江西数学高二下期末经典复习题(含答案)

一、选择题
1．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当
2
3
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()220f f f -<<
B ．()()()220f f f <-<
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()022f f f <-<
2．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，
2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）
A ．
121126
e e - B ．1211
26
e e -
+ C ．
1211
26
e e + D ．
1217
26
e e + 3．已知函数()()π2cos 332
f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭
，()f x 的图象恒在
直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．ππ,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
D ．ππ,63⎛⎫
-
⎪⎝⎭
4．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π
4
个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．sin(2)4
y x π
=+
B ．sin()24
x y π
=+
C ．cos 2
x y =
D ．cos 2y x =
5．将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4
π
个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ等于（ ） A ．6
π-
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 6．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos
56
π
)，则角x 的最小正值为( ) A ．56
π B ．53
π
C ．
116
π
D ．
23
π 7．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝（ ）
A ．43
-
B ．
43
C ．4
3
-
或0 D ．
4
3
或0 8．已知P （
14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪
⎝
⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A ．54
π-
B ．54
π
C ．－
34
π D ．
34
π 9．已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-= （ ）
A ．
25
5
B ．255
-
C ．
52
D ．52
-
10．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．
12
D ．
34
11．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
或32sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．32sin 24
y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
D ．32sin 24
y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
12．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
13．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6
x π
=
对称
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 的最小值为1-
D ．()f x 的图象关于点(,0)12
π
-
对称
14．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫
=
⎨⎬⎩⎭
,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3π
B ．2π
C ．π
D ．
π2
15．已知tan 24πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
,则sin 2α=（ ） A ．
310 B ．
35
C ．65
-
D ．125
-
二、填空题
16．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 17．设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________． 18．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________. 19．已知()1,3a =-，()1,b t =，若()
2a b a -⊥，则b =_________． 20．将函数()2sin(2)6
f x x π
=-
的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原
点对称，则φ的最小值为__________．
21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3
B π
=，当ABC ∆的面积等
tan C =__________． 22．已知1cos()63
π
α+=，则5sin(2)6π
α+=________．
23．函数1ππ
()sin ()cos ()536
f x x x =
++-的最大值为___________. 24．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则
λμ+=__________．
25．已知1
tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭
的值为
__________．
三、解答题
26．已知向量a 、b 的夹角为2
,||1,||23
a b π==.
（1）求a ·b 的值
（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.
27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；
（2）求sin 24B π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值. 28．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2
22sin 2cos 22
B A
a b b c +=+． （1）求B ；
（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围．
29．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料
(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系
(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧
=+的回归系数a ∧，b ∧
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:
2
1
22
1
1
1
ˆ,,90,112.3n
i i
n n
i i i i n
i i i
i x y nxy
b a
y bx x x y x
nx ====-=
=-==-∑∑∑∑ 30．设函数()sin(2)16
f x x π
=++.
(1)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的值域; (2)ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3
()2
f A =
23a b =,求sin C .
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B
2．A
3．C
4．D
5．B
6．B
7．D
8．B
9．A
10．B
11．C
12．B
13．A
14．A
15．B
二、填空题
16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的
17．【解析】因为所以故答案为
18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
19．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟
21．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出
22．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
23．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力
24．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则
25．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，∴ω=2π
π
=2．
又∵当x=
2
3
π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×2
3
π +φ=2kπ+
32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6
π
，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6
π
）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6
π
﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6
π
）＜0， f （0）=Asin 6π
=Asin 56
π＞0， 又∵
32π＞6π
﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2
π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算求解即可. 【详解】
由题, ()
12111111
322626
MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=
+-=-=-.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.
3．C
解析：C 【解析】
分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤
⎪⎝
⎭，ππ,612x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，324
x π
π
ϕϕϕ+∈-
++（，），
又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，
222333304
2cos x cos x π
πϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，
解得04
π
ϕ≤≤
；
∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
故选C ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】
函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移
π
4
个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由
变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值. 【详解】
()()()
sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝⎭
,
将函数()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x ππ
πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈，
得()116k k Z ϕπ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6
π
=ϕ. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin
06π>，5cos 06
π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
5sin cos
62
x π==-
，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：把2sin 21cos2αα=+的两边平方得2
2
4sin 2(1cos 2)αα=+，整理可得
2244cos 412cos 2cos 2ααα-=++，即25cos 22cos 230αα+-=，所以(5cos 23)(cos 21)0αα-+=，解得3cos 25α=
或cos21α=-，当2
312sin 5
α-=时，1cos 244
sin 2,tan 2253
ααα+===；当cos21α=-时，1cos 2sin 20,tan 202ααα+=
==，所以4
tan 23
α=或0，故选D. 考点：三角函数的基本关系式及三角函数的化简求值.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-． 【详解】 因为512244π
ω⎛⎫-=
⎪⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得 ()24
k k Z ϕππ
=-
+∈，因为2
π
ϕ<
，所以5,4
4
π
π
ϕωϕ=-
-=
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-，
因为(,0)2απ∈-
，所以cos α==，
又由sin tan(2)tan cos απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值. 【详解】
依题意可知1tan 2α=-，
11
sin cos tan 1
231sin sin tan 1
12
αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题. 11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】
由图象可知2A =，因为884
π
ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8
x π
=-
时，2sin 228πφ⎛⎫
-
⋅+= ⎪⎝⎭
， 即sin 14πφ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 故选C. 【点睛】
本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．
12．B
解析：B 【解析】
∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λ
λμμ
=== 故选B.
