佛山一中2011届高三第一学期10月考试理科数学试卷

佛山一中2011届高三第一学期10月考试理科数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分为150分.考试时间120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合{|3},x
M y y P x y x ====-，{}
1≥=x x P 则
M P =（ ）
A ．{|1}x x >
B ．{|1}y y ≥
C ．{|0}y y >
D ．{|0}x x ≥
2．0.3
412
1,log 3log 5,,,2a b c a b c -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
若 ，则的大小关系为（） ，则c b a , 的大小关系为（ ）
. A b a c >> . B a b c >> . C c a b >> . D a c b >> 3.曲线x e
y 2
1=在点),4(2
e 处的切线方程为（ ）
A 2
2
3e x e y -= B 2
2
2e x e y -= C 2
2
72e x e y -= D 22
2
1e x e y -= 4. 下列说法中错误．．
的命题有（ ）个 ○
1. 命题“若2320x x -+=,则1x =或2=x ”的逆否命题为:“若1x ≠或2≠x ,则2320x x -+≠”
○2. “1>a ”是“11
<a ”的充分不必要条件 ○
3. 若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题 ○
4. 若命题p :“存在0x ∈R ，0
2x
≤0”,则p ⌝:“对任意的x ∈R, 2x >0”.
A.1
B.2
C.3
D.4 5. 函数f (x )=1+log 2x 与g （x ）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）
6.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=+,且在区间上是减函数,则（ ）A. )25()80()11(-<<f f f B. )25()11()80(-<<f f f C. )80()11()25(f f f <<- D. )11()80()25(f f f <<-
7.若2
1()ln(2)2
f x x b x =-
++∞在(-1,+)上是减函数，
则实数b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D.
(,1)-∞-
8.右图是函数
b
ax x f x
++=
2
)(的部分图像，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区
间是（ ）．
A ．11(,)42
B ．(1,2)
C ．1(,1)2
D ．(2,3)
二﹑填空题（每小题5分，共30分）
9. 函数)34(log 2
2
1x x y -+=的单调递减区间 .
10. 设
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤⋅=2
),1(log 2,2)(2
x x x t x f t x
且(2)1f =
，则
(f f 的值为 .
11．若函数3
()128[-33]f x x x =-+在，上的最大值与最小值分别为M 、m,则M-m=
____ ____.
12.曲线2
x y =与直线kx y =)0(>k 所围成的曲边图形的面积为
3
4
，则=k . 13 .已知集合A={}
{}B B A m x m x B x x x =-≤≤+=≤-- 若121,01032
，
则实数m 的取值范围是 . ⒕四位同学在研究函数)(1)(R x x
x
x f ∈+=
时，分别给出下面四个结论： ①函数 )(x f 的图象关于y 轴对称； ② 函数)(x f 的值域为 (－1,1)； ③若,21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠；
④若规定)()(1x f x f =, )]([)(1x f f x f n n =+，则 x
n x
x f n +=
1)(对任意*N n ∈恒成立.
你认为上述四个结论中正确的有 三、解答题（本大题共6小题,满分80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15.（本小题满分12分）若函数()m x x x f ++=2cos 22sin 3在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值为
6，
（1）求常数m 的值及()f x 的对称中心;
（2）作函数)(x f 关于y 轴的对称图象得函数)(1x f 的图象，再把)(1x f 的图象向右平移4
π个单位得)(2x f 的图象，求函数)(2x f 的单调递减区间.
16.（本小题满分12分）已知下列两个命题:
:P 函数)(42)(2R m mx x x f ∈+-=在),2[+∞单调递增;
:Q 关于x 的不等式244(2)10x m x +-+>)(R m ∈的解集为R ;
若P Q ∨为真命题，P Q ∧为假命题，求m 的取值范围． 17．（本小题满分14分）
右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且2PD EC =， （1）求证：BE//平面PDA ；
（2）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ； （3
）若PD
AD
=，求平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小.
18. （本小题满分14分）如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN =x （m ）， 液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．
（1）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； （2）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？
N
B
A
（第18题图）
_ B
_ A
19. （本小题满分14分）设函数b c a a
f c bx ax x f 223,2
)1(,)(2>>-
=++=且， （1）求证4
330-<<
->a b a 且; （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点;
（3）设的两个零点，是函数)(,21x f x x 求21x x -的取值范围.
