数学必修4第二单元课件2.2.1

4．在△ABC 中，A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，则 a＋b＋c＝________. 解析： 由向量加法的三角形法则，得A→B＋B→C＝A→C，即 a＋b＋c＝A→B＋B→C＋ C→A＝0. 答案： 0
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第二章 平面向量
抓基础·新知探究
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法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图， (1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b； (2)作平行四边形 AOBC，则O→C＝a＋b； (3)再作向量O→D＝c； (4)作平行四边形 CODE， 则O→E＝O→C＋c＝a＋b＋c. 即O→E即为所求．
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题型三 向量加法的应用 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/时，他在水流速度为 4 千米/时的
河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大 小为多少？
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(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示：A→C＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C＝A→D， ∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则)． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应 注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
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[规律方法] 向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”， 向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简.
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【目标导航】 1．掌握向量加法的概念． 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，理解向量加法的几何意义． 3．会推导向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量加法计算．
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解析： (1)A→O＋B→C＋O→B＝A→O＋O→B＋B→C＝A→B＋B→C＝A→C. (2)①D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝G→E. ②E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E＝E→A＋A→E＝0. 答案： (1)B
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[自主学习]
1．对任意四边形 ABCD，下列式子中不等于B→C的是( )
A.B→A＋A→C
B.B→D＋D→A＋A→C
C.A→B＋B→D＋D→C
D.D→C＋B→A＋A→D
解析： C 项A→B＋B→D＋D→C＝A→D＋D→C＝A→C.A、B、D 项都等于B→C.
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题型二 向量的加法运算 化简：
(1)B→C＋A→B；(2)D→B＋C→D＋B→C； (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A.
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解析： (1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)D→B＋C→D＋B→C ＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B＝0.
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◎ 变式训练 1．如图，已知向量 a、b，求作向量 a＋b.
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解析： (1)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(1)． (2)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(2)． (3)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(3)．
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2．向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到： (1)当 a，b 不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|； (2)当 a，b 同向且共线时，a＋b，a，b 同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|； (3)当 a，b 反向且共线时，若|a|>|b|，则 a＋b 与 a 同向，|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|， 则 a＋b 与 b 同向，|a＋b|＝|b|－|a|.
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[规律方法] (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重 合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为 两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形． ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.
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◎ 变式训练 2．(1)A→O＋B→C＋O→B等于( )
→ A.AB
C．0
→ B.AC
→ D.AO
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(2)如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点， 化简下列各式：
①D→G＋E→A＋C→B； ②E→G＋C→G＋D→A＋E→B.
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(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
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3．边长为 1 的正方形 ABCD 中，|A→B＋B→C|＝( )
A．2
B. 2
C．1 解析： |A→B＋B→C|＝|A→C|＝ 2.
D.2 2
答案： B
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依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600( km)．
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Hale Waihona Puke 第二章 平面向量抓基础·新知探究
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又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2 ＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km， 方向为北偏东 80°.
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[新知初探] 知识点一 向量加法的定义
求__两__个__向__量__和___的运算，叫作向量的加法． 知识点二 向量加法的运算法则
1．三角形法则
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已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b，再作向量A→C， 则向量__A→_C__叫作 a 与 b 的和(或和向量)，记作_a_＋__b_，即 a＋b＝A→B＋B→C＝_A_→_C__．
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解析： 如图，设此人游泳的速度为O→B，水流的速度为O→A，以O→A，O→B为邻
边作▱OACB，则此人的实际速度为O→A＋O→B＝O→C.
由勾股定理知|O→C|＝8，且在 Rt△ACO 中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成 60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/小时．
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝_0__＋_a__＝a.
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2．平行四边形法则
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如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为 起点的__对__角__线__O_→_C___就是 a 与 b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向 量加法的平行四边形法则．
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[规律方法]
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
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◎ 变式训练 3．在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到 达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医 院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
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题型一 已知向量作和向量 如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
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解析： 法一：可先作 a＋c，再作(a＋c)＋b，即 a＋b＋c.如图，首先在平面 内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量A→B＝c，则得向量O→B＝a＋c，然后作 向量B→C＝b，则向量O→C＝a＋b＋c 为所求．
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2．2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义
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[方法拓展] 向量加法的多边形法则 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向 量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的 向量就是这些向量的和向量． 如图，即：A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An.或A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An ＋A→nA1＝0.
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这是一个极其简单却非常有用的结论．
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利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效． ◎在正六边形 ABCDEF 中，A→C＋B→D＋C→E＋D→F＋E→A＋F→B＝________.
知识点三 向量加法的运算律 1．交换律：a＋b＝_b_＋__a__． 2．结合律：(a＋b)＋c＝_a__＋(_b_＋__c__)．
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[思维启迪] 1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不 共线的向量求和．
答案： C
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2．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( ) A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b无论什么关系均可 解析： 只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正 确． 答案： A
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解析： 如图所示，设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km.
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝ → AC.