湖南省益阳市高三4月调研考试——数学理数学理

湖南省益阳市 2015届高三4月调研考试
数学（理）试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量a =(1,-2),b =(3,0),若（2a + b ）∥(ma - b )，则m 的值为
A ．
B ．
C ．
D ． 3．已知函数的零点为， 则所在的区间是
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，4) 4．设，则二项式展开式中含项的系数是 A ．80 B ．640
C ．-160
D ．-40
5．执行如图所示的程序框图，若输出s 的值为70，则判断框内可填入的条件是
A ．i 5
B ．i <5
C ．i ＞5
D ．i 5 6．已知实数、满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-+≤+-0030
13x y x y x ，则的最小值是
A ．
B ．
C ．5
D ．9 7．给出下列两个命题：命题：,当时，；命题：函数是偶函数.则下列命题是真命题的是
A ．
B ．
C ．
D ．
8.
十字路口车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，小张上班经过的某十字路口某时间
是 输出 s
段内车流量变化近似符合函数()()504sin 0202
t
F t t =+≤≤（的单位是辆/分，的单位是分）
，则下列时间段内车流量增加的是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知直线：与双曲线：有交点，则实数的取值范围是
A.（-，-)∪(，+）
B. （-,）
C. [-,]∪[,]
D. [-，] 10.已知函数的图象为曲线C ，给出以下四个命题：
①若点M 在曲线C 上，过点M 作曲线C 的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C 上任意一点，在曲线C 上总可以找到一点，使和的等差中项是同一个常数； ③设函数，则的最小值是0；
④若在区间上恒成立，则a 的最大值是1.其中真命题的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分.把答案填在答题卡中对应
题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4535x a t y a t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
(t 为参数).在极坐标系 （与直角坐标
系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为，若直线l 平分圆C 的周长，则= ． 12．已知R,，，则M 的最大值是 ．
13．如图，已知ＰA 是圆的切线，切点为A ，ＰO 交圆于点B ，圆的半径为2，，则ＰA 的长为 ．
（二）必做题（14～16题）
14．如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长 为3的正方形，则此几何体的体积等于 .
正视图 侧视图
俯视图
15．设二次函数的导函数为，对任意R，不等式恒成立，则的最大值为.
16. 已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”.
⑴若的“衍生质数”为2，则 ；
⑵设集合()(){}|A P k P k k =为的“衍生质数”，(){}|B k P k k =为的“衍生质数”，则集合中元素的个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且. (Ⅰ) 求角A 的大小；
(Ⅱ) 若a ＝3，，求△ABC 的面积. 18．（本小题满分12分）
某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选
手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答
错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2AD =2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F =2FE .
（Ⅰ）证明：平面DFC 平面D 1EC ； （Ⅱ）求二面角A -DF -C 的平面角的余弦值.
20．（本小题满分13分）
已知数列的首项，其前和为，且满足：2
122(1)n n S a n ++=+(N *)．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)对任意的N *，，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分13分）
已知M （，0），N （2，0），曲线C 上的任意一点P 满足:．
(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)设曲线C 与x 轴的交点分别为A 、B ，过N 的任意直线(直线与x 轴不重合)与曲线C 交于R 、Q 两点,直线AR 与BQ 交于点S .问:点S 是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程；若不是,请说明理由.
22．（本小题满分13分）
已知函数（其中为常数）.
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (Ⅲ)当时，设函数的3个极值点为，且. 求证：.
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．B 2．A 3．C 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C
二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对
应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．-3 12． 13． （二）必做题（14～16题）
14. 9 15．4 16．20,30
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 由得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+
得()2sin cos sin B A A C =+，所以 ……4分 ，
所以 ，所以A ＝π
3
. ……6分
(Ⅱ) 因为b ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝1
2
，解得c ＝3，∴b ＝2 3.
……10分
所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝33
2
.
……12分
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；
或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛2
2331381
()444256C ⨯
⨯=
，或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛， 22
2431381()()444512
C ⋅⨯=
， 选手甲进入复赛的概率278181459
()64256512512
P A =++=
. ……6分 (Ⅱ)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率
333333317(X 3)()()4416
P C C ==+=
2222
3331313145(X 4)()()444444128
P C C ==⨯⨯+⨯⨯=
22
243127(X 5)()()44128P C ==⨯=
……9分 的分布列为：
74527483
34516128128128
EX =⨯
+⨯+⨯=
……12分 19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2). ∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为E (1,1,0), ∵D 1F =2FE ，∴1122224
(1,1,2)(,,)33333D F D E ==-=-,
∴11224222
(0,0,2)(,,)(,,)333333
DF DD D F =+=+-=
设是平面DFC 的法向量，则, ∴2
22033320
x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，
取x =1得平面FDC 的一个法向量 ……5分 设是平面ED 1C 的法向量，则,
∴2
240333220
x y z y z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，取y =1得平面D 1EC 的一个法向量, ∵(1,0,1)(1,1,1)0n p ⋅=-⋅=
∴平面DFC 平面D 1EC . ……8分 （Ⅱ）设是平面ADF 的法向量，则,
∴2
2203330
x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取y =1得平面ADF 的一个法向量, ……10分 设二面角A -DF -C 的平面角为，由题中条件可知， 则cos=-||=,
∴二面角A -DF -C 的平面角的余弦值为-. ……12分 20.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由条件2122(1)n n S a n ++=+，2122(2)n n S a n n -+=≥
两式相减得， ……2分 故，
两式再相减得，
构成以为首项，公差为4的等差数列；
构成以为首项，公差为4的等差数列；………5分
又2
212(11)282a S a =+-=-，
所以；由条件得，得，
从而， ,
12(42)(1)2
n n
a n a n a n =⎧=⎨+--≥⎩， ………8分 （Ⅱ）对任意的N *，， 当时，由，有得………①；
当时，由，有1
2(1)(42)(1)2(42)(1)n n n a n a +++-⋅->+-⋅-，
即1
2(42)(1)
(42)(1)n n a a ++-⋅->-⋅-
若为偶数，则得………②；
若为奇数，则2(42)(42)a a +->--得………③.
由①、②、③得：. ……13分
21.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)设点，得()59,0,,,2,22MN MP x y PN x y ⎛⎫⎛
⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

