第二章2ppt - 第二章晶体结构中的对称元素和对称操作

( 4 ) x x x 10 0 0 1 0 x y ( 4 ) 5 y 3 ( S ) y 1 ( i ) 3 ( C ) y 0 1 0 1 1 0 y x y 6 3 ( 4 ) z z z z 0 0 1 001 z

' 1 0 x x 1 x '6 [ 001 ] y y 1 0 0 y z ' z 0 0 1 z
六角坐标系中两个等效点位置
易知
1 1 0 6[001 ] 1 0 0 0 0 1
等效点坐标为(x,y,z), (-y, x, z), (-x, -y, z), (y, -x, z). 4（C4）是4阶。
4（C4）投影图的图示表示
4.3 6（C6）旋转轴
结晶学总是在六角坐标系中讨论3，6重 轴. 六角坐标系中X，Y轴交角为1200，且与 Z轴垂直.

6（C6）旋转轴永远与z轴平行。 任意点（x, y, z）在6（C6）的作用下， 运动到（x-y, x, z）的位置，如下图 所 示。即
等效点坐标为(x,y,z), (-x, -y, z).
2 (C2) 投影图的图示表示如图
4.2 4（C4）旋转轴

除非特别说明，我们所讨论的4（C4）旋 转轴总是与 z 轴平行。
4（C4）的矩阵表示为
( 1 ) x 0 10 y x x ( 1 ) y 4 [ 001 ] 1 0 0 y y x ( 1 ) z z z z 0 0 1
( 5 ) x y y 1 00 0 1 0 y x y ( 5 ) 5 y 3 ( S ) x y 1 ( i ) 3 ( C ) x y 0 1 0 1 1 0 x y x 6 3 ( 5 ) z z z z 0 0 1 0 0 1 z
二, 三, 四, 六次旋转轴的国际符号分 别为 2 ， 3 ， 4 ， 6 ；熊夫利符号分别为 C2 ， C3，C4，C6.
4.1 2（C2）旋转轴
一般地，Cn 轴k (k＝1，2，…，n) 次对称 操作的矩阵表示为
结晶学中，公式中的n只等于2，4.
旋转轴2（C2）的对称操作是旋转 2（C2）。 如果2（C2）轴与 z 轴重合，其矩阵表示为:
晶体结构中存在的对称性必须 与点阵的周期性相适应 . 如下定理 是这个原则的体现.
定理: 晶体中的对称轴(旋转轴, 螺 旋轴)的轴次n只限于n=1, 2, 3, 4, 6.
证明：如图2.10所示,设点阵点A1, A2，A3, A4相隔为a,有一个n重旋 转轴通过点阵点。因为每个点阵点周围环境都相同 , 每一对称操作 都存在对应的逆操作，以α作半径转动角 α＝2π／n，将会得到另一 点阵点。绕A2点顺时针方向转α角，可得点阵点B1; 绕A3点逆时针方 向转α角, 可得点阵点B2。B1 和 B2线平行于A1和A4线，B1和B2间的 距离必须为a的整数倍，设为ma，m为整数，得 a+2cosα ＝ma cosα=(m-1)／2，|(m-1)／2|≤ 1 满足这方程的 α 值只能为 0o ， 60o ， 90o ， 120o ， 180o ， 360o 。这就证 明点阵结构中旋转轴的轴次只有1，2, 3，4，6五种。
( 2 ) x x y 0 0 1 0 y 0 x ( 2 ) 2 y 4 y 4 ( C ) x 0 1 0 0 x 0 y 2 4 ( 2 ) 1 1 1 1 z z z 001 z z 2 2 2 2
( 3 ) x y x y x 10 0 0 1 0 y x x ( 3 ) 5 y 3 ( S ) x 1 ( i ) 3 ( C ) x 0 10 1 1 0 x y 6 3 ( 3 ) z z z z 0 0 1 0 0 1 z
独立的微观对称元素由独 立的宏观对称元素和平移组成.
( 3 ) y x x x 0 0 10 x 0 ( 3 3 ) y 4 y 4 ( C ) y 0 1 0 0 y 0 x 2 4 ( 3 ) 1 1 1 z z z 001 z z 2 2 2
以上我们讨论的对称性中只 有一部分可能在晶体的理想外形 中表现出来，这些对称性称之为 宏观对称性。
