2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲 简单的三角恒等变形
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β． T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
⎝⎛⎭
⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .
T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
⎝⎛⎭
⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z .
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．
C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan α
⎝⎛⎭
⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .
常用结论
记准四个必备结论
(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a ±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b
a 2＋
b 2
，cos φ＝a
a 2＋
b 2
)． 二、教材衍化
1．若cos α＝－4
5
.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________． 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×2
2＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－72
10
. 答案：－7210
2． sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________． 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22
. 答案：
2
2
3． tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°
1－tan 20°tan 40°，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，
所以原式＝3－3tan 20°tan40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2
＋cos α
22
.( )
(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )
(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan
β)，且对任意角α，β都成立． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错； (3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：sin 50°
sin 65°·1－cos 50°＝________．
解析：原式＝cos 40°
cos 25°1－cos 50°
＝
cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°
2
2
sin 50°＝ 2.
答案： 2
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）
1＋tan α·tan （α－β）
＝
3－21＋3×2＝1
7
.
答案：17
3．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2
10，则tan 2θ＝________． 解析：法一：sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2
10， 得sin θ－cos θ＝1
5
，①
θ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，①平方得2sin θcos θ＝24
25， 可求得sin θ＋cos θ＝75
，
所以sin θ＝45，cos θ＝3
5
，
所以tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－24
7. 法二：因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2
10， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝72
10， 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ， 所以tan θ＝4
3
.
故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－24
7.
答案：－24
7
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
和差公式的直接应用(自主练透)
1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝1
2，则tan(α－β)的值为( ) A ．－2
11
B ．211
C.112
D ．－112
解析：选A.因为sin α＝3
5，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，
所以tan α＝sin αcos α
＝－3
4.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－1
2，
则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β
＝－2
11.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A.15 B ．
55
C.33
D ．255
解析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，所以cos α＝1－sin 2 α，所以2sin α1－sin 2 α＝1－sin 2 α，解得sin α＝5
5，故选B.
3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫
π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．
解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－25
5，
故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π
4sin α ＝
22×⎝⎛⎭⎫－255＋22
×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
55×⎝⎛⎭
⎫－255＝－4
5，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552
＝35
， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π
6sin 2α ＝⎝
⎛⎭⎫－
32×35＋12×⎝⎛⎭
⎫－45 ＝－4＋3310
.
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
三角函数公式的逆用与变形用(多维探究) 角度一 公式的逆用
(1)化简sin 10°
1－3tan 10°
＝________．
(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则
cos C ＝________． 【解析】 (1)
sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°
4⎝⎛⎭
⎫12cos 10°－32sin 10°
＝
sin 20°4sin （30°－10°）＝1
4
.
(2)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B
1－tan A tan B ＝－1，
即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝2
2.
【答案】 (1)14 (2)2
2
角度二 公式的变形用
(1)化简sin 235°－
1
2
cos 10°cos 80°
＝________．
(2)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π
6－sin 2α的结果是________． 【解析】 (1)sin 235°－1
2cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－
12
cos 10°sin 10°＝
－1
2
cos 70°1
2
sin 20°＝－1.
(2)原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α
＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π
3－sin 2α
＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.
【答案】 (1)－1 (2)1
2
(1)和差角公式的常见变形
①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
③tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α
tan β)．
(2)二倍角正、余弦公式的常见变形方式
①配方变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
②因式分解变形：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；
③降幂扩角变形：cos2α＝
1＋cos 2α
2，sin
2α＝
1－cos 2α
2；
④升幂缩角变形：1＋cos α＝2cos2
α
2，
1－cos α＝2sin2
α
2；
⑤公式变形：cos α＝
sin 2α
2sin α
，sin α＝
sin 2α
2cos α
.
1．(一题多解)3cos 15°－4sin215°cos 15°＝()
A.
1
2B．
2
2
C．1 D． 2
解析：选D.法一：3cos 15°－4sin215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.
法二：因为cos 15°＝
6＋2
4，sin 15°＝
6－2
4，所以3cos 15°－4sin
215°·cos 15°＝3×
6＋2
4－4×⎝
⎛
⎭⎪
⎫
6－2
4
2
×
6＋2
4＝
6＋2
4×(3－2＋3)＝
6＋2
4×(23－2)＝ 2.故选D.
2．计算
sin 110°sin 20°
cos2 155°－sin 2155°
的值为________．
解析：
sin 110°sin 20°
cos2155°－sin2155°
＝
sin 70°sin 20°
cos 310°
＝
cos 20°sin 20°
cos 50°
＝
1
2sin 40°
sin 40°
＝
1
2.
答案：
1
2
和差公式的灵活运用(多维探究)
角度一 变角问题
(1)设α，β都是锐角，且cos α＝
55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β＝________． (2)已知cos(75°＋α)＝1
3，则cos(30°－2α)的值为________．
【解析】 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝25
5，
因为sin(α＋β)＝3
5<sin α且α＋β>α，
所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝25
25.
(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13
，
所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－29＝7
9.
【答案】 (1)2525 (2)7
9
角度二 变名问题
求值：1＋cos 20°
2sin 20°
－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°.
【解】 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°
＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝
cos 10°2sin 10°
－sin 10°·cos 10°
12
sin 10°
＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°
2sin 10°
＝
cos 10°－2sin （30°－10°）
2sin 10°
＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－3
2sin 10°2sin 10°
＝
3sin 10°2sin 10°
＝3
2.
