微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
与圆有关的定点定值值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一 与圆有关的定点问题
【例 1】 已知⊙ M ： x2＋ (y－ 2)2＝ 1， Q 是 x 轴上的动点， QA ， QB 分别切⊙ M 于 A， B 两点． (1) 若 |AB |＝ 4 3 2，求 |MQ |、 Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程； (2) 求证：直线 AB 恒过定点．
而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx－2y＋3＝
0，所以直线
AB
恒过定点
?
?0，
?
3? 2??.
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[方法总结] 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动 直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直 线或动圆的方程．
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答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
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2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是 ________ ．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b| ＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
Δ_＜__0
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【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
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考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
高中数学与圆有关的最值问题
高中数学与圆有关的最值问题
在解决与圆有关的最值问题时，我们可以使用以下方法：
1. 建立坐标系：将问题转化为在坐标系中求最值的问题。
2. 确定变量：确定影响最值的变量，并建立函数关系式。
3. 利用函数的性质：利用函数的单调性、对称性、最值等性质，求出最值。
4. 结合圆的性质：利用圆的性质，如半径、弦长、圆心等，求出最值。
下面是一个例子：
求圆x^2 + y^2 = 4 上一点到原点的距离的最大值和最小值。
解：设圆上的点为(2cosθ, 2sinθ)，则该点到原点的距离为√(4cos^2θ+ 4sin^2θ) = 2。
因此，最大值为2+2=4，最小值为2-2=0。
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真题感悟(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.考点整合1.最值与范围问题(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.(2)常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一 最值与范围问题【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.热点二 与圆有关的定点问题【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，从而x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 故以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】 已知圆x 2＋y 2＝9的圆心为P ，点Q (a ，b )在圆P 外，以PQ 为直径作圆M 与圆P 相交于A ，B 两点.(1)试判断直线QA 与圆P 的位置关系；(2)若QA ＝QB ＝4，试问点Q 在什么曲线上运动？(3)若点Q 在直线x ＋y －9＝0上运动，问：直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)因为以PQ 为直径的圆M 与圆P 相交于A ，B ，所以P A ⊥QA ，又AP 为圆P 的半径，所以AQ 为圆P 的切线，从而直线QA 与圆P 相切.(2)因为P A ⊥QA ，AP ＝3，AQ ＝4，所以PQ ＝32＋42＝5，故点Q 在以P 为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q (a ，b )在直线x ＋y －9＝0上，所以点Q (a ，9－a )，所以，以PQ 为直径的圆M 的方程为x 2＋y 2－ax －(9－a )y ＝0，又AB 为圆P 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为ax ＋(9－a )y －9＝0，即a(x－y)－9y－9＝0，从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的定值问题【例3】(2018·高邮调研)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x－y＋22＝0，点P是直线l上的动点，过点P作圆O的切线P A，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，对于圆O上任意一点M，平面内是否存在一定点R，使MR MP为定值？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.解(1)连接OP，OA，OB，因为P A，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OA⊥P A，OB⊥PB.因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2.设点P的坐标为(t，t＋22)，则t2＋(t＋22)2＝4，t2＋22t＋2＝0，即(t＋2)2＝0，解得t＝－2，所以点P的坐标为(－2，2).(2)假设存在符合条件的定点R.设点M(x，y)，R(x0，y0)，MR2MP2＝λ，则x2＋y2＝1，即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋2)2＋(y－2)2]，整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(22x－22y＋5)，上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，则⎩⎨⎧－2x 0＝22λ，－2y 0＝－22λ，x 20＋y 20＋1＝5λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，x 0＝－24，y 0＝24或⎩⎨⎧λ＝1，x 0＝－2，（舍去）y 0＝2.所以R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， 经检验，符合条件MR MP ＝12，所以对于圆O 上任意一点M ，平面内存在一定点R ，使MR MP 为定值，且R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24. 探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M 的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M 的坐标无关来研究问题.【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与坐标轴交于点A 1，A 2，B 1，B 2(如图).(1)点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，A 2Q ，A 1Q 与直线y ＋3＝0交于不同的两点M ，N ，求MN 的最小值；(2)点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.(1)解 由题意可设直线A 2Q 的方程为y ＝k ′(x －2)，直线A 1Q 的方程为y ＝－1k ′(x＋2)，k ′≠0.由⎩⎨⎧y ＝k ′（x －2），y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3k ′，y ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k ′（x ＋2），y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3k ′－2，y ＝－3. 所以直线A 2Q 与直线y ＋3＝0的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ′，－3， 直线A 1Q 与直线y ＋3＝0的交点为N (3k ′－2，－3)，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4. 当k ′＞0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥6－4＝2，当且仅当k ′＝1时等号成立； 当k ′＜0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥|4－(－6)|＝10，当且仅当k ′＝－1时等号成立. 故线段MN 长度的最小值是2.