微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题

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探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法 是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问 题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理 方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M的坐标为元的方程问题，利用该方 程的解与点M的坐标无关来研究问题.
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解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
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(2)因为 PA⊥QA，AP＝3，AQ＝4，所以 PQ＝ 32＋42＝5， 故点Q在以P为圆心，5为半径的圆上运动. (3)因为点Q(a，b)在直线x＋y－9＝0上，所以点Q(a，9－a)， 所以，以PQ为直径的圆M的方程为x2＋y2－ax－(9－a)y＝0， 又AB为圆P与圆M的公共弦，所以直线AB的方程为ax＋(9－a)y－9＝0，即a(x－y) －9y－9＝0， 从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).
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∵圆 M 与 AC 相切，∴1＝ |k11＋＋kt|12，∴k1＝1－2tt2， 同理，k2＝1－2（（t＋t＋66））2，∴k1－k2＝3（t2t＋2＋6t6＋t 1）， ∴S＝6（ t2＋t2＋ 6t＋6t） 1 ＝61－t2＋61t＋1. ∵－5≤t≤－2，∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
距
b
取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|＝ 2
3，解得 b＝－2± 6.
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
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(2)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的 直线与圆有两个交点，在这两个交点处x2＋y2取得最值. 因为圆心到原点的距离为 （2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3， x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
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(2)证明 抛物线C的焦点为F(0，－1). 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0). 由yx＝ 2＝k－x－4y1，，得 x2＋4kx－4＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则解方程得 x1，2＝－2k±2 k2＋1， 从而x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.
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热点三 与圆有关的定值问题 【例 3】 (2018·高邮调研)如图，已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝1，直线 l 的方程为 x－y＋
2 2＝0，点 P 是直线 l 上的动点，过点 P 作圆 O 的切线 PA，PB，切点为 A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点 P 的坐标； (2)在(1)的条件下，对于圆 O 上任意一点 M，平面内是否存在一定点 R，使MMRP为 定值？如果存在，求出点 R 的坐标；如果不存在，请说明理由.
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因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO ＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋ y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
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(1)解 由题意可设直线 A2Q 的方程为 y＝k′(x－2)，直线 A1Q 的方程为 y＝－k1′(x＋ 2)，k′≠0. 由yy＝ ＋k3′＝（0x，－2），解得xy＝ ＝2－－3k，3′， 由yy＝ ＋－ 3＝k1′0（，x＋2），解得xy＝ ＝－3k′3－. 2， 所以直线 A2Q 与直线 y＋3＝0 的交点为 M2－k3′，－3，
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【训练1】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3，
它表示以(2，0)为圆心， 3为半径长的圆.
(1)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截
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2

∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
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(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
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(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
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则－－22xy00＝＝－2 22λ，2λ，解得xλ＝0＝14－，
x20＋y20＋1＝5λ，

y0＝
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42，
λ＝1， 或x0＝－ 2，（舍去）.
y0＝ 2
所以
R

的坐标为－

42，
42，
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经检验，符合条件MMRP＝12，
所以对于圆 O 上任意一点 M，平面内存在一定点 R，使MMRP为定值，且 R 的坐标为
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3.定值问题的处理 (1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值. (2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推 广至一般情形.
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热点一 最值与范围问题 【例 1】 已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上，半径为 1，直线 l：y＝43x－12被圆 M 所截
∴Smax＝6×1＋14＝125，Smin＝6×1＋18＝247， ∴△ABC 的面积 S 的最大值为125，最小值为247.
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探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面 (1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k，b，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数. (2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类 问题主要是建立关于与参数如k或(x，y)的函数，运用函数或基本不等式求最值.
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【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O：x2＋y2＝4与坐标轴交于点A1，A2，B1， B2(如图). (1)点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，A2Q，A1Q与直线y＋3＝0交于不同的 两点M，N，求MN的最小值； (2)点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线 A1B2交A2P于点E.设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m－k为定值.
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热点二 与圆有关的定点问题 【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N， 直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的 两个定点. (1)解 由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
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解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
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令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11， 同理得 B 的横坐标 xB＝－xy22. 所以 A－yx11，－1，B－xy22，－1. 设点 D(0，n)，则D→A＝－yx11，－1－n， D→B＝－xy22，－1－n，
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D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x4x121x－2 x422＋(n＋1)2 ＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得 n＝1 或 n＝－3. 故以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).
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因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以 MP＝x＋1. 因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P.
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考点整合 1.最值与范围问题 (1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解. (2)常见的最值问题有以下几种类型： ①形如 μ＝yx－ －ba的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如 t＝ax＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如 μ＝(x－a)2＋(y－b)2 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值 问题.
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(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x－a)2＋(y －b)2＝r2，可设x＝a＋rcos θ，y＝b＋rsin θ.
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2.定点问题的求解步骤 (1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化， 可以选择这个量为参变量. (2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整 体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量 时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量 可看作系数). (3)定点：求出定点坐标.利用方程ax＋b＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可 以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.
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探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目 逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式， 再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊 情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.
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【训练2】 已知圆x2＋y2＝9的圆心为P，点Q(a，b)在圆P外，以PQ为直径作圆M与圆 P相交于A，B两点. (1)试判断直线QA与圆P的位置关系； (2)若QA＝QB＝4，试问点Q在什么曲线上运动？ (3)若点Q在直线x＋y－9＝0上运动，问：直线AB是否过定点？若过定点，求出定点 的坐标；若不过定点，请说明理由. 解 (1)因为以PQ为直径的圆M与圆P相交于A，B， 所以PA⊥QA，又AP为圆P的半径，所以AQ为圆P的切线， 从而直线QA与圆P相切.
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
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真题感悟
(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直 线x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由. 解 (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋ y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).