2020年浙江省宁波市中兴中学高三数学文月考试题含解析

2020年浙江省宁波市中兴中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，若有，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
由已知得，，
若有，则，即，
解得，故选择B。

2. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是( )
A． B. C. D.
参考答案：
D
略
3. （文）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n}，若a3＝8，且
a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是
A．13,12 B．13,13 C．12,13 D．13,14
参考答案：
B
4. 设命题p：?x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）
A．?x＞0，x﹣lnx≤0 B．?x＞0，x﹣lnx＜0
C．?x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．?x0＞0，x0﹣lnx0≤0
参考答案：
D
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“?x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是?x＞0，x﹣lnx≤0．
故选：D．
5. 已知向量=（1，0），=（0，1），则下列向量中与向量2+垂直的是（）
A． +B．﹣C．2﹣D．﹣2
参考答案：
D
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据坐标运算求出2+和﹣2的坐标，计算即可．
【解答】解： =（1，0），=（0，1），
则2+=（2，1），
而﹣2=（1，﹣2），
故（2+）（﹣2）=0，
故选：D．
6. 已知集合，，则A∩B=（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
∵，，∴.
7. 若函数的图象上的任意一点满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数值具有性质的
是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．
考点：函数的图像性质
8. 命题“，使得”的否定是（）
A．，都有B．，都有
C．，都有D．，都有
参考答案：
D
由特称命题的否定得命题“，使得”的否定是，都有. 故选D.
9. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象
限D．第四象限
参考答案：
B
略
10. 设直线l与平面α相交但不垂直，则下列命题错误的是（）
A．在平面α内存在直线a与直线l平行
B．在平面α内存在直线a与直线l垂直
C．在平面α内存在直线a与直线l相交D．在平面α内存在直线a与直线l异面
参考答案：
A
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：由直线l与平面α相交但不垂直，知：
根据线面平行的判定定理，可得α内不存在直线与l平行，故A错误；
α内存在与l垂直的直线，如图，作P作PO⊥α于O，则AO是a在α内的射影，若b⊥AO，则b⊥平面PAO，b⊥a，故满足b⊥AO的直线b有无数条，即在平面α，内有无数条直线与直线a垂直，故B正确；
由图可知，C，D正确．
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 底面边长为2，高为1的正四棱锥的表面积为．
参考答案：
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】正四棱锥的表面积包括四个全等的侧面积，即可得出结论．
【解答】解：如图，正四棱锥的表面积包括四个全等的侧面积，
而一个侧面积为：×BC?VE=×2×=；
∴S=．
故答案为：．
12. 在极坐标系中，点
到圆ρ=2cosθ
的圆心的距离是
．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式． 【专题】计算题．
【分析】先将极坐标方程化为一般方程，然后再计算点
到圆ρ=2cosθ
的圆心的距离．
【解答】解：∵在极坐标系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p 和θ得， ∴（x ﹣1）2+y 2=1，
∴圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1．
∴点在一般方程坐标为（1，
），
∴点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是 d=
=
，
故答案为
．
【点评】此题考查极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题． 13. （不等式选做题）不等式
的解集为 ．
参考答案：
略
14. 设向量满足：则向量的夹角为 ．
参考答案：
15. 若实数x ，y 满足约束条件，则的最大值是________．
参考答案：
2
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值. 【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：
可变形为
，表示斜率为
的直线，
平移该直线，当直线经过点
时，取得最大值，
．
16. 已知
,那么
展开式中含
项的系数为________________.
参考答案：
【知识点】定积分 二项式定理B13 J3
135根据题意，
，
则中，由二项式定理的通项公式可设含项的项是，可知，所以系数为，故答案为135.
【思路点拨】根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将代入，利用通项公式来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含是第几项，由此算出系数
17. 的内角所对的边分别为，若，则角
．
参考答案：
60°
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知集合如果，
求实数的取值范围。

参考答案：
19. （本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分）
某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取
100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各
抽取多少名志愿者？
(Ⅱ) 在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4
组至少有一名志愿者被抽中的概率.
参考答案：
解: （Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为
0.1×100=10.…………3分
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽
取的人数分别为:第3组:×6=3; 第4组:×6=2; 第5组:×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
(Ⅱ) 记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,.则从5名志愿者中抽取2名志
愿者有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),,(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)共有10
种.
…………9分
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2),共有7种
…………11分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为. …………13分
略
20. （本小题满分14分）已知函数，曲线在点处的切线为
:，且时,有极值.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
参考答案：
切线的斜率，，将代入切线方程可得切点坐标，根据题意可联
立得方程
解得
（2）由（1）可得，
令，得或.
极值点不属于区间,舍去.
分别将代入函数得
.
21. （本小题满分14分）
已知函数(R).
(1) 求的最小正周期和最大值；
(2)若为锐角，且，求的值.
参考答案：
(1) 解: …… 2分
…… 3分
.
…… 5分
∴的最小正周期为, 最大值为
. …… 7分
(2) 解:∵, ∴. …… 8分
∴.
…… 9分
∵为锐角，即, ∴.
∴.
…… 12分
∴.
…… 14分
22. 如图所示，是⊙直径，弦的延长线交于，垂直于的延长
线于.
求证：(1)；
（2）.
参考答案：
解：（1）连AD，∵AB是圆O的直径，∴则A、D、E、F四点共圆，
∴
（2）由（1）知,又≌∴
即
∴
即
略。