(2)证明 由题意可知点A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，A 2P 的斜率为k ，所以直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 2＋y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＋1，－4k k 2＋1， 则直线B 2P 的方程为y ＝－k ＋1k －1x ＋2， 令y ＝0，则x ＝2（k －1）k ＋1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k －1）k ＋1，0. 因为直线A 1B 2的方程为x －y ＋2＝0，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋2k －1，y ＝4k k －1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k －1，4k k －1， 所以EF 的斜率m ＝4kk －12k ＋2k －1－2（k －1）k ＋1＝k ＋12， 所以2m －k ＝2·k ＋12－k ＝1(定值).【新题感悟】 (2019·苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________.解析 直线l 的斜率k 不存在或为0时均不成立，设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆心C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1.因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，化为：16k 2－8k 2m ＝3k 2＋3，k 2＝313－8m＞0，得：m ＜138.又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1，即3m 2＋8m －16＜0，解得：－4＜m ＜43.综上，－4＜m ＜43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，43一、填空题1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22.(2019·靖江调研)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：3x＋4y－17＝0.若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为________.解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos θ＝ACCM＝1CM，知当θ最小时，cos θ最大，即CM最小，那么CM⊥l，所以k AB＝k l＝－34.设直线AB的方程为3x＋4y＝m.又由CM＝|3＋4－17|5＝2，此时cos θ＝12，则点C到直线AB的距离为AC cos θ＝12，即1 2＝|3＋4－m|5，解得m＝192或m＝92，经检验m＝192，则直线AB的方程为6x＋8y－19＝0.答案6x＋8y－19＝03.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.解析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与直线2x＋y－4＝0垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直径最小，此时OD＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4 5π.答案4 5π4.(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝22，所以2≤S△ABP≤6. 答案[2，6]5.(2019·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________.解析圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－4 3.答案－4 36.(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.解析设P(x0，2ln x0)，x0>0，则函数y＝2ln x在点P处的切线斜率为2x0，则2x0·2ln x0x0－3＝－1，即4ln x0＝－x0·(x0－3)①.由二次函数y＝f(x)的图象经过点O和M可设f (x )＝ax (x －3)，代入点P (x 0，2ln x 0)，x 0>0，得2ln x 0＝ax 0(x 0－3) ②.由①②比较可得a ＝－12，则f (x )＝－12x (x －3)，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98.答案 987.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________.解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心(0，0)到直线2ax ＋by ＝1的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数图象为对称轴为b ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∴f (b )min ＝f (2)＝12(2－2)2， ∴d 的最小值为12（2－2）2＝（2－1）2＝2－1.答案2－18.(2019·南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________. 解析 设AB 的中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即|OD →|2≥18|AB →|2.再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d ＜r ，得|b |2＜3，所以－32＜b ＜32，根据|OD→|2≥18|AB →|2，|AB →|2＝4(9－OD →2)，得|OD →|2≥3.由点到直线的距离公式可得|OD →|2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－ 6.综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32). 答案 (－32，－6]∪[6，32) 二、解答题9.如果实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值； (2)求2x －y 的最小值.解 (1)问题可转化为求圆(x ＋2)2＋y 2＝3上任意一点到原点连线的斜率k ＝yx 的最大值，由图形性质可知，由原点向圆(x ＋2)2＋y 2＝3作切线，其中切线斜率的最大值即为yx 的最大值.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由|－2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝3或k ＝－3，所以yx 的最大值为 3.(2)将2x －y 看作直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的纵截距的相反数，当直线y ＝2x ＋b 与圆(x ＋2)2＋y 2＝3相切时，纵截距b 取得最大值或最小值.此时|－4＋b |22＋1＝3，所以b ＝4±15，所以2x －y 的最小值为－4－15. 10.(2019·扬州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度； (2)如图，设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，点M关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于(0，m )和(0，n )，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由于圆心(0，0)到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|2＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1(－x 1，－y 1)，M 2(x 1，－y 1)， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，可得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0，求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0，求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.所以mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝x 22（4－x 21）－x 21（4－x 22）x 22－x 21＝4. 故mn 为定值.11.如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP→是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.解 (1)由圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上.由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1，2). 设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP→＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2BA →·BP →； 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10. 综上所述，(BM →＋BN →)·BP→为定值－10.。
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
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3.
