高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》分类汇编附答案

【最新】数学《平面解析几何》专题解析(1)
一、选择题
1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段
AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3
C ．2
D ．2或6
【答案】B 【解析】
4AF BF +=1212442422
p p
x x x x p x p ⇒+
++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，所以121132
p
x p p -
=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系
数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
2．已知抛物线x 2
＝16y 的焦点为F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P
是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意并结合双曲线的定义可得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公
式可得所求最小值． 【详解】
由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为
()()123,0,3,0F F -．
∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．
∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当
2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】
解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y
轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且
5
3
OA a =，则
||||FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据5
3
OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.
【详解】
由于双曲线渐近线为b y x a =±
，不妨设直线AB 的斜率为a
b
-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c b
b y x a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由
()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得2
2
222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭，化简得()()2222
440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故1
2b a =舍去，所以2b a
=，即2b a =.故
2222222
2||44||45
B C ab
y FB b b a c ac FC y c a b a a b
======++. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
4．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22
525:()416
C x y +-=
'于,A B 两点，且5AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线
2x =-的距离为（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
易得圆C '过原点，抛物线2
2y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐
标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】
圆:2
2525:,
416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭'即为22
52x y y +=,可得圆经过原点. 抛物线2
2y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2
25
2
m n n +=
联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人2
2y px =，解得2p =，
故抛物线方程为2
4y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.
如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，
可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离
11
(|)422
EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.
5．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
【答案】C 【解析】 由题知
，故
，
∴12(23,1)(2
3,1)3410PF PF ⋅=--±⋅-±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．
6．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则2
2
||ME NE -=（ ）
A ．2p
B ．2p
C ．22p
D ．24p
【答案】C 【解析】 【分析】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案． 【详解】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线
AB 为x ＝p ，由2y 2px x p
⎧=⎨=⎩，解得y ＝2p ，
则A （p 2p ），B （p 2p ），
∵直线BM 的方程为y 2x ，直线AM 的方程为y ＝2x ， 解得M （﹣p 2p ），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2， 设过点M 与此抛物线相切的直线为y 2p ＝k （x +p ），
由()
2y 2y+2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣2p +2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣2p +2p 2k ）＝0， 解得k ＝
2+2
2
， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为y 2p ＝
2+2
2
（x +p ），
由()2+2
y+2
=2x p p x p =⎧
⎪⎨+⎪⎩
，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，
∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
7．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>交于,A B 两点，以AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】
由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点
AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形
1
2
ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴=
= 又222
4tan 45
FBF b S b a ∆'
===o
，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.
8．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆
的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0）
则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，
∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．
9．已知双曲线2
2x a
－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．5B ．3C ．3D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2
p
x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1
2
y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 则5c =
，则焦距为2c=25；
故选A ．
10．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ）
A ．22(3)4x y ++=
B ．22(23)41x y -+=
C ．22(3)1x y -+=
D ．22(23)41x y ++=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到
0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.
【详解】
设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）
则00
322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即00232x x
y y =-⎧⎨=⎩，
Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=
()()222321x y ∴-+=即()2
22341x y -+=
故选：B 【点睛】
本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.
11．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以
OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为
（ ） A ．
3
3
B ．
12
C ．
22
D ．
63
【答案】D 【解析】 【分析】
设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为
,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2
b 与2
c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】
如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入圆2
2
2
x y b +=得22
222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得2222222c b a c ==-， 所以，2
2
23a c =
，因此，椭圆的离心率为c e a ==== D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
12．已知椭圆1C ：2
2113x y +=，双曲线2C ：22
221(,0)x y a b a b
-=>，若以1C 的长轴为直
径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） A
B ．3
C
D ．5
【答案】A 【解析】
由已知得OA =OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴可设()00,A x kx ，进一步
0=
,A AB ⎛⎫∴
的一个三分点坐标为
，该点在椭圆上，2
1+=，即(
)
2
2
11391k k
+=+，解得2
2k =，从而有,2
22222b b a a
==
，解得
c e a ===，故选A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
13．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ）
A ．
2
B ．
2
C
D ．
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
14．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任
意一点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）．
A ．(]1,2
B ．(]1,4
C ．[)2,+∞
D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即
bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =
，2
2 4b a
=，
222c a b =-，解得3a =，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
16．已知12F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一
点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ）
A ．y =
B ．y =
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2
2b
PF a
=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲
线的定义可得b
a
的值，则答案可求． 【详解】
解：由题意，2c =
解得c =
，
∵()2,0F c ，设(),P c y ，
∴22221x y a b
-=，解得2b y a =±，
∴2
2b PF a
=，
∵1230PF F ∠=︒，
∴2
1222b PF PF a
==，
由双曲线定义可得：2
122b PF PF a a
-==，
则222a b =，即
b
a
=
∴双曲线的渐近线方程为2
y x =±． 故选：B ．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到
,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.
17．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A 5B 5C 25
D 25
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴
+=，又22e =，2
145
e ∴=， 125
e ∴=
故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，
利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
18．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的
直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()
21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v
，则此双曲线的标准方程
可能为（ ）
A ．22
143x y -=
B ．22
134x y -=
C ．22
1169
x y -=
D ．221916
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
先由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到122
2F F F A c ==，根据2AF 的斜率为24
7
，求出217cos 25
AF F ∠=-
，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a
b ，进而可得出结
果. 【详解】
由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r
，可知1222F F F A c ==，
又2AF 的斜率为
24
7，所以易得217cos 25
AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得116
5
AF c =， 由双曲线的定义得16
225
c c a -=， 所以5
3
c e a =
=，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为22
1916
x y -=.
故选D 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.
19．已知椭圆22
198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别
相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ）
A ．12
B ．6+
C ．8
D ．6
【答案】A 【解析】
【分析】
画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】
画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，
根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.
20．如图，12,F F 是双曲线22
1:13
y
C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C。