n a b c n C ab n n n ++--+-+===
++，()()142121n n n n ++∴=-+， 解得5n =，由大边对大角定理可知角C 是最小角，所以，63
cos 244
C ==⨯，故选
D ． 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值. 【详解】
()()()
sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝⎭
,
将函数()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6
π=ϕ. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】
在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简
sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知
A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)
2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)
cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264
f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭时，11()sin 2264f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2
π
+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2
π
+
）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；
y ＝sin2x +cos2x =（2x 4
π
+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；
y ＝sin x +cos x =（x 4
π
+
），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确； 故选A ．
考点：三角函数的性质.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(
,1)12
π求得3
π
ϕ=
，函数解析式
()sin(2)3f x x π
=+，比较解析式cos sin()2y x x π
==+，根据图像变换规律即可求解.
【详解】
由()
()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫
=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,1
1244126T πππω=
⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12
π
ϕ=⨯
+，
因为2
π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
，故()sin(2)3f x x π
=+，
因为cos sin()2y x x π
==+
，将函数图象上点的横坐标变为原来的1
2
得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再向右平移12π
个单位得sin[2()]sin(2)()
1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】
本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.
9．B
解析：B 【解析】
分析：利用三角函数的定义求得66cos sin ππαα⎛
⎫
⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．
详解：由三角函数的定义可得512,613613
cos sin ππαα⎛
⎫
⎛⎫-
=--= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 则
773cos cos cos 12661264ππππππααα⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+
=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
33=cos cos sin sin 6464ππππαα⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
--- ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
512=13213226⎛
⎛⎫---⋅=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭
点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】
由图象可知2A =，因为884
π
ππ
⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8
x π
=-
时，2sin 228πφ⎛⎫
-
⋅+= ⎪⎝⎭
， 即sin 14πφ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 故选C. 【点睛】
本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．
11．A
解析：A 【解析】
44sin cos αα-()()
2222
sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1
α=-3
5
=-，故选A.
点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.
12．A
【解析】 【分析】
根据条件容易求出t=4，从而得出a ⃑ =(4,0)，从而得出a ⃑ +2b ⃑ =(2,2√3)可设a ⃑ +2b
⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，这样根据cosθ=(a ⃑ +2b ⃑ )·b ⃑ |a
⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ | 即可求出cosθ，进而得出θ的值．
【详解】
因a ⃑ ⋅b
⃑ =−4=−t ∴t=4；
∴a ⃑ =(4,0)，b ⃑ =(−1,√3)，a ⃑ +2b
⃑ =(2,2√3) 设a ⃑ +2b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，则：cosθ=(a ⃑ +2b
⃑ )·b ⃑ |a ⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ |
=-2+6
4×2=1
2， ∴θ=π
3 故答案为A ． 【点睛】
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数
量积公式有两种形式，一是a ⃑ ⋅b ⃑ =|a ⃑ ||b ⃑ |cosθ，二是a ⃑ ⋅b ⃑ =x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a
⃑ ·b ⃑ |a ⃑ |·|b ⃑ | （此时a
⃑ ·b ⃑ 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影是a
⃑ ⋅b ⃑ |b ⃑ |
；（3）a ⃑ ,b ⃑ 向量垂直则a ⃑ ⋅b ⃑ =0;(4)求向量ma ⃑ +nb ⃑ 的模（平方后需求a ⃑ ⋅b ⃑ ）. 13．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭
求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααα
αααα==++即可求解. 【详解】
由题：tan 24πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
tan 1
21tan αα
+=--，解得tan 3α=，
222
2sin cos 2tan 63
sin 2sin cos tan 1105
ααααααα=
===++. 故选：B 【点睛】
此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.
14．A
【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】
()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，
22
2sin15cos15
sin 30cos 15cos 15
b =
=+sin28a >= 2sin 25sin25sin28,c a b a c =︒=︒<︒=∴>>，故选A.
【点睛】
本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由题意得到2==
OA OB ，根据向量的数量积求出3
AOB π
∠=
，以O 为原点建立平
面直角坐标系，设A （2cos θ，2sin θ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B 的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】
依题意，得：2==
OA OB ，
因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠， 所以，22cos AOB ⨯∠＝1，得：3
AOB π
∠=
，
以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，
设A 2cos θ2sin θ），则B 2cos 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
）
或B （2cos 3πθ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，2sin 3πθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
） 设C （x ，y ）， 当B （2cos 3πθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
，2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
）时， 则OA CB +＝（2cos θ＋2cos 3πθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
－x ，2sin θ＋2sin 3πθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
－y ） 由｜OA ＋CB ｜＝1，
得：2
2
2cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝1，
即点C 在1为半径的圆上，
A （2cos θ，2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛
⎫
⎛
⎫++
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，的距离为：2
2 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭＝2
｜AC ｜的最大值为2＋1 当B （2cos 3πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭，
2sin 3πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭）时，结论一样． 故选A
【点睛】
本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.