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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答案 4
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初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
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【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
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法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
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解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
苏教版高中数学高考二轮复习专题：与圆相关的定点、定值问题
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与圆相关的定点、定值问题
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本专题主要来研究与圆相关的定点、定值问题的处理方法
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作业：
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比较变量 前的系数
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与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案
与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。
2020届高考数学二轮复习专题《与圆相关的定点、定值问题》
对于圆方程 x2＋y2＝1，令 y＝0，得 x＝±1，即 P(－1,0)，Q(1,0)，又直线 l
过点
A
且与
x
轴垂直，所以直线
l
方程为
x＝3，设
M(s，t)，则直线
PM
方程为
y＝
t s＋1(x
x＝3， ＋1)．解方程组y＝s＋t 1(x＋1)，
得 P′3，s＋4t1同理可得，Q′3，s－2t1.所以以 P′Q′为直
已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝1，设圆 O 与 x 轴交与 P，Q 两点，M 是圆 O 上 异于 P，Q 的任意一点，过点 A(3,0)且与 x 轴垂直的直线为 l，直线 PM 交直线 l 于点 P′， 直线 QM 交直线 l 于点 Q′.
求证：以 P′Q′为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标．
(2)设直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S，T，求证：点 Q，S，T 三点共线．
证明：由(1)知 P－21，y0，kPA＝2y0，kPB＝－32y0，直线 PA 的方程为 y＝2y0(x＋1)，
代入 x2＋y2＝1 得(x＋1)[(1＋4y20)x－(1－4y20)]＝0， 所以点 S 的横坐标 xS＝11－＋44yy2020，从而 yS＝1＋4y40y20.同理：xT＝－99＋＋44y20y20，yT＝91＋2y40y20，
1＋t42－2＋4t2＋2－t222＝ 6，解得 t＝±2.所以圆 D 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2
或(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)若 M 是 l 上的动点，求证点 P 在定圆上，并求该定圆的方程． 点 P 在定圆 x2＋y2＝2 上．
设 P(x0，y0)，由(1)知(x0－1)2＋y0－2t 2＝1＋t42， 即 2x0＋ty0－2＝0，
压轴题中的与圆有关的最值以及取值范围问题
压轴题中的与圆有关的最值以及取值范围问题中考培优辅导讲义要解答一个圆中的动点问题，特别是圆中的最值问题，需要对圆的基础知识、基本技能和基本思维方法有足够的掌握。
充分利用转化的思想以及思路，既要凭直观感觉去寻找、猜想，利用关键位置来求解，又要对其真正的几何原理理解透彻.解题策略：1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.已知OA＝5，sin∠O＝35，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半径作⊙A．（1）如图1，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′．①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．图1思路点拨1．把不变的量先标记出来，圆心A到直线OB的距离AE＝3，翻折以后的圆心A′的位置不变，AA′＝2AE＝6．2．若⊙A′与直线OA相切，那么圆心A′到直线OA的距离等于圆的半径，由此自然就构造出垂线，以AA′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的．3．探究两圆相切，在罗列三要素R、r、d的过程中，发现先要突破圆心距A′D．满分解答（1）如图2，作AE⊥BC，垂足为E，那么E是BC的中点．在Rt△OAE中，OA＝5，sin∠O＝35，所以AE＝3．在Rt △BAE 中，AB ＝AD ＝5－x ，AE ＝3，BE ＝1122BC y =， 由勾股定理，得2221(5)3()2x y -=+．整理，得y =0≤x ＜2．图2 图3（2）①如图3，将⊙A 沿直线OB 翻折后得到⊙A ′，AA ′＝2AE ＝6． 作A ′H ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △A ′AH 中，AA ′＝6，sin ∠A ′＝35，所以AH ＝185，A ′H ＝245．若⊙A ′与直线OA 相切，那么半径等于A ′H ． 解方程2455x -=，得15x =．②如图4，在Rt △A ′DH 中，'A D = 对于⊙A ′，R ＝5－x ；对于⊙D ，r ＝DO ＝x ；圆心距d ＝A ′D ．如果两圆外切，由d ＝R ＋r 5x x -+．解得145x =（如图4）．如果两圆内切，由d ＝|R －r||5|x x =--． 解得86515x =>．