苏教版高中数学必修二—第一学期高二期末调研测试试题2015.1

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
2014—2015学年度第一学期江苏省扬州市高二数学期末调研测试试题2015．1
（满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 参考公式： 样本数据1x ,2x ,,n x 的方差：()()
()
222
2
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-++-⎢
⎥⎣⎦
，其中x 为样本平
均数．
棱柱的体积V Sh =，其中S 为底面积，h 为高；棱锥的体积1
3
V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“若0x ≥，则2
0x ≥”的否命题是 ▲ . 2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为2，
则y = ▲ .
3．取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于10cm 的概率为 ▲ .
4．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了 该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该 组数据的方差为 ▲ .
5．如右图，该程序运行后输出的结果为 ▲ .
第（2）题图
第（4）题图
0 1
2
4 7 8 813
Read If 1Then
21Else
End If Print x
x y x y x y ≤←-←开始
1,1a b ←←
2b b ←
1a a ←+
6．若正四棱锥的底面边长为23cm ，体积为3
4cm ，
则它的侧面积为 ▲ 2
cm .
7．已知抛物线2
8y x =的焦点恰好是双曲线22
213
x y a -
=的 右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
8．从集合{1,1,2}-中随机选取一个数记为m ，从集合{1,2}-中随机选取一个数记为n ，则方程
22
1x y m n
+=表示双曲线的概率为 ▲ . 9．函数1
cos ,[0,2]2
y x x x π=
+∈的单调减区间为 ▲ . 10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ▲ .（填写
所有正确命题的序号）
①m α⊥，n β⊂，m n αβ⊥⇒⊥；
②l α⊂，m α⊂，l m A =，//l β，////m βαβ⇒； ③//l α，//m β，////l m αβ⇒； ④αβ⊥，m α
β=，n m n β⊥⇒⊥．
11．设2
()1x
e f x ax =+，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调函数，则a 的取值范围为
▲ .
12．已知双曲线22
1169
x y -=的左、右焦点为1F ，2F ，其上一点P 满足125PF PF =，则点P 到右准线的距离为 ▲ .
13．已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()21f x x '<+，则不等式
2(2)421f x x x <++的解集为 ▲ .
14．已知椭圆22
221x y a b += ()0a b >>的右焦点为1(1,0)F ，离心率为e ．设A ，B 为椭圆上关于原
点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若03k <≤
，则e 的取值范围为 ▲ .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）
如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是AB 的中点．
求证：（1）//OE 平面11BCC B ；
（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．
16．（本题满分14分）
已知命题p ：实数x 满足2
280x x --≤；命题q ：实数x 满足|2|(0)x m m -≤>． （1）当3m =时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；
（2）若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 17．（本题满分15分）
某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68)，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对
回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．
（1）分别求出a ，x 的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多
少人?
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2
组至少有1人获得幸运奖的概率． 18．（本题满分15分）
如图，在半径为103cm 的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、
组号 分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的比例
第1组 [18,28) 5 0.5
第2组 [28,38) 18 a
第3组 [38,48)
27
0.9
第4组 [48,58) x 0.36 第5组 [58,68)
3 0.2 E
O
C 1
A 1
B 1
C
B
A
D C
频率组距年龄（岁）6858483828180.0100.0150.0200.0250.030第（15）题图
B 在直径上，点
C 、
D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V 3
()cm ． （1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD x cm =，将V 表示为x 的函数；
②设AOD θ∠=（rad ），将V 表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积． 19．（本题满分16分）
已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为1(1,0)F -，右准线方程为：4x =． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上点N 到定点(,0)(02)M m m <<的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标；
（3）分别过椭圆C 的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A 、B 是所围成的矩形在
x 轴上方的两个顶点．若P 、Q 是椭圆C 上两个动点，直线OP 、OQ 与椭圆的另一交点分别
为1P 、1Q ，且直线OP 、OQ 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求四边形11
PQPQ 的面积是否为定值，并说明理由．
20．（本题满分16分）
