工程力学第九章

例：曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转
动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都
是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也
为m。求当 = 45º时系统的动量。
解: 曲柄OA：m , vC1 12l 滑块B： m, vC3 2l
连杆AB：m, vC2
5 2
l
AB

p mvC1 mvC2 mvC3
质点系的动量
注意到物理学中，质点系质 心位矢公式对时间的一阶导数：
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC
i
m
式中，rC为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；m 为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：
p mvC
动量定理及其守恒形式
质点系的动量
p mvC
这一结果表明，质点系的动量等于 质点系的总质量与质心速度的乘积。这 相当于将质点系的总质量集中于质心一 点的动量，这也表明，质点系的动量描 述了质点系质心的运动。 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。 动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能描述 质点系的转动效应。
质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力主矢之间 的关系。
质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运动状态 (系统质心的运动)，但是，内力可以改变系统内各个质点的运动 状态。
质心运动定理可以用于求解作用在系统上的未知外力，特别是 约束力。
质心运动守恒定理
m aC FRe FRe ＝0
引论
根据工程静力学中所得到的结论，任意力系可向一点简化为 一主矢和一主矩，当主矢和主矩同时为零时，该力系平衡；而当 主矢和主矩不为零时，物体将产生运动。质点系的动量定理建立 了质点系动量对时间的变化率与主矢之间的关系。
本章的内容是大学物理学中相关教学内容的延伸和扩展，但 是不是简单的重复，而且我们将更着重动量定理在工程中的应用 。
运动分析，设大三角块速度 v，
小三角块相对大三角块速度为 vr ， 则小三角块 va v vr
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v)mv ax 0 M (v)m(vrx v)0
vrx M m Srx M m vm Sm
S

m M m
Srx

Mmm(a
mi
M
zi
动量定理及其守恒形式
质点系的质心
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。 可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。 但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更 加广泛的力学意义。
动量定理及其守恒形式
质点系的外力和内力
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
Nanjing University of Technology 理论力学
动量定理及其应用
2020年1月10日
引论
将适用于质点的牛顿第二定律扩展到质点系，得到质点系 的动量定理、动量矩定理和动能定理，统称为质点系的动力学 普遍定理。
质点系动力学普遍定理的主要特征是：建立了描述质点系 整体运动状态的物理量（动量、动量矩和动能）与作用在质点 系上的力系的特征量（主矢、主矩和功）之间的关系。
FRe 0，FRex 0,或FRey 0,或FRez 0
px = C1，或 py = C1，或 pz = C1
可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。
质心运动定理
质心运动定理
m aC Fie
i
这就是质心运动定理：质点系的总质量与质心加速度的乘积
等于作用在质点系上外力的矢量和。
质点系中所有质点动量的矢量和，
称为质点系的动量，又称为质点系动量 的主矢。即：
p mi vi
i
质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特 征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。
px mivix , py miviy , pz miviz
i
i
i
动量定理及其守恒形式
水
光滑台面
动量定理及其守恒形式
质点系的质心
质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分 布情况的一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC
mi ri M
或
MrC

mi ri
设rc xci yc j zck,则
xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量，而且是定位 矢量。动量具有明显的物理意义，也是力的作用效应的一种量 度。如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透 坚硬的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大， 仍可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。
动量定理及其守恒形式
质点系的动量
(A) A盘质心运动得快 (B) B盘质心运动得快 (C) 两盘质心运动相同 (D) 无法判断
四种答案中哪一个是正确的？
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
m aC Fie
i
根据上述方程，如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则 有
FRe Fie 0
i
aC 0
vC C
这表明：质点系的质心作匀速直线运动。如果系统初始为静止状
直角坐标系中质心运动定理的投影式为：
mxC
Fixe

myC
i
Fiye

i
mzC
i
Fize

xC , yC , zC －为质心加速度在直角坐标轴上的投影。
质心运动定理
质心运动定理 F
A F′ B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同位置 上，各作用一水平力F和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′， 试问哪个圆盘的质心运动得快？
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任
一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
F(i) i