所以两圆不可能内切．图4 图5考点伸展当D为OA的中点时，⊙A′与以D为圆心、DA为半径的⊙D是什么位置关系？⊙A′和⊙D等圆，R＝52，两圆不可能内切．当D为OA的中点时，DH＝AH－AD＝18511 5210-=．此时'5A D==．因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）．如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tan2A=时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m)2＝32．解得m =．所以24AP AH m ==． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？ 同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3． 由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，4t=如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，4t=+图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°， ∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC ，tan ∠BOC=tan ∠OAC==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．题4图感悟：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．变式：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点的最大值.E，BC=a，AC=b，求a b+≤解：.a b感悟：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；引例2图如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 C D．解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
探求圆中定点或定值问题
探求圆中定点或定值问题作者：王佩其来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2011年第12期解析几何中，与圆方程有关的定点或定值问题，是考试中经常出现的一类问题，如何探求定点或定值，本文举例说明，供同学们参考.1.通过圆系方程探求定点如果圆C1:f1(x,y)=0和圆C2:f2(x,y)=0是相交的，那么f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示过两圆交点的动圆，反之，如果一个圆可以表示成上述的形式，那么圆必定过两个定圆的交点．例1 已知圆O的方程为x2+y2=1，它与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A(3,0)且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．解析:在圆方程x2+y2=1，中令y=0，得x=±1,即P(－1,0),Q(1,0)．又直线l2过点A 且与x轴垂直，∴直线l2方程为x=3，设M(s,t)，则直线PM方程为y=ts+1(x+1).解方程组x=3,y=ts+1(x+1) ,得P′(3,4ts+1).同理可得,Q′(3,2ts－1).∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x－3)(x－3)+(y－4ts+1)(y－2ts－1)=0，又s2+t2=1，∴整理得(x2+y2－6x+1)+6s－2ty=0，若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x2－6x+1=0，解得x=3±22，∴圆C′总经过定点坐标为(3±22,0)．评注：以P′Q′为直径的圆C是动圆，将动圆的方程改写为曲线系的形式，通过解方程组f1(x,y)=0f2(x,y)=0 得到定点的坐标．2.利用点在圆上探求定点或定值点在圆上运动变化时，点的坐标必满足圆的方程，也就是一个代数关系式，对这个代数关系式合理的变形后会产生其他一些代数关系式，对解析几何中的代数运算起简化作用．例2 已知圆C:x2+y2=4，它与x轴的左右两个交点分别为A,B，点M为直线x=4上一点，直线MA交圆C于P，直线MB交圆C于Q点，直线PQ交x轴于T点．求证：T为定点．证明：由题设得A(－2,0)，B(2,0)．设M(4,t)，P(x0,y0)，Q(x1,y1)，由A,P,M三点共线有y0x0+2=t6，同理y1x1－2=t2．∴y0x0+2•x1－2y1=13，整理得3x1y0－6y0=x0y1+2y1．又点P(x0,y0)，Q(x1,y1)在圆上，∴x20+y20=4即y20=4－x20，∴y0x0+2=－x0－2y0，∴-x0-2y0=t6，同理y1x1+2=－x1-2y1=-2t，∴y1(x0－2)y0(x1+2)=13，整理得3x0y1－6y1=x1y0+2y0，∴x0y1－x1y0=y1－y0．又PQ:y－y0=y1－y0x1－x0(x－x0)，令y=0得x T=x0y1－x1y0y1－y0=1，∴T为定点．评注：T为动直线与x轴的交点，用P,Q两点的坐标可以表示T的横坐标为x T=x0y1－x1y0y1－y0．点P,Q也在圆上，因此有关系式x20+y20=4,x21+y21=4，再利用三点共线所得的等式进行变形即可得出T的横坐标为定值1.3.利用关系式恒成立探求定点或定值在一些直线、圆的问题中，常常有一些几何对象的测度(如长度、面积、角等)或其比值在动态变化过程保持不变，这种不变性蕴含定点、定值．例3 已知点A(－3,0)，圆O的方程为x2+y2=4，是否存在不同于点A的定点B，对于圆O上任意一点M，都有MAMB为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．解析：设B(m,n)，M(x,y)， MAMB=k(k>0)．则x2+y2=4且(x+3)2+y2(x－m)2+(y－n)2=k，整理得， 6x+13=－2mk2x－2nk2y+(m2+n2)k2+4k2，其中，比较可以得到2nk2=0－2mk2=6(m2+n2)k2+4k2=13 ，解得n=0m=－43 ，∴B(－43,0)．评注:动点M在圆上运动变化时始终保持MAMB为定值，该几何性质可以用一个恒成立的代数关系体现，比对等式两边变量的系数得到关于点B坐标的方程组，解得定点B的坐标．4.利用圆锥曲线的几何性质探求定点或定值与圆锥曲线有关的圆的问题中，如果涉及到焦点、准线等，可以利用圆锥曲线的定义来解决圆的问题．例4 已知椭圆C:x22+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,下顶点为A，点P 是椭圆上任意一点，圆M是以PF2为直径的圆，求证：圆M总与某个定圆相切．解析：如图，连接PF2，考虑以O为圆心，2为半径的圆O．下证圆O与圆M相内切．∵M为PF2中点，O为F1,F2的中点，∴OM=12PF1=12(22－PF2)=2－12PF2，∴圆O与圆M相内切．评注：当P在圆上运动时，动圆M的直径PF2为焦点三角形PF1F2的一条边，由椭圆的定义得到PF1+PF2=22，变形后得到12PF1=2－12PF2，也就是OM=2－12PF2．构造O为圆心，2为半径的圆O即为所求的定圆．（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学)。
