【步步高】2015届高考数学总复习 第四章 4.4三角函数的图像和性质强化训练 理 北师大版

§4.4 三角函数的图像和性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，－1)，
(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π
2，0)，
(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y ＝sin x
y ＝cos x
y ＝tan x
图像
定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π2
＋
k π，k ∈Z }
值域
[－1,1] [－1,1]
R
单调性
[－
π2＋2k π，π
2
＋2k π](k ∈Z )上递增； [
π2＋2k π，3π2
＋2k π](k ∈Z )上递减 [－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； [2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减
(－π2＋k π，π
2＋
k π)(k ∈Z )上递增 最值
x ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝－π
2＋2k π(k ∈Z )
时，y min ＝－1
x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π
2
＋k π，0) (k ∈Z ) (k π
2
，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π
2
＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )
周期
2π
2π
π
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π
2]上是增函数．( √ )
(3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( × ) (6)若sin x >
22，则x >π
4
.( × ) 2．(2012·某某)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
4的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π
2
答案 C
解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π
4，k ∈Z .
取k ＝－1，则x ＝－π
4.
方法二 用验证法．
x ＝π
4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝2
2，不合题意，排除B ； x ＝－π
4
时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－2
2
，不合题意，故D 项也不正确． 3．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭
⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1
B ．f ⎝⎛⎭⎫7π10>f ⎝⎛⎭⎫π5
C ．f (x )是奇函数
D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π
6(k ∈Z ) 答案 D
解析∵f (x )≤⎪⎪⎪
⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π
6
，k ∈Z .
∵f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，sin(π＋φ)＝－sin φ<sin(2π＋φ)＝sin φ，sin φ>0.∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z . 不妨取φ＝π6，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin 2π＝0，∴A 错；
∵f ⎝⎛⎭⎫7π10＝sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30<0， f ⎝⎛⎭⎫π5＝sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝sin 17π30>0，∴B 错； ∵f (－x )≠－f (x )，∴C 错；
∵2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z ，∴D 对．故选D.
4．(2013·某某)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得
到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12B.π6C.π3D.5π
6 答案 B
解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π
3＋m )，
它关于y 轴对称可得
sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π
2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6
.
5．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.
答案25
5
解析 由f (x )＝sin x ＋2cos x 可得f (x )＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，当x ＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )
时函数f (x )取得最大值，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＋2k π＝sin φ＝255
.
题型一 求三角函数的定义域和最值
例1 (1)(2012·某某)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3
(2)函数y ＝1
tan x －1
的定义域为______________________．
思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．
答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z }
解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6，
∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦
⎤－3
2，1. ∴y ∈[]
－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.
(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧
tan x －1≠0
x ≠π2＋k π，k ∈Z
，
即⎩⎨⎧
x ≠π
4
＋k π，k ∈Z x ≠π
2＋k π，k ∈Z .
故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π
2
＋k π，k ∈Z }．
思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
(1)函数y ＝lg(sin x )＋
cos x －1
2
的定义域为________．
(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B ．[－5
4，－1]
C ．[－54，1]
D ．[－1，54
]
答案 (1){x |2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z } (2)C
解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧
sin x >0，
cos x －1
2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧
2k π<x <π＋2k π，
－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π
(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z ，
∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z }．
(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]， 画出函数图像如图所示，从图像可以看出，
当t ＝－1
2及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，
可得y ∈[－5
4
，1]．
题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫－2x ＋π
3；(2)y ＝|tan x |.
思维启迪 (1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12，k ∈Z .
由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12
，k ∈Z .
故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π
12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.
思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．
求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝
⎛⎭⎫4x －π
6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π
2
，
∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π
6－4x ＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π
3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭
⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2
. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π
2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，
∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π
2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π
2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π
2 (k ∈Z )时，y max ＝2；
当x ＝－5π24＋k π
2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
例3(1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝
⎛⎭⎫|φ|≤π
2的图像关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．
(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫
4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 (1)π
6
(2)A
解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．
∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π
6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6
.
(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫2π
3＋φ＋2π
＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π
6
.
思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π
2＋k π (k ∈Z )，求x .
如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．
(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对
称中心为( ) A ．(－π
8，0) B ．(0,0)
C ．(－18，0)
D ．(1
8
，0)
(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π
12
对称，则在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π
3，0)对称；③在[0，
π6]上是增函数；④在[－π
6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④
解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，
又函数的最小正周期为1，故2π
a ＝1，∴a ＝2π，
故f (x )＝2sin(2πx ＋π
4)．
将x ＝－1
8代入得函数值为0.
(2)∵T ＝π，∴ω＝2.
