2021-2022学年云南省大理州丽江怒江高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
12
2．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2
375150a a a +-+=，则9S =（ ）
A ．35
B ．36
C ．45
D ．54
3．命题“(0,1),ln x
x e
x -∀∈>”的否定是（ ）
A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤
B ．0
00(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈<
D ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈≤
4．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．4
5
-
B ．
45
C ．
35
D ．
35
5．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
6．已知12log 13a =13
14
12,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2
B ．
32
C ．3
D ．4
8．已知数列{}n a 满足(
)*
331log 1log n n a a n N
++=∈,且2
469a
a a ++=,则()13573
log a a a ++的值是( )
A ．5
B ．3-
C ．4
D ．
991
9．已知函数()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦
恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
10．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
11．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A
．5
B
．7
C
-
D
．9-12．设集合{
}2
20A x x x =-->，{}
2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =
A ．{}
12x x -≤≤
B ．{}
02x x <≤
C ．{}
04x x <≤
D ．{}
14x x -≤≤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知1(3,0)F -，2(3,0)F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，双曲线C 的渐近线上存在点P 满足
12||2||PF PF =，则b 的最大值为________．
14．设实数,x y 满足约束条件10
24x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
,则23z x y =+的最大值为______.
15．设()5
543223*********x y a x a x y a x y a x y a xy a y -=+++++，则024a a a ++=______. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()21n n S a =+，则满足126n
S =-的正整数n 的值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知121,4T T ==, (1)求数列{}n a 的首
项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式．
18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点,E F 分别是线段,DC BC 的中点，分别将DAE △沿AE 折起，CEF △沿EF 折起，使得,D C 重合于点G ，连结AF .
（Ⅰ）求证：平面GEF ⊥平面GAF ； （Ⅱ）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值.
19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，侧面PAB 为等边三角形，侧棱22=PC .
（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P ABC -外接球的体积.
20．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为
A 、
B +、B 、
C +、C 、
D +、D 、
E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依
照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．
（附：若随机变量(
)2
~,N ξμσ
，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，
(33)0.997P μσξμσ-<<+=）
21．（12分）函数()ln(1),()sin f x ax x g x x =-+=，且()0f x 恒成立.
（1）求实数a 的集合M ；
（2）当a M ∈时，判断()f x 图象与()g x 图象的交点个数，并证明. （参考数据：12
ln 20.69, 1.77x e
-≈≈）
22．（10分）已知椭圆C ：2
214
x y +=，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.
（Ⅰ）若线段MN 的中点坐标为11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线l 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点(4,0)，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（PM k ，PN k 分别为直线PM ，PN 的斜率），求0x 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率. 【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：23
4336n C A ==
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：212
2326m C C A ==
∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366
m p n =
== 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2．C 【解析】
由等差数列{}n a 通项公式得2
375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .
【详解】
正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，
2
375150a a a +-+=，
2552150a a ∴--=，
解得55a =或53a =-（舍），
()91959
995452
S a a a ∴=
+==⨯=，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
3．D 【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，0
0ln x e x -≤．
故选D ． 【点睛】
本题考查全称命题的否定,难度容易. 4．D 【解析】
由题知cos α=2
sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得.
【详解】
由题知cos α=2
3sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
5．B 【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 6．D 【解析】
由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解. 【详解】
根据指数函数的图像与性质可知1314
120131b ⎛⎫
<= ⎪⎭
<⎝，
由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-
lg13lg14
lg12lg13
=
- 2lg 13lg12lg14
lg12lg13
-⋅=
⋅ 由基本不等式可知()2
1lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<
+⎢⎥⎣⎦
，代入上式可得
()2
2
21lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13
⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>
⋅⋅
2
2
1lg 13lg1682lg12lg13
⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
⋅
11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⋅
(
(
lg13lg130lg12lg13
+⋅-=
>⋅
所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 7．C 【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+
54
2
⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．B 【解析】
由331log 1log n n a a ++=，可得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，
所以2462222981919a a a a a a a ++=++==，则2991a =
， 则
3
1357122213
3
3
log ()log (327243)log 33a a a a a a ++=++==-，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试
题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 9．D 【解析】
画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】
解：函数()f x ，如图所示
()()()()()2
00f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦
当0a >时，()0a f x -<<，
由于关于x 的不等式()()2
0f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解 因此其整数解为3，又()3963f =-+=- ∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤ 当0a =时，()2
0f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-
当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解 综上，实数a 的最大值为8 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
10．A 【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】
()
2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 11．D 【解析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 89962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 12．B 【解析】
先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】
对于集合A ，()()210x x -+>，
解得1x <-或2x >，故[]
1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.