与圆相关的范围与最值问题专题
与圆相关的范围与最值问题在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思例题：已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，过点P 作圆O 的两条切线，A ，B 为两切点．(1)求切线长P A 的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)求P A →·PB →的最小值．变式1设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________________．变式2圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是____________．串讲1动直线y ＝k(x －2)与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取得最大值时，k 的值为________________．串讲2在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(3，0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积最大值为16，则实数m 的取值范围为____________．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P(cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为________________．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相外切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．答案：(1)圆O 的方程为x 2＋y 2＝2；(2)DE →·DF →∈[－1，0)．解析：(1)圆M 的方程可整理为(x －2)2＋(y －2)2＝2，故圆心M(2，2)，半径R ＝ 2.1分圆O 的圆心为(0，0)，因为MO ＝22，设圆O 的半径为r ，因为圆O 外切于圆M ，所以MO ＝R ＋r ，即22＝2＋r ，解得r ＝ 2.3分 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.5分(2)不妨设E(m ，0)，F(n ，0)，且m ＜n.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2，y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，故E(－2，0)，F(2，0).7分设D(x ，y)，由DE ，DO ，DF 成等比数列，得DE·DF ＝DO 2，即（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得x 2－y 2＝1.9分 而DE →＝(－2－x ，－y)，DF →＝(2－x ，－y)，所以DE →·DF →＝(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y)＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.11分由于点D 在圆O 内，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＜2，x 2－y 2＝1，得y 2＜12，所以－1≤2y 2－1＜0，13分即DE →·DF →∈[－1，0).14分例题答案：(1)P ⎝⎛⎭⎫65，35时，PA min ＝25＝255；(2)(PA →·PB →)min ＝－445，当P ⎝⎛⎭⎫65，35时取得． 解析：(1)设点P(x 0，y 0)，PA 2＝PO 2－1＝x 02＋y 02－1＝x 02＋(－2x 0＋3)2－1＝5x 02－12x 0＋8＝5⎝⎛⎭⎫x 0－652＋45，故当x 0＝65， 即P ⎝⎛⎭⎫65，35时，PA min ＝25＝255. (2)PA →·PB →－PA →2·cos ∠APB ＝PA 2(2cos 2∠APO －1)＝(PO 2－1)⎣⎡⎦⎤2（PO 2－1）PO 2－1＝PO 2＋2PO 2－3，PO ≥35.令t ＝PO 2∈⎣⎡⎭⎫95，＋∞，而⎝⎛⎭⎫t ＋2t ′＝1－2t 2在t ∈⎣⎡⎭⎫95，＋∞上恒大于0，故t ＋2t －3≥95＋109－3＝45＋19－1＝－445，所以(PA →·PB →)min ＝－445，当P ⎝⎛⎭⎫65，35时取得． 变式联想变式1答案： 3.解析：依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C(1，1)，半径是1，易知PC 的最小值等于圆心C(1，1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形PACB 的面积2S △PAC ＝2×⎝⎛⎭⎫12PA·AC ＝PA·AC ＝PA ＝PC 2－1，因此四边形PACB 的面积的最小值是22－1＝ 3.变式2 答案：6.解析：如图，连接CE ，CF.由题意，可知圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时PC ＝4，EC ＝2，故PE ＝PF ＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.串讲激活串讲1答案：－3 3.解析：如图，易得直线y＝k(x－2)过定点C(2，0)，曲线y＝1－x2表示圆x2＋y2＝1的上半圆，S△AOB＝12OA·OB·sin∠AOB，当∠AOB＝π2时，△AOB的面积取得最大值，如图作OH⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝AO2＋BO2＝2，则OH＝22，又在Rt△OHC中，OC＝2，所以∠OCH＝π6，则k＝tan⎝⎛⎭⎫π－π6＝tan5π6＝－33，故答案为－33.