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α
4
等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒] 转化思想是实施三角变形的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
1．已知sin 2α＝1
3，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝________． 解析：cos 2⎝⎛⎭
⎫α－π
4＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎫2α－π
22
＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝2
3. 答案：23
2.
cos 10°－3cos （－100°）
1－sin 10°
＝________．(用数字作答)
解析：
cos 10°－3cos （－100°）
1－sin 10°
＝
cos 10°＋3cos 80°
1－cos 80°
＝
cos 10°＋3sin 10°
2·sin 40°
＝
2sin （10°＋30°）
2·sin 40°
＝ 2.
答案： 2
[基础题组练]
1．(2020·新余一模)若sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝3
5，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.4
5 B ．35
C ．－45
D ．－35
解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝35，所以cos 2α＝3
5
，因此sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝1－2cos 2α＝－cos 2α＝－3
5，选D.
2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知sin(α＋2β)＝34，cos β＝1
3，α，β为锐角，则
sin(α＋β)的值为( )
A.37－22
12
B ．3－21412
C.37＋2212
D ．3＋21412
解析：选D.因为cos β＝13，0<β<π2，所以sin β＝223，cos 2β＝2cos 2
β－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－7
9
<0，
所以π
2
<2β<π.
因为sin(α＋2β)＝34，α为锐角，所以π
2<α＋2β<π，
所以cos(α＋2β)＝－
7
4
， 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β] ＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝34×13－⎝⎛⎭⎫－74×223＝3＋21412
.故选D. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π
2<α<0，则2sin 2
α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭
⎫α－π4＝( ) A ．－25
5
B ．－3510
C ．－31010
D ．255
解析：选A.因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，所以tan α＝－13，因为tan α＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－10
10
. 所以2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）
cos ⎝⎛⎭
⎫π4－α＝
4sin α（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）＝22sin α＝22×⎝⎛⎭⎫
－1010＝－255.故选A.
4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝14，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3＝( ) A.3
4
B ．－
34
C.14
D ．±
34
解析：选A.因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝14
， 所以cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋3
2sin x ＝3⎝⎛
⎭
⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×14＝34. 故选A. 5.
2cos 10°－sin 20°
sin 70°
的值是( )
A.12 B ．
32
C. 3
D ． 2
解析：选C.原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°
sin 70°
＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°
sin 70°
＝
3cos 20°
cos 20°
＝ 3.
6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．
解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°cos 10°＝1
8sin 80°
cos 10°＝18.
答案：1
8
7．(2020·洛阳模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝43
5， 可得
32cos α＋12sin α＋sin α＝435
， 即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝43
5， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45
，
所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4
5
8．已知tan α＝m 3
，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2
m ，则m ＝________． 解析：由题意，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m
，则m
3＋11－
m 3＝2m ，所以m ＝－6或
1.
答案：－6或1
9．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35
，－45. (1)求sin ()α＋π的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝5
13
，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝4
5
.
(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±12
13.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝16
65
.
10．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5
5.
(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α＝4
3，tan α＝sin αcos α，
所以sin α＝4
3cos α.
因为sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以cos 2 α＝9
25
，
因此cos 2α＝2cos 2 α－1＝－7
25
.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－
55
， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝25
5，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α
＝－24
7，
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）
＝－2
11.
[综合题组练]
1．(2020·河南九师联盟2月质量检测)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＝25sin ⎝⎛
⎭⎫α＋π4，则tan α＝( )
A.3
4 B ．35
C.43
D ．53
解析：选A.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，所以sin α＋cos α>0. 因为cos 2α＝
25
sin ⎝⎛
⎭⎫α＋π4， 所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝1
5(sin α＋cos α)，
所以cos α－sin α＝1
5
.
将cos α－sin α＝15两边平方可得1－2sin αcos α＝1
25，
所以sin αcos α＝1225.所以sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝12
25.
分子、分母同除以cos 2 α可得tan αtan 2 α＋1＝12
25，
解得tan α＝34或43(舍)，即tan α＝3
4
.
2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n
2cos 227°－1
＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n
2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.
故选C.
3．已知0<α<π2，且sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝________；sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝________．
解析：因为0<α<π2，且sin α＝3
5，
所以cos α＝1－sin 2α＝4
5，
所以tan α＝sin αcos α＝3
4
，
则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝7. sin 2 α＋sin 2α
cos 2α＋cos 2α
＝
sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α
＝
tan 2α＋2tan α2－tan 2α
＝916＋
6
42－916
＝3323.
答案：7
3323
4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1， 得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2
≤α≤π， 所以sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π
2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4. 因为π
2≤α≤π，
所以3π4≤α＋π4≤5π4
，
所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4≤1， 即取值范围为[－1，1]． 答案：[－1，1]
5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－1
4，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1
tan α的值．
解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫
π3－α
＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1
2. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， 所以2α＋π
3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝
⎛⎭⎫2α＋π3－π
3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－3
2×32＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π
3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－3
2
.
所以tan α－1
tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α
＝－2cos 2α
sin 2α
＝－2×－3
212
＝2 3.
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝5
5
，点B 的纵坐标是210
.
(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．
解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝
5
5
，α为锐角， 所以sin α＝255，cos α＝5
5.
又点B 的纵坐标是2
10
. 所以sin β＝
210，cos β＝－7210
， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝
55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－10
10
. (2)因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭
⎫552
－1＝－35， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝4
5，
所以2α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22
， 所以2α－β＝－π
4.。