故()(]
0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
125
【解析】
设(,)P x y ，由12||2||PF PF =可得2222()[3)]34(x y x y ++=-+，整理得22(5)16x y -+=，即点P 在以(5,0)为圆心，
4为半径的圆上．又点2F 到双曲线C 的渐近线的距离为b ，所以当双曲线C 的渐近线与圆22(5)16x y -+=相切时，b
取得最大值，此时4
35b =，解得125
b =． 14．26 【解析】
试题分析：作出不等式组10
24x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域如图，当直线23z x y =+过点()46，
时，z 最大，且max 243626z =⨯+⨯=
考点：线性规划. 15．121 【解析】
在所给的等式中令1x =，1y =,令1x =，1y =-可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求. 【详解】
令1x =，1y =得()5
012345121a a a a a a -=+++++=-，令1x =，1y =-得
()
5
01234512243a a a a a a +=-+-+-=，两式相加，得()0242242a a a ++=，所以024121a a a ++=.
故答案为:121. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易. 16．6 【解析】
已知()21n n S a =+，利用1122n n n n n a S S a a --=-=-，求出{}n a 通项，然后即可求解 【详解】
∵()21n n S a =+，∴当1n =时，()1121S a =+，∴12a =-；当2n ≥时，
1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，故数列{}n a 是首项为-2，公比为2的等比数列，∴2n
n a =-.又()21126n n S a =+=-，∴64n a =-，∴264n -=-，
∴6n =. 【点睛】
本题考查通项求解问题，属于基础题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)11{2
a q ==（2）122n n T n +=-- 【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握． （1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和 解：（1）112121
{
24T a T a a ===+=121
{2a a =⇒=2q ⇒=11{2a q =∴=
（2）12n n
a ，
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅ 23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅+
+⋅+⋅
两式相减：1
22n n T n +=--
18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）42
9
. 【解析】
（Ⅰ）根据GE GA ⊥，GE GF ⊥，可得GE ⊥平面GAF ，故而平面GEF ⊥平面GAF ．
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则可证FH ⊥平面GAE ，故FGH ∠为所求角，在AGF ∆中利用余弦定理计算cos FGH ∠，再计算sin FGH ∠．
【详解】
解：（Ⅰ）因为GE GA ⊥，GE GF ⊥，GE GF G =，GE 平面GAF ，GF ⊂平面GAF
所以GE ⊥平面GAF ， 又GE
平面GEF ，
所以平面GEF ⊥平面GAF ；
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则由GE ⊥平面GAF ，且FH ⊂平面GAF 知
GE FH ⊥，所以FH ⊥平面GAE ，从而FGH ∠是直线GF 与平面GAE 所成角.
因为3AG =，32FG =
，22373
4()22
AF =+=， 所以2
2
2
973
9744cos 329232
GA GF AF AGF GA GF +-
+-∠=
==-⋅⋅⋅⋅， 从而242
sin sin 1cos 9
FGH AGF AGF ∠=∠=-∠=
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 19．（1）见解析；（2）646
27
. 【解析】
（1）设AB 中点为D ，连接PD 、CD ，利用等腰三角形三线合一的性质得出PD AB ⊥，利用勾股定理得出
CD PD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得PD ⊥平面ABC ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAB ⊥平面ABC ；
（2）先确定三棱锥P ABC -的外接球球心O 的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果. 【详解】
（1）设AB 中点为D ，连接PD 、CD ， 因为AP BP =，所以PD AB ⊥. 又AC BC =，所以CD AB ⊥，
又由已知90ACB ∠=，2AC BC ==，则22AB =，所以2AD BD CD ===，.
又PAB ∆为正三角形，且PD AB ⊥，所以6PD =
，
因为22=PC ，所以222PC CD PD =+，PD CD ∴⊥，
CD
AB D =，PD ∴⊥平面ABC ，
又PD ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC ；
（2）由于D 是底面直角三角形ABC 的斜边AB 的中点，所以点D 是ABC ∆的外心， 由（1）知PD ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上. 在Rt PDC ∆中，PC 的垂直平分线与PD 的交点即为球心O ， 记PC 的中点为点E ，则OE PC ⊥. 由Rt PEO ∆与Rt PDC ∆相似可得
PE PD
PO PC
=， 所以22226
36
PE PC PO PD ⋅⨯=
==
. 所以三棱锥P ABC -外接球的体积为3
4
266463327V ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为
2
5
，且23,5X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，由此可得X 的分布列和数学期望．
【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩(
)
2
60,13N ξ~，
所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<
11
(60136013)(6021360213)22P P ξξ=
-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+
0.818=．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为
2
5
． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
，
所以()3
32705125P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭ ， ()2
132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭，
()3
2835125
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．
所以X 的分布列为
所以数学期望()355
E X =⨯=． 【点睛】
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布． 21．（1）{1}；（2）2个，证明见解析 【解析】
（1）要()0f x 恒成立，只要()f x 的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看()f x 是否有最小值； （2）将()f x 图像与()g x 图像的交点个数转化为方程()()f x g x =实数解的个数问题，然后构造函数
()()()x f x g x ϕ=-，再利用导数讨论此函数零点的个数.
