刘徽阳马术的直观证明

刘徽阳马术的直观理解
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。

（如图1）
图1
刘徽对此的证明运用了出入相补原理和无穷分割求和原理，具体如下：把阳马和鳖臑沿各边的中点做进一步的分割（如图2），这样就把阳马分成了2个小阳马，1个小立方体和2个小堑堵；把鳖臑分成了2个小鳖臑和2个小堑堵。

先把2个小阳马和2个小鳖臑放一边，则各自剩下的部分体积比显然为2：1。

再将放一边的小阳马和小鳖臑做同样的分割，则可得到更小的阳马、立方体、堑堵和鳖臑，把4个小小阳马和4个小小鳖臑放一边，各自剩下的部分体积比仍然为2：1。

此过程可以无限的做下去，直到剩余部分体积为0。

而整个
过程中各自剩下部分体积比总为2：1。

这样刘徽就证明了“不易之率”。

图2
但刘徽出入相补和无穷分割的方法有点难懂，其实，阳马术有一个更直观的理解，方法如下：在阳马的底面再做一条对角分割线，即把阳马分成了三棱锥E-ABC和三棱锥E-BCD两块（如图3）。

再把整个堑堵进行空间旋转得到图4，对比图3和图4，显然有三棱锥E-ABC ≌三棱锥E-BDF，则体积相等。

最后把阳马单独拿出来观察（如图5），显然三棱锥E-ABC与三棱锥E-BCD对称，则两者体积相等。

综上，三块三棱锥体积都相等，则得到刘徽的“不易之率”。

图3 图4 图5。