二、填空题
16．【解析】【分析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值然后利用两角和的正切公式计算可求出的值【详解】由二次方程根与系数的关系得出因此故答案为【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用同时也考查了二次方程根 解析：3-. 【解析】 【分析】
利用二次方程根与系数的关系得出tan tan αβ+和tan tan αβ的值，然后利用两角和的正切公式计算可求出()tan αβ+的值. 【详解】
由二次方程根与系数的关系得出tan tan 3αβ+=，tan tan 2αβ=， 因此，()tan tan 3
tan 31tan tan 12
αβαβαβ++===---，故答案为3-.
【点睛】
本题考查两角和的正切公式的应用，同时也考查了二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；
解析：9
-
【解析】 【分析】 将2θ改写成2()4
2
π
π
θ+-
的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.
【详解】
因为cos2cos[2()]sin[2()]424
π
ππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππ
θθθ=++；
因为1
sin()04
3π
θ+
=
>且θ为钝角，所以()4
πθ+是第二象限角，则
cos()43πθ+==-
，故cos 22sin()cos()44ππθθθ=++= 【点睛】
（1）常见的二倍角公式：
sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；
（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，
2()()βαβαβ=+--.
18．【解析】由题意则 解析：6-
【解析】
由题意，()121140k k -+=，则6k
=-．
19．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求
解析：1
7
-
【解析】
分析：由角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，求出,cos sin θθ的值，利用
2cos 212sin 1212cos sin sin θθ
θθθ
-=
++，将,cos sin θθ的值代入即可得结果. 详解：角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，
43,cos 55
y x sin r r θθ∴=
===， 那么
2
167
12cos 212sin 1252543491212cos 7125525
sin sin θθθθθ-⨯
-
-====-+++⨯⨯，故答案为17
-. 点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.
20．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：
6
5
【解析】
分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
详解：函数()1ππ1πsin cos 353
656f x x x sin x cos x π⎛
⎫⎛
⎫=+
+-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（）（） 1ππ6π6
533535
sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为
6
5
． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
21．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w 的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K 取其它整数时无解同
解析：][1
150,,8
48⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦
【解析】
分析：先化简函数
f(x) )
24
wx π=
-,
再求得(,2),444wx w w πππππ-∈--再根据函数()f x 在区间x ∈ (),2ππ内没有零点得到不等式组，最后解不等式组即得w 的范围. 详解：由题得
f(x)=
1cos 1111sin sin cos )2222224
wx wx wx wx wx π
-+-=-=-, 因为x ∈ (),2ππ，所以(,2),4
44
wx w w π
π
π
ππ-∈-
-
当(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆+∈或
(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，由前一式得 24
,224k w w k πππππππ
⎧≤-⎪⎪⎨
⎪-≤+⎪⎩
即152,48k w k +
≤≤+由k=0得15
48
w ≤≤， K 取其它整数时无解，同理，由后一式，解得1
(0,]8
w ∈， 综上，w 的取值范围是][1150,
,848⎛⎤
⋃ ⎥
⎝⎦
. 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析得到当(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆+∈或
(,2)(2,2),44
w w k k k z ππ
πππππ-
-⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，其二是进一步
转化得到不等式组解不等式组. 22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：
解析：
12
【解析】 根据正切公式的二倍角公式得到2
2tan 8tan
tan 214
8
1tan 8
π
π
π
π
=⨯
=
=-，
2
tan
18
2
1tan 8
π
π
=
-. 故答案为：
12
. 23．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得
解析：π
【解析】
由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，所以
4
x k π
ωπ-
=， k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=
⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 122
y =；当
251,4k x πω==
， 22
2
y =-，如图所示，由勾股定理得()()
()2
2
2
21213y y x x -+-=
，解得ωπ=.
24．【解析】由知点F 为BC 中点
解析：
72
【解析】
由BF FC =知点F 为BC 中点
()()AF DF AB BF
DC CF AB DC AB CF BF DC BF CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅
17
422
AB DC AB FC BF DC BF FC =⋅-⋅+⋅-⋅=-
=25．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得
2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk ∈Z ∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中 解析：3
π
-
【解析】 ∵
34T =512π −(−π3)=3 4
π，∴T =π，∴ω=2 把(
512π,2)代入，得2sin(56π+φ)=2⇒56π+φ=π
2
+2kπ， ∴φ=−
π3+2kπ，k ∈Z ，∵ππ22ϕ-<<，∴φ=3
π
-， 点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式
(1)max min max min
,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.