已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程2
()2f x m x x +=-在]2,2
1
[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值
范围；
（3）记函数21()()2g x f x x bx =+
-，设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若32
b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值．
Q
Q 1
P
P 1
B A
O
y
x
第（18）题图
第（19）题图
扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题
高 二 数 学 参 考 答 案 2015．1
1．若0x <，则2
0x < 2．8 3．1
3
4．5 5．4 6．83 7． 3y x =± 8．12
9．5(,)66ππ
（区间写开闭都对） 10．② 11．01
a <≤
12．
85 13．1
(,)2
+∞ 14．[31,1)- 15．证明：（1） 连结1BC ．
∵侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ∴O 为1AC 的中点 ∵E 是AB 的中点 ∴1//OE BC ； ………………3分
∵OE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ∴//OE 平面11BCC B
………………7分
（2）∵侧面11AA C C 是菱形 ∴11AC A C ⊥ ∵11AC A B ⊥， 111A C
A B A =，1
AC ⊂平面1A BC ，1A B ⊂平面1A BC ∴1AC ⊥平面1A BC ………………12分 ∵BC ⊂平面1A BC ∴1AC BC ⊥． ………………14分 16．解：（1）若p 真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ………………3分
∵p 且q 为真 ∴24
15
x x -≤≤⎧⎨
-≤≤⎩ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]- ………………7分
（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件 ………………10分
∵若q 真：22m x m -≤≤+ ∴2242m m
-≤-⎧⎨≤+⎩且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得”，写检验也可） ∴4m ≥． ………………14分
17．解：（1）第1组人数105.05=÷，所以1001.010=÷=n ， ………………2分 第2组频率为：0.2，人数为：1000.220⨯=，所以18200.9a =÷=， ……4分 第4组人数2525.0100=⨯，所以250.369x =⨯=， ………………6分 （2）第2,3,4组回答正确的人的比为1:3:29:27:18=，所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，
3人，1人 ………………9分
（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A ，抽取的6人中，第2组的设为1a ，2a ，第3组的设为1b ，2b ，3b ，第4组的设为c ， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：
E
O
C 1
A 1
B 1
C
B
A
),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a ，
),(21b b ，),(31b b ，),(1c b ，),(32b b ，),(2c b ，),(3c b . ………………11分 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是： ),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a ． ………………13分
()P A ∴=5
3
159=． ………14分
答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为3
5
． ………………15分
18．解：（1）①2
2
2(103)2AB x r π=-=，2
300x r π
-=
，
2
233001
()(
)(300)x V f x x x x ππ
π
-==⋅=
-+，（0103x <<
） ………………4分
②103sin ,203cos 2AD AB r θθπ===，103cos r θ
π
=
，
V =22103cos 30003()(
)103sin sin cos g θθπθθθππ=⋅=，（02
π
θ<<）………8分 （2）选用()f x ：23
3
'()(100)(10)(10)f x x x x π
π
=-
-=-
+-，0103x <<，
令'()0f x = ，则10x = ………………10分 列表得：
x (0,10)
10 (10,103)
'()f x
+
-
()f x
单调增
极大值
单调减
………………13分 （不列表，利用导函数的符号，判断出单调性同样得分）
max 2000
()(10)f x f π
∴==
选用()g θ：令sin ,0,012
t t π
θθ=<<
<<，230003
()(1)h t t t π
=
-
230003
90003
33'()(31)()()33
h t t t t π
π
∴=
-+=-
+
-， 令 '()0h t =，则3
3
t = ………………10分 列表得：
t
3(0,
)3 33
3(
,1)3
'()h t +
-
()h t
单调增
极大值
单调减
………………13分
max 32000()(
)3h t h π∴==，即max 2000()g θπ
= ………………15分 （对()g θ直接求导求解也得分，30003cos (13sin )(13sin )
'()g θθθθπ
-+=）
答：圆柱形罐子的最大体积为
2000
π
．
19．解：（1）设椭圆的方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意得：21
4c a c
=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：2
1a c =⎧⎨=⎩， ………………2分
∴2
3b =，∴椭圆的标准方程：22
143
x y +=； ………………4分 （2）设(,)N x y ，则22
2
2
2
221
()()3(1)2344
x MN x m y x m x mx m =-+=-+-=-++ 对称轴：4x m =，22x -≤≤ ………………6分 ①当042m <≤，即102
m <≤，4x m =时，22
min 331MN m =-+=， 解得：2
21
34
m =
>，不符合题意，舍； ………………8分
②当42m >，即
1
22
m <<，2x =时，22min 441MN m m =-+=， 解得：1m =或3m =；1
22
m << 1m ∴=；
综上：1m =，(2,0)N ； ………………10分
（3）由题意得：四条垂线的方程为2x =±，3y =±，则(2,3)A ，(2,3)B - ∴34
OA OB k k ⋅=-
设11()P x y ，，22()Q x y ，，则
12123
4
y y x x =-①，221212()()PQ x x y y =-+-.