又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π
3(k ∈Z )．
∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，
由图像及性质可知②④正确．
三角函数的单调性、对称性
典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2
，π)上单调递减，则ω的取值X 围是( )
A ．[12，54]
B ．[12，3
4]
C ．(0，1
2
] D ．(0,2]
(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π
8)＝1，则实
数b 的值为( )
A ．－1
B ．3
C ．－1或3
D ．－3
(3)(2012·课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两
条相邻的对称轴，则φ等于( ) A.π4B.π3C.π2D.3π
4
(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π
3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，
那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为( ) A.12B.22C.3
2D.6＋24
思维启迪 (1)(π
2
，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；
(2)由f (x ＋π
4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；
(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是T
2；(4)可结合图像分析函数的单调
性，周期性确定ω，φ.
解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π
4，
由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π
2
]，
∴⎩⎨⎧
π2ω＋π4≥π2
，πω＋π4≤3π
2
，∴12≤ω≤5
4
，故选A.
(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π
8对称，又函数f (x )在对
称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.
(3)利用三角函数的对称轴求得周期． 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫
5π4－π4＝2π， ∴2π＝2π
ω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，
∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，
∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π
4
.
(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，
由该函数在区间[π6，2π
3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，
可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2π
π＝2，
此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，
又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像过点(π
6，1)，
代入可得φ＝π
6
，
因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝1
2.
答案 (1)A (2)C (3)A (4)A
温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的X 围的问题，首先，明确
已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点.
方法与技巧
1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|
，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为
π|ω|
.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx
＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．
失误与防X
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨
论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．
A 组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，周期为π且在[0，π2
]上是减函数的是( ) A ．y ＝sin(x ＋π4) B ．y ＝cos(x ＋π4
) C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x
答案 D
解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，
当x ∈[0，π2
]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数． 2．(2012·某某)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2]B ．[－3，3]
C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦
⎤－32，32 答案 B 解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．
∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6
＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭
⎫32sin x －12cos x
＝3sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．
3．(2013·某某)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2
”的()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2
”的必要条件．
又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2
. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2
”的充分条件． 4．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )
A ．[0,1]
B ．[12
，1] C ．[－1,2]D ．[0,2] 答案 A
解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2
. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．
5．(2012·某某)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4
个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭
⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13B ．1 C.53
D ．2 答案 D
解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭
⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2
＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.
二、填空题
6．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________． 答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ) 解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4
)得 2k π≤2x －π4
≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8
(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8
](k ∈Z )． 7．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12
]，则b －a 的最大值为________． 答案43
π 解析 由正弦函数的图像知(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3
. 8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2
)，y ＝f (x )的部分图像如图， 则f (π24
)＝________. 答案 3
解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2
， 所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8
，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4
＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4
(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4
. 又图像过定点(0,1)，所以A ＝1.
综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4
)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3
＝ 3. 三、解答题
9．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8
.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4
，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π4
. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2
＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8
＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦
⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8
＋1. (1)求f (x )的最小正周期．
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43
]时，y ＝g (x )的最大值．
解 (1)f (x )＝sin
πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4 ＝3sin(πx 4－π3
)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ
4
＝8. (2)方法一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，
它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．
由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，
从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3] ＝3sin[π2－πx 4－π3] ＝3cos(πx 4＋π3
)．
当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3
， 因此y ＝g (x )在区间[0，43
]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝32
. 方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23
，2]， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，
故y ＝g (x )在[0，43
]上的最大值为 y ＝f (x )在[23
，2]上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3
)， 当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6
. 因此y ＝g (x )在[0，43
]上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32
. B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1．函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )
A ．[k π，k π＋π2
](k ∈Z ) B ．[2k π，2k π＋π2
](k ∈Z ) C ．[－π2
＋k π，k π](k ∈Z ) D ．[－π2
＋2k π，2k π](k ∈Z ) 答案 A
解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1
⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，
故原函数的定义域是[k π，k π＋π2
](k ∈Z )．
2．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4
)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．
答案 2
解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π
＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，
故|x 1－x 2|的最小值为T 2
＝2. 3．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：
①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；
②f (x )的最小正周期是2π；
③f (x )在区间[－π4，π4
]上是增函数； ④f (x )的图像关于直线x ＝3π4
对称． 其中真命题是________．
答案 ③④
解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2
时， f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；
f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；
当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2
]，故③是真命题； 因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12
， 故f (x )的图像关于直线x ＝34
π对称，故④是真命题． 4．已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1.
(1)当x ∈[π4，π2
]时，求f (x )的最大值和最小值； (2)求f (x )的单调区间．
解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3
)＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3
， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3
)≤2，
于是2≤2sin(2x －π3
)＋1≤3， ∴f (x )的最大值是3，最小值是2.
(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2
，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6
，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12
，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12
]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2
，k ∈Z 得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12
]，k ∈Z . 5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦
⎤π6，7π6. ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，
又∵－5≤f (x )≤1，
∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.
(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，
∴4sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，
∴sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6
，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2
，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6
，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝
⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6
，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3
，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝
⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。