2020版高考数学复习第四章4第4讲简单的三角恒等变换文新人教A版

第4讲 简单的三角恒等变换
[基础题组练]
1．(2019·广州市调研测试)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )
A ．1
3 B ．3 C ．－13
D ．－3
解析：选A.因为α是锐角，cos α＝
55，所以sin α＝255，所以tan α＝sin α
cos α
＝2，所以tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan
π
41＋tan αtan
π4
＝13，故选A.
2．已知sin 2α＝45，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.1
6 B.110
C.15
D.45
解析：选B.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝110.故选B.
3．(2019·湖北新联考模拟)sin 10°
1－3tan 10°＝( )
A ．14
B ．12
C ．
32
D ．1
解析：选 A.
sin 10°1－3tan 10°
＝
sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°
＝
2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°－32sin 10°＝
sin 20°4sin （30°－10°）＝1
4
.故选A.
4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－13，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝( )
A ．±
33
B ．－
63 C ．
63
D ．±
63
解析：选D.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝sin αcos π6＋cos αsin π6－cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝±63，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α
＝±
6
3
，故选D. 5．已知cos 2θ＝45，则sin 4θ＋cos 4
θ＝________．
解析：法一：因为cos 2θ＝4
5，
所以2cos 2θ－1＝45，1－2sin 2
θ＝45，
因为cos 2θ＝910，sin 2
θ＝110，
所以sin 4θ＋cos 4
θ＝4150
.
法二：sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－12sin 2
2θ
＝1－12(1－cos 2
2θ)＝1－12×925＝4150.
答案：4150
6．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝1
2
，则tan β＝________．
解析：因为sin αcos α1－cos 2α＝12，所以sin αcos α2sin 2
α＝12，cos α
sin α＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝1
2
，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1－12
1＋1×
12＝1
3
.
答案：13
7．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，
并求出α＋β的值．
解：由cos β＝
55，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
得sin β＝25
5，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－13＋21＋23
＝1.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以π2<α＋β<3π
2，
所以α＋β＝5π4
.
8．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5
5.
(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝4
3cos α.
因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2
α＝925，
因此，cos 2α＝2cos 2
α－1＝－725
.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－
55
， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2
（α＋β）＝255，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝－24
7
， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－2
11
.
[综合题组练]
1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β的值为( ) A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．3π4
解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β
1－tan αtan β＝1.
因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π
4.
2．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
解析：选A.法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β，
所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，
整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，
两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 法二：因为sin 2α＝2sin 2β，
所以tan （α＋β）tan （α－β）＝sin （α＋β）cos （α－β）
cos （α＋β）sin （α－β）＝1
2（sin 2α＋sin 2β）1
2（sin 2α－sin 2β）＝
3sin 2β
sin 2β
＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.
3．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2
β－12
cos 2αcos 2β＝________．
解析：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－1
2cos 2αcos 2β＝
1－cos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β4＋1＋cos 2β＋cos 2α＋cos 2αcos 2β4－1
2
cos
2αcos 2β＝12＋12cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝1
2
.
答案：1
2
4．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin α
cos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________．
解析：因为tan β＝cos α－sin α
cos α＋sin α，
所以tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 又α，β均为锐角， 所以β＝π
4－α，
即α＋β＝π
4
，
所以tan(α＋β)＝tan π
4＝1.
答案：1
5．(应用型)如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？
解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，
则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则
S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2
)．
此时AO ＝DO ＝102(m)．
故当点A ，D 到圆心O 的距离为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2
.
6．(综合型)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，
所以A ＝2.
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos(α＋π3＋π6)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，
得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以cos α＝8
17
.
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos(β－π6＋π6)＝2cos β＝85， 得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以sin β＝3
5
，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝
817×45－1517×35＝－1385
.。