2020届甘肃省武威市凉州区武威第一中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

2020届甘肃省武威市凉州区武威第一中学高三上学期期中数
学（理）试题
一、单选题
1．设集合2{|3}A x N x =∈<，{|13}B x x =-<<，则集合A B 为
A ．{1-，0，1}
B ．{0，1}
C ．{1-，0}
D ．{|1x x -<<
【答案】B
【解析】{}0,1A =,故{}0,1A
B =.选B .
2．设x ∈R ，则“11x -<”是“20x x +>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由11x -<，化为111x -<-<，即可解出．由20x x +>化为(1)0x x +>．即可判断出结论． 【详解】 解：11x -<111x ∴-<-<解得02x <<即()0,2x ∈；
又
20x x +>(1)0x x ∴+>解得0x >或1x <-即()(),10,x ∈-∞-⋃+∞；
所以“11x -<”是“20x x +>”的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
C ．命题“0x R ∃∈，0
01x e
x ≤+”的否定为“x R ∀∈，1x e x >+”
D ．若a b b c ⋅=⋅r r r r
，则a b =
【答案】C
【解析】举例说明A 错误；由复合命题的真假判断B ；写出特称命题的否定判断C ；由向量的数量积的定义判断D ． 【详解】
解：对于A ，命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是“若a b <，则22am bm <”，是假命题，如20m =时，22am bm =，故A 错误；
对于B ，命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少一个为真命题，故B 错误； 对于C ，命题“存在000,1x x R e x ∈+…”的否定为：“对x R ∀∈，1x e x >+”，故C 正确；
对于D ，若a b b c ⋅=⋅r r r r
，则12cos cos a b b c θθ⋅=⋅r r r r ，当0b ≠r r 时即12
cos cos a c θθ=r r 可得,a c 在b 方向上的投影相等，无法得到a b =，当0b =时，00m ⋅=r u r
（m 为任意向量），同样无法得到a b =，故D 错误．
故选：C 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题． 4．已知tan 2α=，则2sin 3sin 2cos α
αα
=+（ ）
A ．14-
B ．
12
C ．47
-
D ．
14
【答案】B
【解析】利用同角三角函数的基本关系，将弦化切，再代入求值。

【详解】
解：tan 2α=,2sin 3sin 2cos α
αα
+分子、分母同除cos α得
2sin 2tan 2213sin 2cos 3tan 23222
ααααα⨯∴===++⨯+ 故选：B 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题。

5．设10(){
2,0
x
x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）
A ．1-
B ．
14
C ．
12
D ．
32
【答案】C
【解析】试题分析：
()21224
f --==
，
()()111211422f f f ⎛⎫
∴-===-= ⎪⎝⎭
．故C 正确．
【考点】复合函数求值．
6．已知4
32a =，2
54b =，1
325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<
【答案】A
【解析】先将b a 和转换为同为2为底的指数，422
335244a b ==>=，a 和c 可以转换为指数相同1
22333
2554c a ==>=。

所以b a c <<。

【详解】
因为422335244a b ==>=，122
3332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【点睛】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x
，(2)y ＝b x
，(3)y ＝c x
，(4)y ＝d x
的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b.
规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目。

7．已知角α的终边过点(
)8,6sin30
P m ︒
--，且4
cos 5
α=-，则m 的值为( )
A ．12
-
B ．
12
C ．
D 【答案】B 【解析】【详解】
因为角α的终边过点(8,6sin 30)o P m --，所以r = ，
84cos 5m r α-=
=- ，解得1
2
m =，故选B. 8．函数
的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】试题分析：由
，得
，则
为奇函数，故其图象关于原点
对称，排除C ；当时，
，
，故
，故排除A 、D ，
故选B.
【考点】函数的图象.
9．要得到函数4y sin
x =-（3
π
）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A ．向左平移
12π
个单位 B ．向右平移12π
个单位
C ．向左平移3π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
【答案】B
【解析】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛
⎫
=-
=- ⎪⎝
⎭，要得到函数43y sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12
π
个单位。