【详解】
（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，因为1
()1
f x a x -
'=+， 1°当0a 时，()0,()f x f x '
<在(0,)x ∃∈+∞上单调递减，(0,)x ∃∈+∞时，使得()(0)0f x f <=，与条件矛盾；
2°当0a >时，由()0f x '<，得111x a -<<
-；由()0f x '>，得11x a >-，所以()f x 在11,1a ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，
在11,a ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，即有min 1()11ln f x f a a a ⎛⎫
=-=-+ ⎪⎝⎭
，由()0f x 恒成立，所以1ln 0a a -+恒成立，令11()1ln (0),()1a
h a a a a h a a a
-=-+>=-+='， 若01,()0,()(1)0a h a h a h <<='；
若1,()0,()(1)0a h a h a h ><<='；而1a =时，()0h a ，要使1ln 0a a -+恒成立， 故{1}a ∈.
（2）原问题转化为方程()()f x g x =实根个数问题，
当1a =时，()f x 图象与()g x 图象有且仅有2个交点，理由如下：
由()()f x g x =，即ln(1)sin 0x x x -+-=，令()ln(1)sin x x x x ϕ=-+-， 因为(0)0ϕ=，所以0x =是()0x ϕ=的一根；1
()1cos 1
x x x ϕ-+'=-， 1°当10x -<<时，1
10,cos 01
x x -
+， 所以()0,()x x ϕϕ'<在(1,0)-上单调递减，()(0)0x ϕϕ>=，即()0x ϕ=在(1,0)-上无实根； 2°当03x <<时，2
1
()sin 0(1)
x x x ϕ=
+>+''， 则()x ϕ'
在(0,3)上单调递递增，又210,(0)1022πϕϕπ⎛⎫=->=-<
⎪+''⎝⎭
， 所以()0x ϕ'
=在(0,3)上有唯一实根00,0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足00
11cos 1x x -=+，
①当00x x <时，()0,()x x ϕϕ'在0(0,]x 上单调递减，此时()(0)0,()0x x ϕϕϕ<==在(]00,x 上无实根；
②当03x x <<时，()0,()x x ϕϕ'>在0(,3)x 上单调递增，()12
0e 1ln 1ln 222
1
2
x
x πππϕϕπ-⎛⎫⎛⎫
<=--+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
+
2
ln
ln10,(3)3sin 32ln 22(1ln 2)1sin 30
1
2
ϕπ
<==--=-+-+，故()0x ϕ=在0(,3)x 上有唯一实根.
3°当3x ≥时，由（1）知，ln(1)1x x -+-在(0,)+∞上单调递增， 所以ln(1)122ln 22ln
02
e
x x -+--=>， 故()ln(1)sin ln(1)1(1sin )0x x x x x x x ϕ=-+-=-+-+->，所以()0x ϕ=在[3,)+∞上无实根. 综合1°，2°，3°，故()0x ϕ=有两个实根，即()f x 图象与()g x 图象有且仅有2个交点. 【点睛】
此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题. 22．（Ⅰ）220x y +-=（Ⅱ）01x = 【解析】
（Ⅰ）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；
（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据0PM PN k k +=，即可求得参数的值. 【详解】
（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则2
2112
222
1,4
1.
4
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，可得
()()()()1212121204
x x x x y y y y -++
-+=.（*）
因为线段MN 的中点坐标为11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以122x x +=，121y y +=. 代入（*）式，得
()()1212204
x x y y -⋅+
-=.
所以直线l 的斜率12121
2
y y k x x -=
=--.
所以直线l 的方程为11
(1)22
y x -
=--，即220x y +-=. （Ⅱ）设直线l ：4x my =+（0m ≠），联立2
2
4,
1.4
x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 整理得(
)
2
2
48120m y my +++=.
所以(
)
2
2
6441240m m ∆=-⨯⨯+>，解得212m >. 所以12284m y y m +=-
+，12
212
4
y y m =+. 所以12
1020PM PN y y k k x x x x +=
+--()()()()
1202101020y x x y x x x x x x -+-=--
()()()21121201020x y x y y y x x x x x +-+=
--()()()()()2112120
102044my y my y y y x x x x x +++-+=--
()()
()()
120121020240my y x y y x x x x +-+=
=--，
所以()()12012240my y x y y +-+=. 所以()()()()0120120222
8112824240444
m x m
my y x y y m x m m m -+-+=⋅+-⋅==+++. 因为0m ≠，所以01x =. 【点睛】
本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.。