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】 由题意，函数
2111
()cos cos 2cos 2sin(2)22262
f x x x x x x x π=+=
++=++， 当6
x π
=
时，113()sin(2)sin 6
662222f ππ
ππ=⨯
++=+=，所以6
x π
=函数()f x 的对称轴，故A 正确；
由sin(2)[1,1]6
x π
+∈-，所以函数()f x 的最大值为3
2，最小值为12
-，所以B 、C 不正确；
又由12
x π
=
时，11
()sin(2)6
126222f π
π
π
=⨯
++=+
，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14．A
解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2π
ω
的值 【详解】
由题意可得()1
sin 2
x ωθ+=
的解为两个不等的实数1x ，2x
且123ππω⨯
=，求得2
3
ω= 故()f x 的最小正周期是23π
πω
=
故选A 【点睛】
本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题
15．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭
求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααα
αααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
， tan 1
21tan αα
+=--，解得tan 3α=，
222
2sin cos 2tan 63
sin 2sin cos tan 1105
ααααααα=
===++. 故选：B 【点睛】
此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.
二、填空题
16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】
根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】
设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =
()1,b c x k y -=-- ，
1b c -=
()()2
2
11x y k ∴-+-=，
∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，
a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】
本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.
17．【解析】因为所以故答案为
解析：2
3
-
【解析】
因为a b ⊥，所以()20,210,3a b x x x ⋅=++=∴=-
，故答案为23
-. 18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得2
(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】
由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==
则2
2
1
(2)22cos60422162
a a
b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
19．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
【解析】 【分析】
利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值，进而求得b . 【详解】
()23,32a b t -=--，由于()2a b a -⊥，故()23960a b a t -⋅=+-=，解得2t =，
故()221,212b b ==+=， 【点睛】
本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.
20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：
12
π
【解析】
分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122
k k k Z k Z πππ
φπφ-=∈∴=+∈
因为0φ>，所以min .12
π
φ=
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.
21．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出
解析：-
【解析】
由题意
1sin 23ac π=4c =⇒=，则b ==，
所以由余弦定理cos
C =
=sin C ==
tan (C =
=-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出
边b ==，然后再运用余弦定理求出
cos
C =
=，进而求出sin C ==
tan (C =
=- 22．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
解析：7
9
-
【解析】
分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解． 详解：由题意
25sin(
2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366
ππππππ
ααααα+=++=+=+=+-， 又由1
cos()63
π
α+=， 所以22517sin(
2)2cos ()12()16639
ππαα+=+-=⨯-=-． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
23．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：
65
【解析】
分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 详解：函数()1ππ1πsin cos 353
656f
x x x sin x cos x π⎛⎫⎛
⎫=
++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（）（） 1ππ6π6
533535
sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为
6
5
． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
24．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不
共线向量则
解析：
12. 【解析】
分析：先根据三角形法则化AE 为1
2
AB AD +
，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为1 2AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭,
因为,AB AD 不共线，所以1
11=1
+=0=-,+=.222
λλμμλμ∴， 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，
1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，
25．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题 解析：
65
【解析】
分析：由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得tan 2α=，化简()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭
，即可求得其值.
详解：
tan tan
tan 114tan ,tan 2,4tan 13tan tan 4
π
απαααπαα--⎛⎫-=
==∴= ⎪+⎝
⎭+ 由()()22
cos sin cos sin sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+ ⎪⎝⎭
22222
sin sin cos tan tan 6.sin cos tan 15
αααααααα++===++ 即答案为
6
5
. 点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
三、解答题 26．
（1）1-；（2）2. 【解析】
【分析】
（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值．
【详解】
（1）21cos
12132a b a b π⎛⎫
⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b
a +=-，
整理得到：()2
2
220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫
+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭
， 解得2t =． 【点睛】
本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b
垂直的等价条件是
0a b ⋅=，本题属于基础题． 27．
（1）34-
（2）16
【解析】
试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得2
2
2
3
2
a c
b a
c +-=-
， 根据余弦定理得
2
2
2
332cos 224
ac
a c
b B a
c ac -+-===-
；
（2）由3cos 4B =-
，得sin 4
B =， ∴sin22sin
cos B B B ==
2
1cos22cos
18B B
=-=，
∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816
B B B πππ⎫⎛
⎫+=+=-+
=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 28．
（1）3B π
=；（2）2⎤
⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值
后即可求出B 的值；
（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B
C b
=求解sin C 的取值范围. 【详解】
（1）已知得2
(1cos )12cos
2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝
⎭
， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，
即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1
cos 2
B =
，解得3B π=．
（2）由余弦定理得22222
2cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，
∵[2,6]a ∈，∴[33,6]b ∈，sin 3sin ,12c B C b ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查解三角形的综合应用，难度一般.
（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；
（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.
29．
（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】 【分析】
（1）在坐标系中画出5个离散的点；
（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】
（1）散点图如下：
所以从散点图年，它们具有线性相关关系.
（2）2345645x ++++=
=， 2.2 3.8 5.5 6.57.0
55y ++++==，
于是有2112.354512.3
1.23905410
b -⨯⨯=
==-⨯，
51,2340.08a y bx =-=-⨯=.
（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+
当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. 【点睛】
本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.
30．
（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2【解析】 【分析】 （1）根据0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π+的范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出A 的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】
（1）0,,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x π
ππ⎡⎤∴+
∈⎢⎥⎣⎦
， 1sin 21226x π⎛
⎫∴
++ ⎪⎝
⎭ ∴函数()f x 的值域为1
,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，
（2）
3()sin 2162f A A π⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭，
1sin 262A π⎛
⎫∴+= ⎪⎝
⎭，
0,A π<< 1326
6
6
A π
π
π
∴
<+
<
，
5266A ππ∴+
=， 即3
A π
=,
2a =
由正弦定理得：A B ==，
sin 2B ∴=， 203B π∴<<，则4B π=，
sin sin[()]sin()sin cos cos sin 34343434C πππππππππ∴=-+=+=+==
【点睛】
本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.。