串讲2答案：[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]．解析：圆的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，则圆心C(m，2)，半径r＝42，S＝12r2sin∠ACB＝16sin∠ACB，当∠ACB＝90°时S取最大值16，此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝2r＝8，则C到AB距离为4，所以4≤PC＜42，即4≤（m－3）2＋22＜42，所以16≤(m－3)2＋22＜32，即12≤(m－3)2＜28，解得3＋23≤m＜3＋27或3－27＜m≤3－2 3.新题在线答案：3.解法1d＝|cosθ－m sinθ－2|m2＋1＝|m2＋1cos（θ＋φ）－2|m2＋1≤m2＋1＋2m2＋1＝1＋2m2＋1≤3，当且仅当m＝0时取得最大值．解法2因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以点P为单位圆上一点，而直线x－my－2＝0过定点A(2，0)，所以d的最大值为OA＋1＝3.。
中考专题--与圆有关的最值(取值范围)问题
中考专题--与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧 AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b+的最大值.+≤答案：a b原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a ；（2）首先过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=1，可得 （a+b ）2=a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x 2+ax=b 2+ab ，可得（x ﹣b ）（x+b+a ）=0，则可求得x 的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE ，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°， ∵AB 为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a ，∴BE=2a ，CE=a ，∵AC=b ，∴AE=b+a ；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=1，∴a 2+b 2=1， ∵S △ABC =AC •BC=AB •CH ，∴AC •BC=AB •CH ，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b ≤， 故a+b 的最大值为，（3）∵x 2+ax=b 2+ab ，∴x 2﹣b 2+ax ﹣ab=0，∴（x+b ）（x ﹣b ）+a （x﹣b ）=0，∴（x ﹣b ）（x+b+a ）=0，∴x=b 或x=﹣（b+a ），当m=b 时，m=b=AC ＜AB=1，∴0＜m ＜1，当m=﹣（b+a ）时，由（1）知AE=﹣m ，又∵AB ＜AE ≤2AO=2，∴1＜﹣m ≤2， ∴﹣2≤m ＜﹣1，∴m 的取值范围为0＜m ＜1或﹣2≤m ＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).A．3 B ．6 CD ．解：连接EP ，DP ，过P 点作PM 垂直DE 于点M ，过O 做OF ⊥AC 与F ，连接AO ，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD ，PM ⊥DE ，∴∠EPM=60°， ∴ED=2EM=2EP •sin60°=EP=PA ．当P 与A 、O 共线时，且在O 点右侧时，⊙P 直径最大．∵⊙O 与∠BAC 两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D 。
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12－
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2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
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(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
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(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
1
真题感悟
(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直 线x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由. 解 (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋ y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).
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则－－22xy00＝＝－2 22λ，2λ，解得xλ＝0＝14－，
x20＋y20＋1＝5λ，
y0＝
2 4
42，
λ＝1， 或x0＝－ 2，（舍去）.
y0＝ 2
所以
R
的坐标为－
42，
42，
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经检验，符合Biblioteka 件MMRP＝12，所以对于圆 O 上任意一点 M，平面内存在一定点 R，使MMRP为定值，且 R 的坐标为
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探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目 逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式， 再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊 情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.