本题选择B 选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
10．函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2
2
π
π
ϕ-<<
）的部分图象如图所示，则ω
和φ的值分别是（ ）
A ．
12和6
π B ．
12
和3π-
C ．2和
6
π
D ．2和3
π-
【答案】D
【解析】利用正弦函数的周期性可求得22
T ππ
ω==，可求得2ω=；再利用“五点作图法”可求得ϕ，从而可得答案． 【详解】 解：由图知，
115212122
T ππππ
ω==-=，故2ω=． 由“五点作图法”知，52122ππϕ⨯+=，解得(32ππϕ=-∈-，)2
π， 故选：D ． 【点睛】
本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期性与“五点作图法”的应用，考查识图能力，属于中档题．
11．如图，在ABC ∆中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上，3AN NB =，点P 在MN 上，2MP PN =，那么AP 等于（ ）
A ．
21
36
AB AC - B ．
11
32
AB AC - C ．
11
36
AB AC - D ．
11
26
AB AC + 【答案】D 【解析】
221211
().
333362
AP AM MP AM MN AM AN AM AM AN AC AB =+=+=+-=+=+本题选择D 选项.
12．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，
()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则函数()y f x =与1
2
y x =
的图象的交点个数为（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】由()()2f x f x +=可知函数()f x 的周期为2,由()()2f x f x -=可知
()f x 的图象关于直线1x =对称,根据条件可以画出函数()y f x =与1
2
y x =
的图象,如图所示,由图可知,交点共6个.
二、填空题
13．已知向量()1,3a =-， (),2b m =r
， 若()
a a
b ⊥+，则
m =_______． 【答案】4-
【解析】可求出
(11)a b m ，+=+-，根据 ()a a b ⊥+即可得出()
0a a b ⋅+=，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值． 【详解】
由题意得
(11)a b m ，+=+-， ∵ ()a a b ⊥+)，
∴()
130a a b m ⋅+=++=，∴4m =-， 故答案为4-． 【点睛】
本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题. 14．已知a 与b 的夹角为45°，且1a =，2b =，则2a b -=______；
【解析】运用平面向量模长的运算可得结果． 【详解】 解：根据题意得，
(
)
2
2
2
2
2
244141452
a b a a b b -=-⋅+=-⨯+⨯
=
∴25a b -=
【点睛】
本题考查平面向量模长的计算，属于基础题。

15
．已知()cos sin 65παπα⎛⎫
-+-=-
⎪⎝⎭
，02πα-<<，则cos 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭__________．
【答案】7
25
- 【解析】
()3cos 622sin sin
παπααα
⎛⎫
-+-=+ ⎪⎝⎭
4665sin ππαα⎛⎫⎛
⎫=+=∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
2cos 2cos 212sin 366πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2
4712525⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
，
故答案为725
-
. 16．已知函数()f x 是奇函数，且120x x ≤<时，有1212
()()
1f x f x x x -<-，(2)1f -=，则
不等式3()x f x x -≤≤的解集为____．
【答案】[0,2]
【解析】根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【详解】
由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤0
设g（x）＝f（x）﹣x，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），
即函数g（x）为R上的奇函数，
则有g（0）＝0；
又由对任意0≤x1＜x2时，有
()()
12
12
f x f x
x x
＜
-
-
1，
则
()()()()()()() 12121212
121212
g x g x f x f x x x f x f x
x x x x x x
-----
==----
1，
∵
()()
12
12
f x f x
x x
＜
-
-
1，
∴
()()()()
1212
1212
g x g x f x f x
x x x x
--
=-
--
1＜0，
即g（x）在[0，+∞）上为减函数，
∵g（x）是奇函数，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，
∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；
g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，
则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），
∵g（x）是减函数，
∴0≤x≤2，
即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；
故答案为：[0，2]．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．
三、解答题
17．已知()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，OC tOP =（其中O 为坐标原点） （1）求使CA CB ⋅取得最小值时的OC ； （2）对（1）中求出的点C ，求cos ACB ∠．
【答案】（1）()4,2OC =；（2）cos 17
ACB ∠=-
【解析】（1）设(2
,)OC tOP t t ==，求出CA 和CB 的坐标，代入CA CB 的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出CA CB 的最小值．
（2）把CA 和CB 的坐标代入两个向量的夹角公式，求出cos ACB ∠ 的值． 【详解】
（1）由题知()()2,12,OC tOP t t t ===
()12,7CA OA OC t t =-=--，()52,1CB OB OC t t =-=--
所以()()()()()2
125271528CA CB t t t t t ⋅=--+--=-- 当2t =时CA CB ⋅取最小值，此时()4,2OC =； （2）由（1）()3,5CA =-，()1,1CB =-
34CA =2CB =，8CA CB ⋅=-，
所以，cos 1734CA CB ACB CA CB
⋅∠==
=-⋅
【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．
18．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知
222,3
3
A b c abc a π
=
+-
=。