∵点P 、Q 在椭圆C 上 ∴2211
3(1)4x y =-，22
223(1)4
x y =- 平方①得：2222221212129169(4)(4)x x y y x x ==--，即22
124x x +=.……………12分
①若12x x =，则P 、1P 、Q 、2Q 分别是直线OA 、OB 与椭圆的交点，∴四个点的坐标为：
6(2,
)2，6(2,)2-，6(2,)2-，6(2,)2
--∴四边形11PQPQ 的面积为43； ②若12x x ≠，则直线PQ 的方程可设为：21
1121
()y y y y x x x x --=
--，化简得：
21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=，
所以O 到直线PQ 的距离为12212
2
2121||()()
x y x y d x x y y -=
-+-， ………………………14分
所以OPQ △的面积2222122112121221111||2222
S PQ d x y x y x y x x y y x y =
⋅=-=-+ 222222
222111*********(1)3(1)3()343242422
x x x x x x x x =-++-=+=⨯=.
根据椭圆的对称性，故四边形11PQPQ 的面积为4S ，即为定值43.
综上：四边形11PQPQ 的面积为定值43. …………………16分 20．解：（1）1
'()f x a x
=
- ………………………2分
∵函数在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行 ∴1122
k a =
-=-， 解得：1a =； ………………………4分
（2）由（1）得()ln f x x x =-，∴2()2f x m x x +=-，即2
3ln 0x x x m -++=
设2
()3ln (0)h x x x x m x =-++>，
则21231(21)(1)
'()23x x x x h x x x x x
-+--=-+==
令'()0h x =，得1,21
21==
x x ， 列表得： x
2
1 )1,2
1( 1 （1，2）
2 '()h x 0 － 0 +
()h x
极大值
极小值
2ln 2m -+
∴当1=x 时，()h x 的极小值为(1)2h m =-，
又15
()ln 2,(2)2ln 22
4
h m h m =-
-=-+ ………………………7分 ∵方程2
()2f x m x x +=-在]2,2
1[上恰有两个不相等的实数根，
∴1()0,2(1)0,(2)0,h h h ⎧≥⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎩即5ln 20,4
20,2ln 20,
m m m ⎧--≥⎪⎪
-<⎨⎪-+≥⎪⎩
解得：5ln 224m +≤<；
（也可分离变量解） ………………………10分 （3）解法（一）
∵2
1()ln (1)2
g x x x b x =+-+，∴21(1)1'()(1)x b x g x x b x x -++=+-+=
∴12121,1x x b x x +=+=， ∴2
2112121221()()ln
()(1)()2
x g x g x x x b x x x -=+--+-
111212112122212221()()111ln (1)()ln ln ()222x x x x x x x x x b x x x x x x x x x +-=-+-=-=-- 120x x << 设12x t x =，则01t <<，令11()ln ()2G t t t t
=--，01t << 则2
22111(1)'()(1)022t G t t t t
-=-+=-<，∴()G t 在(0,1)上单调递减； ………12分 ∵32b ≥，∴225(1)4
b +≥ ∵222211221212122121(1)()22x x x x x x b x x t x x x x t
+++=+==++=++ ∴12524t t +
+≥ ∴241740t t -+≥ ∴104
t <≤ ………………………14分 ∴当14t =时，min 115()()2ln 248G t G ==- ∴152ln 28
k ≤- max 152ln 28k ∴=- ． ………………………16分 解法（二） ∵21()ln (1)2
g x x x b x =+-+，∴21(1)1'()(1)x b x g x x b x x -++=+-+= ∴12121,1x x b x x +=+=， ∴ 211x x = ∵32b ≥ ∴ 111115
210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩
解得：1102
x <≤ ………………………12分 ∴22112121221()()ln
()(1)()2x g x g x x x b x x x -=+--+-21121112ln ()2x x x =-- 设22111()2ln ()(0)22
F x x x x x =--<≤，则223321(1)'()0x F x x x x x --=--=< ∴()F x 在1(0,]2上单调递减； ………………………14分 ∴当112x =时，min 115()()2ln 228
F x F ==- ∴152ln 28k ≤-
max 152ln 28k ∴=- ． ………………………16分。