0;
MO (Fi(i) ) 0 或
Mx (Fi(i) ) 0。
动量定理及其守恒形式
质点的动量
质点的动量 :质点的质量与质点速度的乘积，称 为质点的动量
质点系的动量定理的守恒形式
d p
dt
i
Fie FRe
t2
p2 p1
Fie dt
I
e i
i t1
i
如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，即 FRe 0 时，由上 述方程可知，质点系的动量保持不变。即
p2 p1 C1
这就是质点系动量守恒定理(theorem of the conservation of momentum of a system of particles)。式中C1为常矢量，由运动 的初始条件决定。
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理的守恒形式
实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式：
dpx
dt
i
Fixe

FRex


dpy
dt
i
Fiye

FRey


dpz
dt
i
Fize FRez

若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。例如
of the system of particles)，即：质点系的动量对时间的变化率等
于质点系所受外力系的矢量和。式中 Fie 或 FRe 为作用在质点系
上的外力系主矢。
i
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
d
( dt i
mi vi )
i
Fi e
d p
dt
i
Fie FRe
vC = C2
m aC FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2x，或 vCy = C2y，或 vCz = C2z
如果作用在质点系上的外力主矢等于0，则系统的质心作惯性 运动：若初始为静止状态，则系统的质心位置始终保持不变。
如果作用在质点系上的所有外力在某一坐标轴上投影的代数 和等于0，则系统的质心的速度在这一轴上的投影等于常量：若初 始速度投影等于0，则系统的质心在这一位轴上的坐标值保持不变。
注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出，因此质点 系的内力的矢量和等于零，于是上式变为
d
( dt i
mi vi )
i
Fi e
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
d (
dt i
mi vi )
i
Fi e
d p
dt
i
Fie FRe
这就是微分形式的质点系动量定理(theorem of the momentum
态，vC 0 ，则质心的位矢为常矢量 rC C1，质心位置保持不变，
即质心守恒。
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
mxC
Fixe

myC
i
Fiye

i
mzC
i
Fize

根据上述方程，如果外力主
矢在某一坐标轴（例如x轴）上
的投影为零，
FRex Fixe 0
2
2
2
2
ml[( 1 2 5 3 2)i (1 2 5 1 ) j]
2 2 2 10
2 2 2 10
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：
d dt
(mi
vi )
Fi

Fii Fie
其中F ii为质点系中其它质点作用在第i个质点上的力（即内力）； F ei为质点系以外的物体作用在第i个质点上的力（即外力）。
FRex 0 , px C2
式中C2为常量，由运动初始条件决定。
例：质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形 柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 K x 常量。
b)
质点系的动量定理
dp dt
FRe
d (
dt i
mi vi ) FRe
dp x dt
FRex ,
dp y dt
FRey
,
dp z dt
FRez
建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、 速度和时间的动力学问题。
质点系动量守恒定理
dp dt
FRe
FRe ＝0
p = C1
几个实际问题
偏心转子电动机工作时 为什么会左右运动；
？ 这种运动有什么规率；
会不会上下跳动； 利弊得失。
几个会不会发生的变化
几个实际问题
？台式风扇放置在光
滑的台面上的台式风扇 工作时，会发生什么现 象
几个实际问题
隔板
水池
？抽去隔板后将会
发生什么现象
将上述方程两侧积分，便得到积分形式的质点系动量定理， 也称为质点系的冲量定理(theorem ofimpulse)：
t2
p2 p1
Fie dt
I
e i
i t1
i
这表明：质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点 系所受外力冲量。这一定理广泛应用于求解碰撞问题。
动量定理及其守恒形式
例：质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形 柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0,
运动分析，设大三角块加速度，a
小三角块相对大三角块加速度为 ar ，
则小三角块 aa a ar 由质心运动定理；则
a
ar
M (a) maax 0 M (a) m(arx a) 0
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于 作用在质点上的力
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
d dt
(mi
vi )

Fi

Fii Fie
对于由n个质点所组成的质点系可列出n个这样的方程，将
方程两侧的项分别相加，得到
d (
dt i
mi vi )
i
Fii
i
Fie
5 2
l（ P为速度瞬心，PC2
2ml[2i 1 j]
2

5 2
l; AB

）
m[(vC1 sin vC2 cos vC3)i (vC1 cos vC2 sin ) j]
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)i (1 l cos45 5 l sin ) j]
i
aCx 0
vCx C2
这就是质心运动守恒定律。这一定律表明：质心速度在某一坐标
轴（例如x轴）上的投影为常量。 如果质心初始为静止状态，即
vCx=0,则质心在x轴上的座标保持不变。
质心运动定理
m aC FRe maCx FRex , maCy FRey , maCz FRez