三、解答题 26．
（1）3
2（2）12⎡⎤⎢⎥⎣
⎦， 【解析】 【分析】
（1）先结合向量数量积公式和二倍角公式（降幂公式）化简，由辅助角公式可得
()1sin 262f x x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，结合周期公式即可求解；
（2）由02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，43663x πππ⎥⇒⎡⎤
-∈-⎢⎣⎦，，结合函数图像性质即可求解值域；
【详解】
（1）23f x a b sin x cos x cos x ωωω=⋅=
⋅-（）1222
cos x
x ωω+=
-
1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，∵ω>0，f (x )的最小正周期为23π
，∴2223ππω=，∴32ω=；
（2）由（1）知，()1
sin 362f x x π⎛
⎫=-
- ⎪⎝
⎭，∵02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴43663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，
∴sin 316x π⎡⎤⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴f (x )的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，. 【点睛】
本题考查三角函数解析式的化简求值，求正弦型三角函数在给定区间的值域，属于基础题
27．
（1）()3sin(2)26f x x π
=++（2）33
(,]42
【解析】 【分析】
（1）由图中数据列方程即可求出周期及振幅A ，由6
x π
=时，函数取得最大值求得ϕ，
问题得解．
（2）由()sin sin C A B =+化简22sin sin A C +为11sin 226A π⎛⎫+
⋅- ⎪⎝⎭ 20,3A π⎛⎫
⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
再利用三角函数的性质求解． 【详解】
(1)523A =-=，()5122
b +-=
=
54126T πππ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝
⎭
2ω∴=
由
26
2
π
π
ϕ⋅+=
得6
π
ϕ=
()3sin 226f x x π⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭
（2）
()72f B =
可知()73sin 2262f B B π⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭
26
6
B π
π
∴+
=
或526
6
B π
π
+
=
0B ∴=（舍去）或3
B π
=
22sin sin A C ∴+=()2222
sin sin sin sin A C A A B +=++
=
2253sin cos cos 424A A A A ++
=
231sin cos 422
A A A ++
=
311cos24224
A A -+⨯+ 11sin 226A π⎛
⎫=+⋅- ⎪⎝
⎭
3
B π
=
20,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭即72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦ 1331sin 2,2642A π⎛⎫⎛⎤∴+⋅-∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦ 22
sin sin A C ∴+的取值范围为33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图像及性质，还考查了二倍角公式，考查计算能力及转化能力，属于基础题．
28． (1)πθ6=
.ω2=.(2)023x π=，或034
x π=. 【解析】 试题分析：
(1)由三角函数图象与y 轴交于点(可得cos θ=，则6πθ=.由最小正周期公式可得2ω=.
(2)由题意结合中点坐标公式可得点P 的坐标为022x π⎛- ⎝
.代入三角函数式可得
05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，结合角的范围求解三角方程可得023x π=，或034x π=. 试题解析：
(1)将0,x y ==()2cos y x ωθ=+中，得cos 2θ=
， 因为02π
θ≤≤，所以6π
θ=.
由已知T π=，且0ω>，得222T ππωπ=
==. (2)因为点()00,0,,2A Q x y π⎛⎫ ⎪⎝⎭
是PA 的中点，
02
y =，所以点P 的坐标为022x π⎛- ⎝. 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图象上，且02x ππ≤≤，
所以05cos 462x π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，且075194666x πππ≤-≤， 从而得0511466x ππ-=，或0513466x ππ-=，即023x π=，或034
x π=. 29．
(Ⅰ)π；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式化简整理函数()f x 的表达式，由周期2T πω=
． （2）先求解52,444x πππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图像求解最值． 【详解】
：()()()
442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x =--=+--
cos2sin224x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝
⎭ (1)最小正周期为π
(2)由0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32,,48x x πππ+==即时 ()f x 的最小值
为. ()f x 取最小值时x 的集合为3.8π⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【点睛】
：三角函数()y Asin φx ω=+在闭区间内[]a,b 上的最值问题的步骤：
（1）换元，令t φx ω=+，其中[]
12t t t ∈，
（2）画出三角函数y Asint =的函数图像．
（3）由图像得出最值． 30．
（1）证明见解析，ABC ∆的面积为5（2）(),102f AB AC S ==， (),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积
【解析】
【分析】
（1）利用向量的减法，求出,AB AC 的坐标，然后计算出0AB AC ⋅=，从而证明出AB AC ⊥，再根据直角三角形的面积公式，求出ABC ∆的面积；（2）根据新定义的运算，计算出()
,f AB AC 的值，然后找到与ABC ∆的面积的关系，得到答案.
【详解】
（1）因为()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =，
所以()2,1AB OB OA =-=-，()2,4AC OC OA =-=，
所以0AB AC ⋅=，
所以AB AC ⊥.
22AC ==，22AB ==11
522S AB AC === （2）因为()
1221,f a b x y x y =- 而()2,1AB =-，()2,4AC =， 所以()
(),221410f AB AC =⨯--⨯=，
所以(),2f AB AC S =
所以(),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积. 【点睛】
本题考查向量的减法的坐标表示，向量数量积的坐标表示，属于简单题.。