⒛（本小题满分14分）20. （14分）设函数x b x x f ln )1()(2
+-=，其中b 为常数． （1）当2
1
>
b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n 1
ln )1ln(12
<-+<都成立．
佛山一中2011届高三第一学期10月考试（理数）答案
一选择题 (满分40分) BBDBC ACC
二﹑填空题（共30分） 9. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-23,1 ; 10 . 8 ; 11 32 ; 12. 2 ; 13. {}
3≤m m ; 14. ②③④ 15解：m x x x f +++=
12cos 2sin 3)( 1
m x +++=1)6
2sin(2π
2
1)62sin(2167626≤+≤-∴≤+≤ππππx x 3 m x f m +≤≤∴3)( 4
63=+∴m 5
N
E
D
C
B
A
P
F
3=∴m 4)6
2sin(2)(++=π
x x f 6
()f x 的对称中心Z k k ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-4,122ππ 8
（2）4)6
2sin(2)(++
=π
x x f
4)6
2sin(2)(1++
-=π
x x f 9
4)3
2
2sin(24)6)4(2sin(2)(2+--=++--=πππx x x f 10
2
232222π
ππππ+≤-≤+-k x k 11 )(2x f 的单调递减区间是Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππ127,12 12
16解：函数)(42)(2
R m mx x x f ∈+-=的对称轴为m x =
故P 为真命题⇔2≤m ………2分
2[4(2)]44101 3.Q m m ⇔∆=--⨯⨯<⇒<<为真命题
………4分
,,.P Q P Q P Q ∨∧∴为真为假与一真一假
………6分
若假真Q P ,则2≤m ,且31≥≤m m 或,1≤∴m ………8分 若真假Q P ,则2>m ,且31<<m ,32<<∴m ………10分 综上所述，m 的取值范围{}
321<<≤m m m 或 ………12分 17．解：（1）证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA
∴EC//平面PDA , 同理可得BC//平面
P --------------------------------------------------------------------------------2分
∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC
//平面P -------------------------------------------------------------------------------3分
又∵BE ⊂平面EBC ∴
BE//
平
面
PDA--------------------------------------------------------------4分 （2）证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ， ∵F 为BD 的中点，
∴//NF PD 且1
2NF PD =
,--------------------------6分 又//EC PD 且1
2
EC PD =
x G
P
A
B
C
D
E
∴//NF EC 且NF EC =
∴四边形NFCE 为平行四边形-------------------------7分 ∴//NE FC
∵DB AC ⊥,PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD ∴AC PD ⊥， 又PD BD D =
∴AC ⊥面PBD ∴NE ⊥面PDB --------------------------------------------------------9
分
[证法2：如图以点D 为坐标原点，以AD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD a =
则(1,1,0),(0,1,0),(0,0,),B C P a (0,1,)2a E ,11(,,)222
a N --------------------------------6分
∴11
(,,0)2
2EN =-
,(1,1,)PB a =-,(1,1,0)DB = ∵11
110022EN PB a ⋅=⨯-⨯-⨯=,
11
1100022
EN DB ⋅=⨯-⨯+⨯=
∴,EN PB EN DB ⊥⊥---------------------------------8分
∵PB 、DB ⊂面PDB ，且PB DB B =
∴NE ⊥面PDB ------------------------------------------------------------------------------------------9分
（3）解法1：连结DN ，由（2）知NE ⊥面PDB ∴DN NE ⊥,
∵
PD
AD
=，
DB = ∴PD DB = ∴DN PB ⊥ ∴DN 为平面PBE 的法向量，设1AD =
，则11(,,
22
2N ∴DN
=11(,,222
---11分 ∵DP 为平面ABCD
的法向量，DP =，---------------------------------------------12分
设平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角为θ，
则cos 2||||2
DN DP DN DP θ⋅=
==⋅------------------------------------------------13分 ∴45θ= 即平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角为45°--------------------14分 [解法2：延长PE 与DC 的延长线交于点G,连结GB ，
则GB 为平面PBE 与ABCD 的交线--------------------10分 ∵2PD EC = ∴CD CG CB ==
