高考数学复习第十二讲立体几何之空间角

第十二讲 立体几何之空间角
一、基本知识回顾
空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩
范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤ ⎝⎛20π， 2） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩
范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π n
m n m ⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩
范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法
向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角)
当θ为锐角时，n
m n m ⋅⋅=arccos θ 当θ为锐角时，n
m n m ⋅⋅-=arccos πθ 二、例题讲解
1.在正三棱柱111ABC A B C -
中，若1,AB =
求1AB 与B C 1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，
设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。

设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，
即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB
法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,
xyz O -AB 21的长度单位， 则由
1AB =有
2.如图二所示，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是一直角梯形，
90,//,,B A D A D B C A B B C a A D a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

⑴若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥；
⑵求异面直线,AE CD 所成角的大小。

解 ：⑴证明：PA ABCD ⊥底面，PA AB ∴⊥，
再由AB AD ⊥,得,,,AB PAD AB PD AE PD PD ABE BE PD ⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥平面又平面故
⑵如图三所示设,G H 分别为,ED AD 的中点，连结,,BH HG BG 。

DHCB 为平行四边形，
//,,BH CD G H ∴分别为,ED AD 的中点，//,FG AE ∴则BHG ∠或它的补角就是异面直线
,AE CD 所成角，而11.22
HG AE a BH ====。

在BHG ∆中，由余弦定理可得
所以，异面直线,AE CD 所成角的大小为arccos
4。

法二：以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则()()()30,,0,,0,0,2,0,0,,,,,022a a E C a D a AE a CD a a ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2cos ,CD AE
CD AE CD AE ⋅∴==，
所以，异面直线,AE CD 所成角的大小为。

3.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥平面，1,2,,AP AD AB E F ===分别是,AB PD 的中点。

⑴求证：//AF PEC 平面；
⑵求PC 与平面ABCD 所成角的大小；
⑶求二面角P EC D --的大小。

解析：法一：⑴如图四所示，
取PC 的中点O ，连接1,//,,//2
OF OE FO DC FO DC FO AE ∴=∴ 又因为,E AB AB DC FO AE =∴=是的中点，且
所以四边形AEOF 是平行四边形，
//AF OE ∴。

又,OE PEC AF PEC ⊂⊄平面平面，
//AF PEC ∴平面。

⑵连结,,AC PA ABCD PCA PC ABCD ⊥∴∠平面是直线与平面所成的角。

在tan 5PA Rt PAC PAC AC ∆∠===中，。

即PC ABCD 直线与平面
所成角的大小为arctan
⑶作,AM CE CE ⊥交延长线于,M PM 连结。

由三垂线定理，得.PM
CE PMA ⊥∴∠是二面角P EC D --的平面角。

由,tan 22
AME CBE AM PMA ∆∆=∴∠==可得 所以，二面角P EC D --
的大小为。

法二：以A 为原点，如图五所示，建立直角坐标系。

则()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,
,,1,0,0,0,0,122A B C D F E P ⎛
⎫ ⎪⎝⎭。

⑴取PC 的中点O ，连结111111,1,,,0,,,0,,,222222OE O AF EO ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又,OE PEC AF PEC ⊂⊄平面平面，
//AF PEC ∴平面。

⑵由题意可得()2,1,1PC =-，设平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1PA =-。

即PC ABCD 直线与平面
所成角的大小为arcsin。

⑶设平面PEC 的一个法向量为()()(),,.1,0,1,1,1,0m x y z PE EC ==-= 则()0,01,1,1,100.
m PE x z z m x y m EC ⎧⋅=-=⎧⎪=-=--⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩可得令则 由⑵可得平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1PA =-。

cos ,3
mPA
m PA m PA ==
= 所以，二面角P EC D --的大小为。

4.（07福建）如图六所示正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2， ⑴求证：11AB A BD ⊥平面
⑵求二面角1A A D B --的大小。

解析：⑴取BC 中点O ，连结AO 。

因为ABC ∆是正三角形，AO BC ∴⊥
因为在正三棱柱111ABC A B C -，平面11ABC BCC B ⊥平面
11AO BCC B ∴⊥平面。

连结O B 1
在正方形C C BB 11中，O ，D 分别为1,CC BC 的中点。

在正方形11A ABB 中， B A AB 11⊥
取111B C O 的中点，以O 为原点，1,,OB OO
OA 的方向为x 轴，y 轴，
z 轴建立空间直角坐标系。

则()()((()11
1,0,0,1,1,0,,,1,2,0B D A A B - ⑵ 设平面1A AD 的法向量为(),,n x y z =
()()111,1,3,0,2,0,,AD AA n AD n AA =--=⊥⊥。

令()
1,3,0,1z n =∴=-为平面1A AD 的一个法向量。

由⑴知，1111AB A BD AB A BD ⊥∴，为平面的法向量
所以，二面角1A A D B --的大小arccos
4 直接法
设1AB 与B A 1交于G ，在平面BD A 1中，作D A GF 1⊥于F ，连结AF 由（1）得11AB A BD ⊥平面 AFG ∠∴是二面角1A A D B --的平面角。

在D AA 1∆中由等面积可求得554=AF 又22
11==AB AG 所以，二面角1A A D B --的大小为410arcsin。