代入，化简得。

所以曲线C 的方程为……4分
(Ⅱ)（1）当直线的斜率存在时，设直线方程为，将直线方程代入曲线中，化简得
()()2
2
22593636450
k x
k x k +-+-=。

设点，利用根与系数的关系得
22121222
363645
,5959k k x x x x k k -+==
++。

……6分 在曲线C 的方程中令y =0得，不妨设，则，则直线。

同理直线。

……8分 由直线方程，消去，
得()22
122
2212122122
1212222
123336453663186318933595936455412254123359y y k k x x x x x x x x k k x y y k x x x x x x k -++-++--+++====-------++ 所以点S 是在直线上。

……12分 （2）当直线的斜率不存在时，则直线方程为。

可得点的横坐标为。

综合（1）（2）得，点S 是在同一条直线上。

……13分
22.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)，令可得，
易得单调减区间为，增区间为.………3分 （Ⅱ）当时，由，可得恒成立，
令()()2
1ln g x x k x =--，则()()22221k x x k
g x x x x
--'=--=，
，()2
22210x x x x ∴-=->。

（ⅰ）当时，恒成立，所以在上是增函数，
所以当时，满足题意，则。

（ⅱ）当时，令解得12110,122
x x -+=
<=>。

当时，在上是减函数
当时，，不合题意，舍去。

综上可得实数的取值范围。

………7分
(Ⅲ)由已知()2
2ln 1()ln a x a x x f x x
⎛⎫
-+
- ⎪⎝⎭
'=
，对于函数，有,所以函数在上递减，在上递增。

因为有3
个极值点。

从而()min 2ln 10,22a a h x h ⎛⎫==+<
⎪
⎝⎭
所以。

当时，，，
∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，， 此时，函数有3个极值点，且； ∴当时，是函数的两个零点，
即有11
3
32ln 102ln 10
a x x a x x ⎧
+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
，消去有1113332ln 2ln x x x x x x -=-。

令，
则有零点，且。

所以函数在上递减，在递增。

要证明：(
)133131x x x x t x t x ⎫
+>
⇔>-⇔>⎪⎭
， 又因为，所以即证(
)(
)11110t x t x t x t x ⎫⎫
>-⇔-->⎪⎪⎭⎭
， 构造函数()(
)F x t x t x ⎫
=--⎪⎭
，因为，只需证明单调递减即可。

而(
)2ln 2ln 2F x x x ⎫'=+-+⎪⎭，又(
)0F x x x ''=>⎡⎤⎣⎦-⎪
⎭。

所以在上单调递增，所以，
∴当时，。

…………13分。