高考数学(新课标,理)题型全归纳课件第八章 立体几何第7节

C
小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明.
【分 析】 利用定义找出线面角与二面角，并比较其大小.
图 8-233 A1 【解 析】 如图8-234所示，过 A 在平面 A1 ABB1 内作 AD A1B B1 于点 D ，则由平面 A1BC 侧面 A1 ABB1 ，且平面 A1BC 侧面 A1 ABB1 A1B，得AD 平面 A BC ， A
垂线定理得 l AG ，故AGH 为二面角
B l G 图 8-229
l 的平面角，得AGH 60 ， 不妨设 AG 2 ，则 AH 3 ，
HG 1，又 AB 与 l 所成的角为 30 ，故 AB
sin ABH
2 4 ，在 Rt△ABH 中， sin 30
✎题型归纳及思路提示
题型119 空间角的计算 【例8.59】直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若BAC 90 ， AB AC AA1 ， 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（ ）. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
【分 析】 通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，
A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 ，设点C 到平面A1BD 在三棱柱中，
的距离为 d . 由 VA1 BCD VC A1BD 所以 d
1 ，得 S△BCD 3 2 . 2 1 3 S△A1BD d ， 3
3S△BCD S△A1BD
所以点 C 到平面 A1BD 的距离为
2 . 2
在三角形中利用余弦定理来求解.
【解析】 如图8-220所示，连接AB1 ，设AB1
A1B O,
B
A
C
O
A1
过点 O 作 OD∥AC1 交 B1C1 于点 D ，连接 A1 D ，
故 A1OD （或其补角）为异面直线 A1 B 与 AC1 B1 所成的角，设 AB AC AA1 a ，则 D 1 2a AC1 2a ， OD AC1 ， 图 8-220 C1 2 2
1
C1
D
C
B
图 8-234
连接 CD ，则知ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，即ACD ，由
BC AA1 ， BC AD，AA1
AD A ，AA1 , AD 平面 A1 AB ，得 BC 平面
A1 AB ，故BC A1B ， BC AB . 所以 ABA1 是二面角 A1 BC A的平面角， AD AD ABA sin sin 即 ，于是在Rt△ADC 中， ，在 Rt△ADB 中， . 1 AC AB π 不难知 AB AC ，因此 sin sin ，又 0 ， 所以 . 2
【评注】 本题利用了等体积法转化，该方法是求解点到平面距离的重要 方法.
AH 3 ，故 AB 与平面 所成的角的正弦值是 3 . AB 4 4 【例8.62】如图8-233所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1 B1 平面A1BC 侧面 A1 ABB1 . 若直线 AC 与平面
A1BC 所成的角为 ，二角为 30 ，则 AB 与平面 所成的角的 正弦值是 _______．

B l 图 8-228
A

【分析】 作出直线 AB 在平面 内的射影，射影与 AB 所成的角即为AB与
平面所成的角， 再求其正弦值. 【解析】 如图8-229所示，过点A 作 AH 于点 H ，

A H
过点 H 作 GH l 于点 G ，连接 AG ，由三
✎考纲解读
1. 掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成角、二 面角与二平面角的平面角、直线与平面所成的角和斜线与平面所成 角、二面角与两平面所成的角的联系与区别，搞清它们各自的取值 范围.
2. 细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移、射影
等方法. 3. 灵活运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何中角的 问题.
题型120 点到平面距离的计算 【例8.66】如图8-253所示，正三棱柱ABC A1B1C1 的所有
A
A1
棱长都为 2 ，D 为 CC1 中点. 求点C 到平面 A1BD
的距离.
C
B
D
B1
C1
图8-253
【分析】利用等体积转化法求点 C 到平面 A1BD 的距离.
S△A1BD 6, S△BCD 1 . 【解析】 在△A1BD 中，BD A1 D 5, A1 B 2 2 ，
OA1
A1B 2a 1 2a ，A1D B1C1 ，故 △AOD 为正三角形， 1 2 2 2 2
AOD 60 ,即异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60 . 故选C. 1
【例8.61】如图8-228所示，二面角 l 的大小
AB与 l 所成 是 60 ，线段AB ， B l ，