∴D 、B 、G 在以C 为圆心、以BC 为半径的圆上， ∴DB BG ⊥-------------------11分
∵PD ⊥平面ABCD ,BG ⊂面ABCD ∴PD BG ⊥且PD DB D = ∴BG ⊥面PDB ∵PB ⊂面PDB ∴BG PB ⊥
∴PBD ∠为平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角的平面角
------------------------------------13分
在Rt PDB ∆中 ∵PD DB =
∴PBD ∠＝45°即平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角为45°------------------------14分
18解：（1）39
x
AM x =
-(1030)x ≤≤． ………1分 22222
2
9(9)x MN AN AM x x =+=+
-． ……3分 ∵:16:9MN NE =， ∴9
16
NE MN =
． ∴22
22
999[]1616(9)x S MN NE MN x x =⋅==+-． ……5分 定义域为[10,30]． …………6分
（3）224918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x ---'=+-=33
9[(9)81]
8(9)
x x x --⨯-，………9分 令0S '=，得0x =（舍）
，9x =+. …………………10分
当109x <+≤时，0,S '<S 关于x 为减函数；
当930x +≤时，0,S '>S 关于x 为增函数；…………………12分
∴当9x =+S 取得最小值． …………………13分 答：当AN
长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…14分
19解：（1）0223,2
)1(=++∴-
++=b c a a
c b a f …………………1分 02,03223<>∴>>b a b c a …………………2分
30
2323->⇒⎩⎨
⎧>--=>a b
a b a c a …………………3分 23
023<⇒⎩
⎨
⎧>>a b a b a 43
02322-<⇒⎩
⎨
⎧>--=<a b a b a c b ……………4分 4
3
30-<<
->∴a b a 且…………………5分 （2）c a c b a f c f -=++==24)2(,)0(…………………6分
N
B
A
（第18题图）
○
1当02
)1(0)0(00<-
=>=∴>>a
f c f a c 时，…………………7分 ）内至少有一个零点，在区间（函数10)(x f ∴………………8分
○
2当0)2(,02
)1(,00>-=<-=>≤c a f a
f a c 时， ）内至少有一个零点在区间（函数1,2)(x f ∴…………………10分
（
3
）
的两个零点，是函数)(,21x f x x a
b
a c x x a
b
x x --==
∙-
=+∴232121……………11分
2)2()23-44)(2
2
2212
2121++=--=-+=-∴a b a b a
b x x x x x x （……………12分 4
3
3-<<
-a b 457221<-≤∴x x 21x x -的取值范围：⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡457,
2…………………14分 20. 解：（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，
)0( 21
)21(22222)('22
>-
+-=+-=+-=x x
b x x b x x x b x x f …… 1分 ∴当2
1
>b 时， ()0f x '>，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增． …… 2分
（2）设b x x x G +-=22)(2
，若函数()f x 的有极值点，则G(x)=0有解
2
1
;
08-4<
∴>=∆b b …………………3分 当1
2
b <时，()0f x '=有两个不同解，221211b x --=22121 ,2b x -+= (4)
分
0 )≤∴b i 时，
，舍去),0(02
21211+∞∉≤--=
b x ，
),0(12
2121 2+∞∈≥-+=
b
x 而, …5分 此时 ()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：0≤b 时，()f x 有惟一极小值点2
2121 ,b x -+=， …… 6分 ii) 当1
0b <<
时，0<21x x <<1 此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
()f x 有极大值221211b x --=
和极小值点2
21212b
x -+=； ……8分 综上所述： 当且仅当2
1
<
b 时()f x 有极值点; 当0≤b 时，()f x 有惟一最小值点2
2121 ,b x -+=
； 当1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点22121b x --=和一个极小值点
2
2121b
x -+=
…… 9分
（3）由(2)可知当1b =-时，函数x x x f ln )1()(2
--=，
此时()f x 有惟一极小值点2
3
122121 +=-+=
b x 为减函数在时，)2
3
1,0()( ,0)(')231,
0(+<+∈x f x f x
成立
时恒有当，即恒有恒有，时，当 1
ln )1ln( 3 )1
1ln(10 )11(f(1) 23134111 0 3 22n n n n n n
n f n n >-+≥∴+->+>∴+<≤+
<<≥
令函数 )0 ln )1()(>--=x x x x h （x
x x x h 1
11)(' -=
-
=则 2
1
ln )1ln(1 3 1
)11ln(ln )1ln(0
)1
1ln(n 1 )1()11( 111 3)(),1[1)( 0)(' 1n
n n n n n n n n n
h n h n n x h x x x h x h x >-+>≥<
+=-+∴>+->+∴+<≥+∞∈∴=>>∴时恒有综上述可知即时为增函数
时处连续在，又时，。