对数与对数函数 鹿二景

2013济宁市教研室教学视导教案
课题: 《平面向量的坐标运算》执教人: 鹿二景
单位: 济宁市第二中学
课题对数与对数函数
制作人：鹿二景
考纲要求
1．理解对数的概念及其运算性质.
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象，利用图象解决一些简单的问题.
3．知道对数函数是一类重要的函数模型.
4．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.
基础回扣
1．对数的概念与性质
底数为__e___
3
(1)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①log a(M·N)＝log a M＋log a N ；②log a M
N＝log a M－log a N ；
③log a M n＝nlog a M(n∈R)．
(2)换底公式
log a b＝log c b
log c a(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)
4．对数函数的图象和性质
(1)对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质
函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．
基础练习
1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：_
①(log a x)n＝nlog a x；②(log a x)n＝log a x n；
③log a x＝－log a 1
x；④
n
log a x＝
1
n log a x；
⑤log a x
n＝log a
n
x；⑥log a
x－y
x＋y
＝－log a
x＋y
x－y
.
其中正确的有(B)．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．函数y ＝2－x
lg x 的定义域是( D )． A ．{x|0＜x ＜2} B ．{x|0＜x ＜1或1＜x ＜2} C ．{x|0＜x≤2} D ．{x|0＜x ＜1或1＜x≤2} 3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( D )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．b ＞a ＞1 D ．a ＞b ＞1
4．(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( D )． A ．14 B ．1
2 C ．2 D ．4
5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a≠1)的图象恒过一定点是 (2,2) ．
典例解析
考向一、对数式的化简与求值
【例1】(1)若xlog 32＝1，则4x ＋4－x ＝—82
9—
(2)(2012北京高考)已知函数f(x)＝lg x ，若f(ab)＝1，则f(a 2)＋f(b 2)＝__2__
方法提炼：
对数式化简求值的基本思路：(1)利用换底公式及log m n
a N ＝n
m log a N 尽量地转
化为同底的和、差、积、商的运算；
(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；
(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值． 解析：（1）由xlog 32＝1，得x ＝log 23，
∴4x ＋4－x ＝22log 3
log 34
4-+＝9＋19＝82
9
.
（2）由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a 2)＋f(b 2)＝lg a 2＋l g b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab)＝2×1＝2.
变式训练1：(2012重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( B )．
A．a＝b＜c B．a＝b＞c
C．a＜b＜c D．a＞b＞c
解析：a＝log23＋log23＝log233，b＝log29－log23＝log233，因此a＝b，而log233＞log22＝1，log32＜log33＝1，所以a＝b＞c，故选B.
考向二、对数函数的图象与性质
【例2】（1）已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为_______4___．（2）已知f(x)＝log a(a x－1)(a＞0，且a≠1)．
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性．
方法提炼：
1．利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法：
(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；
(2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；
(3)分别求出两函数的单调区间；
(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．
提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．
2．图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系可按下列规律进行记忆：
图中直线y＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c ＜d＜1＜a＜b，在x轴上方由左到右底数逐渐增大，在x轴下方由左到右底数逐渐减小．
解析：(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x 的图象的交点个数为4.
(2) (Ⅰ)由a x －1＞0，得a x ＞1.
当a ＞1时，x ＞0； 当0＜a ＜1时，x ＜0.
∴当a ＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)． (Ⅱ)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，
则121<x x a a <，故0＜1x a －1＜2
x a －1，
∴log a (1x a －1)＜log a (2
x a －1)． ∴f(x 1)＜f(x 2)．
故当a ＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0＜a ＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． 变式训练2．函数f(x)＝2log 2
x
的图象大致是( )．
解析：∵f(x)＝2log 2x
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x≥1，1
x
，0<x<1，
∴选C.
作业布置
1．已知函数f(x)＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12 014＝4，求f(2 014).
2．已知：lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，求
3
2
log
x
y的值.
3．已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)，a＞0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．
归纳小结
教学反思：
1、对于幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查．易错误区有：
(1)不能准确地作出图象，利用图象进行大小比较．
(2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较．
2．通过对该题的解答过程来看，以后在备考中要注意：
(1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练．
(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习，提高图象、性质的应用能力．
(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法，即引入中间量分组比较法的训练．。