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【训练2】 已知圆x2＋y2＝9的圆心为P，点Q(a，b)在圆P外，以PQ为直径作圆M与圆 P相交于A，B两点. (1)试判断直线QA与圆P的位置关系； (2)若QA＝QB＝4，试问点Q在什么曲线上运动？ (3)若点Q在直线x＋y－9＝0上运动，问：直线AB是否过定点？若过定点，求出定点 的坐标；若不过定点，请说明理由. 解 (1)因为以PQ为直径的圆M与圆P相交于A，B， 所以PA⊥QA，又AP为圆P的半径，所以AQ为圆P的切线， 从而直线QA与圆P相切.
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3.定值问题的处理 (1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值. (2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推 广至一般情形.
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热点一 最值与范围问题 【例 1】 已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上，半径为 1，直线 l：y＝43x－12被圆 M 所截
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(2)因为 PA⊥QA，AP＝3，AQ＝4，所以 PQ＝ 32＋42＝5， 故点Q在以P为圆心，5为半径的圆上运动. (3)因为点Q(a，b)在直线x＋y－9＝0上，所以点Q(a，9－a)， 所以，以PQ为直径的圆M的方程为x2＋y2－ax－(9－a)y＝0， 又AB为圆P与圆M的公共弦，所以直线AB的方程为ax＋(9－a)y－9＝0，即a(x－y) －9y－9＝0， 从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).
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热点三 与圆有关的定值问题 【例 3】 (2018·高邮调研)如图，已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝1，直线 l 的方程为 x－y＋
2 2＝0，点 P 是直线 l 上的动点，过点 P 作圆 O 的切线 PA，PB，切点为 A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点 P 的坐标； (2)在(1)的条件下，对于圆 O 上任意一点 M，平面内是否存在一定点 R，使MMRP为 定值？如果存在，求出点 R 的坐标；如果不存在，请说明理由.
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令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11， 同理得 B 的横坐标 xB＝－xy22. 所以 A－yx11，－1，B－xy22，－1. 设点 D(0，n)，则D→A＝－yx11，－1－n， D→B＝－xy22，－1－n，
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D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x4x121x－2 x422＋(n＋1)2 ＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得 n＝1 或 n＝－3. 故以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).
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(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x－a)2＋(y －b)2＝r2，可设x＝a＋rcos θ，y＝b＋rsin θ.
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2.定点问题的求解步骤 (1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化， 可以选择这个量为参变量. (2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整 体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量 时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量 可看作系数). (3)定点：求出定点坐标.利用方程ax＋b＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可 以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.
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∵圆 M 与 AC 相切，∴1＝ |k11＋＋kt|12，∴k1＝1－2tt2， 同理，k2＝1－2（（t＋t＋66））2，∴k1－k2＝3（t2t＋2＋6t6＋t 1）， ∴S＝6（ t2＋t2＋ 6t＋6t） 1 ＝61－t2＋61t＋1. ∵－5≤t≤－2，∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
－
42，
2
4
.
27
探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法 是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问 题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理 方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M的坐标为元的方程问题，利用该方 程的解与点M的坐标无关来研究问题.
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(1)解 由题意可设直线 A2Q 的方程为 y＝k′(x－2)，直线 A1Q 的方程为 y＝－k1′(x＋ 2)，k′≠0. 由yy＝ ＋k3′＝（0x，－2），解得xy＝ ＝2－－3k，3′， 由yy＝ ＋－ 3＝k1′0（，x＋2），解得xy＝ ＝－3k′3－. 2， 所以直线 A2Q 与直线 y＋3＝0 的交点为 M2－k3′，－3，
∴Smax＝6×1＋14＝125，Smin＝6×1＋18＝247， ∴△ABC 的面积 S 的最大值为125，最小值为247.
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探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面 (1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k，b，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数. (2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类 问题主要是建立关于与参数如k或(x，y)的函数，运用函数或基本不等式求最值.
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【训练1】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3，
它表示以(2，0)为圆心， 3为半径长的圆.
(1)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截
2
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO ＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋ y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
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热点二 与圆有关的定点问题 【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N， 直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的 两个定点. (1)解 由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
距
b
取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|＝ 2