（1）求a 的值；
（2）若1b =，求ABC ∆的面积。

【答案】（1（2
【解析】（1）由2223
b c abc a +-
=，利用余弦定理可得2cos 3bc A abc =,结合3
A π
=
可得结果；
（2）由正弦定理1sin 2B =，π
6
B =, 利用三角形内角和定理可得π2
C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】
（1）由题意，得2223
b c a abc +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.
∴2cos 3
bc A abc =,
∵π
3
A =
，∴a A ==.
（2）∵a =
由正弦定理
sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π
6
B =,
∴π
π2
C A B =--=.
∴1sin 2ABC S ab C ∆==
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定
要熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要
熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 19．已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量(3,1)m =-，
(cos ,sin )n A A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，求角,A B 的大小.
【答案】,3
6
A B π
π
=
=
【解析】根据m n ⊥，可先求出tan A =3
A π
=
；再由正弦定理，将
cos cos sin a B b A c C +=化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，整理后求出
2
C π
=
，进而可求出结果.
【详解】
因为(3,1)m =-，(cos ,sin )n A A =，m n ⊥，
sin 0A A -=，所以tan A =3
A π
=；
又cos cos sin a B b A c C +=，
所以2sin cos sin cos sin A B B A C +=， 即2sin sin C C =，所以sin 1C =，故2
C π
=，
所以2
3
6
B π
π
π
π=--
=
.
【点睛】
本题主要考查解三角，熟记三角恒等变换，以及正弦定理即可，属于常考题型.
20．已知函数()21cos cos 2222
x x x f x =-+． （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()1
2
f A =，a =2b c =，求c ．
【答案】（1）递减区间为252,233k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈；（2）1c = 【解析】（1）化()f x 为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调递减区间； （2）根据题意，利用余弦定理求得c 的值． 【详解】
（1）()1sin cos sin 226f x x x x π⎛
⎫=
-=- ⎪⎝
⎭ 由
32226
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤
+，k Z ∈ 得252233
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递减区间为252,233k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈；
（2）
()1sin 62f A A π⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭，()0,A π∈，66A ππ∴-=，3A π∴=，
又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，a =
2b c =
222342c c c =+-得1c =．
【点睛】
本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是基础题． 21．已知函数f(x)= ln(a x)+bx 在点（1，f(1)）处的切线是y=0； (I)求函数f(x)的极值；
(II)当21()(0)x mx e
f x x m e e
-≥+<恒成立时,求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底
数)
【答案】(1) ()f x 的极大值为()10f =，无极小值； (2) [
)1,0e -.
【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得()10f '=解得b,再根据()10f =得a ，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为
ln 112x mx x e x e
+≥+-，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为1
1e e
m ≥-，解得实数m 的取值范围.
详解：
（1）因为()()ln f x ax bx =+，所以()1a f x b b ax x
=
+=+' 因为点()()
1,1f 处的切线是0y =，所以()110f b +'==，且()1ln 0,f a b =+= 所以,1a e b ==-，即()ln 1.f x x x =-+ 所以()111x
f x x x
-=
-='，所以在()0,1上递增，在()1,+∞上递减， 所以()f x 的极大值为()10f =，无极小值
（2）当()()210x mx e
f x x m e e
-≥+<恒成立时,由（1）()ln 1f x x x =-+，
