2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题8 系列4选讲1-8-2

1．(2019·合肥三模)设 f(x)＝3|x－1|＋|x＋1|的最小值为 k. (1)求实数 k 的值； 解析：(1)f(x)＝3|x－1|＋|x＋1|＝－ －42xx＋ ＋24， ，－x≤1－<x1<，1，
4x－2，x≥1. 当 x＝1 时，f(x)取得最小值，即 k＝f(1)＝2.
上一页
返回导航
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围． 解析：(2)当 x∈[－1,1]时，g(x)＝2. 所以 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当 x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又 f(x)在[－1,1] 的最小值必为 f(－1)与 f(1)之一，所以 f(－1)≥2 且 f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以 a 的取值范围为[－1,1]．
3t＋2，t≥1， ∴ymin＝72，∴m≥72，故 m 的取值范围为72，＋∞.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
类型二 不等式证明 突破分析法与综合法的关系 [例 2] (2019·高考新课标Ⅰ)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1.证明： (1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2； [解析] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋abbcc＋ca＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
若 a>0，|ax－1|<1 的解集为
所以2a≥1，故 0<a≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2].
x0<x<2a，
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
含绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a 或 x>a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
专题八 系列4选讲 第二讲 不等式选讲(选修4－5)
栏目 导航
核心知识整合 选讲考点突破 题型专项练
专题限时训练
新课标高考第二轮总复习•文科数学
1．绝对值不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． 2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法
脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距
离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
类型一 不等式性质和绝对值不等式 突破去掉绝对值号的等价性
[例 1] (2018·全国新课标卷Ⅰ)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； [解析] (1)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
函数图象求解.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2017·全国新课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集；
解析：(1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0，①
∴ab2－＝b23＝，－2，
解得ab＝＝16，.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2)若在(1)的条件下，存在实数 t，使 f2t ≤m－f(－t)成立，求实数 m 的取值范围． 解析：(2)∵f2t ≤m－f(－t)，∴|t－1|＋|2t＋1|＋2≤m，
－3t＋2，t≤－12， ∵y＝|t－1|＋|2t＋1|＋2＝t＋4，－12＜t＜1，
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想． (2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想． (3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想． 4．证明不等式的基本方法 (1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2)设 m，n∈R，m≠0，m2＋4n2＝k，求证：m12＋n2＋1 1≥32. 解析：(2)证明：依题意，m2＋4n2＝2，则 m2＋4(n2＋1)＝6.
所以m12＋n2＋1 1＝m12＋n2＋1 1[m2＋4(n2＋1)]× 16＝165＋4nm2＋2 1＋n2m＋2 1≥16(5＋2 4)＝32， 当且仅当4nm2＋2 1＝n2m＋2 1，即 m2＝2，n2＝0 时，等号成立．
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2)若不等式 f(x)≥x2－x＋m 的解集非空，求实数 m 的取值范围．
解析：(2)由 f(x)≥x2－x＋m 得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，而 |x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54， 当 x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54. 故 m 的取值范围为－∞，54.
即 f(x)＝－2x，2，－x≤1<－x<11，， 2，x≥1.
故不等式 f(x)>1 的解集为
1 xx>2.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2)若 x∈(0,1)时，不等式 f(x)>x 成立，求 a 的取值范围．
[解析] (2)当 x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时，|ax－1|<1 成立． 若 a≤0，则当 x∈(0,1)时|ax－1|≥1；
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2) a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件． 证明：(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)，得 a＋ b> c＋ d. ②若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2，
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
4．(2017·全国新课标卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2 ≥4.
当 x＜－1 时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1 时，①式化为 x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当 x＞1 时，①式化为 x2＋x－4≤0，从而 1＜x≤－1＋2
17 .
所以 f(x)≥g(x)的解集为
x－1≤x≤－1＋2
17 .
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2)a＋b≤2. 证明：(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋3a＋4 b2(a＋b) ＝2＋3a＋4 b3. 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
3．设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d.证明： (1)若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d；
证明：(1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab， ( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd， 由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd， 得( a＋ b)2>( c＋ d)2. 因此 a＋ b> c＋ d.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
专题限时训练
上一页
返回导航
下一页
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
2．已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a， (1)若不等式 f(x)≤b 的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数 a，b 的值； 解析：(1)原不等式可化为|2x－a|≤b－a， ∴ba－－ab≥≤02，x－a≤b－a， 得 a－b2≤x≤b2(a≤b)． 又原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}，
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
[解析] (2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
证明不等式常用的方法 (1)证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论 的联系不明显，可考虑用分析法． (2)如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出， 则考虑用反证法． (3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可 能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.
所以m12＋n2＋1 1≥32.
上一页
返回导航
下一页
新课标高考第二轮总复习•文科数学
2．(2017·全国新课标卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝│x＋1│－│x－2│. (1)求不等式 f(x)≥1 的解集；
－3，x＜－1， 解析：(1)f(x)＝2x－1，－1≤x≤2，
3，x＞2，
当 x＜－1 时，f(x)≥1 无解； 当－1≤x≤2 时，由 f(x)≥1 得 2x－1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，由 f(x)≥1 得 x＞2. 所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}．