独立的宏观对称元素只有1（E）, 2 （C2）, 3（C3）, 4C4）, 6（C6）, 4 （S43）, m（）和 ī (i)。
晶体的微观对称性由平移 和宏观对称元素组合而成,即原 有的旋转轴由旋转轴或螺旋轴取 代, 原有的镜面由镜面或滑移面 取代.
( 2 ) x 1 00 0 1 0 y x y y y ( 2 ) 5 y 3 ( S ) y x 1 ( i ) 3 ( C ) y x 0 1 0 1 1 0 y x x 6 3 ( 2 ) z z z z 0 0 1 001 z
各等效点坐标：(x,y,z),（-y,x,1/2+z）,(-x,-y, z),(y, -x,1/2+z).
那么42螺旋轴的阶次如何?
因为42螺旋轴包含有平移，无论操作多少次，都不会回到 出发点，所以42螺旋轴的阶次是∞ .
所有包含平移的对称元素都是无穷阶的.
6. 反轴
反轴有三, 四, 六次反轴 (习题7说明了为 什么没有二次反轴).
( 3 ) x x x 0 1 0 y ( 3 ) 3 y 4[ 001 ] 100 x y y ( 3 ) z 0 0 1 z z z
反轴的国际符号为 3 , 4 , 6 ，对应的熊夫利符 号为S65, S43, S35.
反轴的图示符号
三重反轴投影图的图示表示
5 3(S 6 ) 的距阵表示为
( 1 ) x x x 10 0 0 1 0 x y ( 1 ) 5 y 3 ( S ) y 1 ( i ) 3 ( C ) y 0 1 0 1 1 0 y y x 6 3 ( 1 ) z z z 0 0 1 0 01 z z
等效点坐标(x, y, z); (y, y-x, -z); (y-x, -x, z); (-x, -y, -z); (-y, xy, z); (x-y, x, -z).
请同学们注意, 三个反轴的熊夫列 符号有不同的表示方法. 例如周公度 (P349)的熊夫列符号分别是C3i, S4, C3h.
两者之间有一微小差别. S65和C3i是相 同的; 4 和S4有相同的四个等效点, 只是 它们作用于一任意点后, 没有得到另一 相同的等效点. 6 和C3h也是这样. 本课 程中可认为这些熊夫列符号通用.
点顺时针方向转可得点阵点b向转角可得点阵点b2b1和b2线平行于a1和a4线b1和b2间的向转可得点阵点b线平行于a距离必须为a的整数倍设为mam为整数得距离必须为a的整数倍设为ma为整数a2cosmacosm12m121cosm1m1满足这方程的值只能为0o60o90o120o180o360o
4.旋转轴
( 2 ) x x 1 0 0 x x ( 2 ) 2 y 4[ 001 ] y 0 10 y y ( 2 ) 0 0 1 z z z z
1 10 1 10 0 10 2 6 [ 001 ] 1 0 0 1 0 0 1 10 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 3 6 [001 ] 0 1 0; 0 0 1 1 1 0 4 6 [001 ] 1 0 0; 0 0 1
0 1 0 5 6 [001 ] 1 1 0 0 0 1
6（C6）的投影图图示表示 显然，6（C6）的阶次为6。
4.4 3（C3）旋转轴
因为62(C26）=3(C3）; 64(C46）= 32（C23）, 当对 6(C6) 的表示方法熟悉了 , 那么 3(C3）的表示方法也就明白了.
5. 螺旋轴
螺旋轴对应的对称操作是旋转和平移的 联合对称操作. 螺旋轴的国际符号是nm, 它没 有熊夫利符号, nm 的基本操作是旋转2π/n再 沿轴的方向平移m/n个单位矢量.
各螺旋轴的图示符号
42螺旋轴的投影图图示表示
42螺旋轴的矩阵表示为:
( 1 ) x x x 0 0 10 x 0 y ( 1 ) y 4 y 4 ( C ) y 0 1 0 0 y 0 2 4 x ( 1 ) 1 1 1 z z z 001 z z 2 2 2