即
()ln 1120x mx x m e x e
+≥+-<恒成立， 设()()ln 11,2e e x mx x g x h x x +=
=+-，则()()1e x
m x g x '-=，()2ln x
h x x =-'，
又因为0m <，所以当01x <<时，()()0,0g x h x ''；当1x >时，
()()0,0g x h x ''><.
所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 1e
m g x g ==
； ()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 1
11e
h x h ==-.
所以()(),g x h x 均在1x =处取得最值，所以要使()()g x h x ≥恒成立， 只需()()min max g x h x ≥，即
1
1,e e
m ≥- 解得1e m ≥-，又0m <，所以实数m 的取值范围是[
)1,0e -.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21,a e ⎛⎤
∈-∞-
⎥⎝⎦
，求证：
()12ax f x ax xe -≥-. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据题意可得()11
'ax f x a x x
-=-
=，分0a ≤和0a >两种情形讨论()'f x 的符号可得单调性．（Ⅱ）令()()1
2ax g x f x ax xe
-=-+ 1ln ax xe ax x -=--，可得
()()()()
11111'1ax ax ax xe g x ax e x x --+-⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭，构造函数()11ax r x xe -=-，结合导数可得()2max 1110r x r a ae ⎛⎫⎛⎫=-
=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是可得()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，在1,a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 1g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再证明10g a ⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
，即
可得()0g x ≥，从而可得()1
2ax f x ax xe -≥-成立．
试题解析：
（Ⅰ）由题意得()11
'ax f x a x x
-=-
=，
①当0a ≤时，则()'0f x <在()0,+∞上恒成立， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减. ②当0a >时， 则当1,x a ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭时，()()'0f x f x >，单调递增， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，时，()()0f x f x '<，单调递减． 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. （Ⅱ）令()()1
2ax g x f x ax xe
-=-+ 1ln ax xe ax x -=--，
则()111'ax ax g x e axe a x --=+-- ()()()
1
11111ax ax ax xe ax e x x --+-⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭， 设()1
1ax r x xe
-=-，
则()()1
'1ax r x ax e -=+，
∵10ax e ->, ∴当10,x a ⎛
⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()()'0r x r x >， 单调递增； 当1,x a ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
时，()()0r x r x '<， 单调递减． ∴()2max 1110r x r a ae ⎛⎫⎛⎫
=-=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（因为21a e ≤-）
， ∴1
1
0ax e
x --
≤. ∴()g x 在10,a ⎛⎫-
⎪⎝
⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
∴()min 1g x g a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
， 设(
21
0,t e a
⎤=-
∈⎦，
则()2
2
1ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫-==-+<≤ ⎪⎝⎭
， ()211'0h t e t
=
-≤，()h t 在(
2
0,e ⎤⎦上递减， ∴()()2
0h t h e
≥=；
∴()0g x ≥，故()1
2ax f x ax xe -≥-.
说明：判断1
1
ax e
x
--
的符号时，还可以用以下方法判断： 由1
10ax e x --=得到1ln x a x -=， 设()1ln x p x x -=，则()2
ln 2
'x p x x -=，
当2x e >时，()'0p x >；当20x e <<时，()'0p x <. 从而()p x 在(
)2
0,e 上递减，在()2
,e +∞上递增.
∴()()2
2
min 1p x p e e ==-.
当2
1a e ≤-时，1ln x a x -≤，即1
10ax e x
--≤.。